章末檢測試卷(一)+高中數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第一章

空間向量與立體幾何章末檢測試卷(一)(時間：120分鐘

滿分：150分)√12345678910111213141516一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)1718192021222.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數λ等于A.1 B.2 C.3 D.4√解析若向量a，b，c共面，則c＝xa＋yb，其中x，y∈R，即(1,3，λ)＝(2x，－x,3x)＋(－y,4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，123456789101112131415161718192021223.若向量a＝(x,4,5)，b＝(1，－2,2)，且a與b的夾角的余弦值為

則x等于A.3 B.－3 C.－11 D.3或－11√解析因為a·b＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x－8＋10＝x＋2，12345678910111213141516171819202122解得x＝3或x＝－11(舍去).12345678910111213141516171819202122√123456789101112131415161718192021225.已知空間向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b與b垂直，則|a|等于√解析因為a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，所以2a－b＝(4,2n－1,2).因為2a－b與b垂直，所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0，123456789101112131415161718192021226.如圖所示，在空間直角坐標系中，BC＝4，原點O是BC的中點，點

點D在平面Oyz內，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，則AD的長為√12345678910111213141516171819202122解析因為點D在平面Oyz內，所以點D的橫坐標為0，又BC＝4，原點O是BC的中點，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，12345678910111213141516171819202122縱坐標y＝－(2－4·sin30°·cos60°)＝－1，7.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，則PB與平面PCD所成角的正弦值為√12345678910111213141516171819202122解析依題意，以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，AB＝BC＝2，AD＝3，PA＝2，則P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)，12345678910111213141516171819202122設平面PCD的法向量為n＝(a，b，c)，12345678910111213141516171819202122不妨取c＝3，則a＝1，b＝2，所以平面PCD的一個法向量為n＝(1,2,3)，所以PB與平面PCD所成角的正弦值為8.已知四棱錐P－ABCD，底面是邊長為2的正方形，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，點E是線段PD上的動點(不含端點)，若線段AB上存在點F(不含端點)，使得異面直線PA與EF成30°的角，則線段PE長的取值范圍是√12345678910111213141516171819202122解析由△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，取AD中點G，建立如圖所示的空間直角坐標系，依題意G(0,0,0)，A(1,0,0)，D(－1，0,0)，B(1,2,0)，P(0,0,1)，設F(1，y,0)，12345678910111213141516171819202122A.(4，－2,2) B.(－2,2,4)C.(－4,2，－2) D.(2，－2,4)√12345678910111213141516二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)171819202122√故點P的坐標為(4，－2,2)或(－2,2,4).1234567891011121314151617181920212210.如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是DD1，DB的中點，則下列選項中正確的是A.EF∥平面ABC1D1B.EF⊥B1CC.EF與AD1所成角為60°D.EF與平面BB1C1C所成角的正弦值為√12345678910111213141516171819202122√√解析連接BD1(圖略)，∴EF∥BD1，得EF∥平面ABC1D1，故A正確；∵B1C⊥BC1，又由D1C1⊥平面BCC1B1，得B1C⊥D1C1，∴B1C⊥平面BD1C1.∵BD1?平面BD1C1，∴B1C⊥BD1.又∵BD1∥EF，∴EF⊥B1C，故B正確；12345678910111213141516171819202122且△AD1B為直角三角形，∵EF∥BD1，又D1C1⊥平面BB1C1C，∴∠D1BC1即為EF與平面BB1C1C所成角，1234567891011121314151617181920212211.如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，則AE的值可能是√12345678910111213141516171819202122√解析以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，12345678910111213141516171819202122由CE⊥平面B1DE，得CE⊥DE，CE⊥B1E，解得z＝a或2a，即AE＝a或2a.1234567891011121314151617181920212212.將正方形ABCD沿對角線BD翻折，使平面ABD與平面BCD的夾角為90°，以下四個結論正確的是A.AC⊥BDB.△ACD是等邊三角形C.直線AB與平面BCD所成的角為D.AB與CD所成的角為√12345678910111213141516171819202122√√解析如圖所示，以BD中點O為坐標原點，OD，OA，OC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，12345678910111213141516171819202122則D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，故AC⊥BD，A正確；所以△ACD為等邊三角形，B正確；12345678910111213141516171819202122解析∵a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，12345678910111213141516三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，a與b夾角的余弦值為______.171819202122解析根據題意可知，當VD－ABC最大時，平面DAC⊥平面ABC，設AC的中點為O，連接OB，OD建立空間直角坐標系，如圖所示，令OB＝OC＝OD＝1，則O(0,0,0)，A(0，－1,0)，D(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，14.將正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，異面直線AD與BC所成的角為____.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122解析建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(1，－1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，12345678910111213141516171819202122設平面EDC1的法向量為n＝(x，y，z)，16.如圖，正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM＝BN＝a(0<a<)，則線段MN最短為______.12345678910111213141516171819202122解析建立空間直角坐標系如圖，則A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1).1234567891011121314151617181920212217.(10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；12345678910111213141516171819202122四、解答題(本大題共6小題，共70分)解得x＝2，y＝－4，則a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1).又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2).解由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，設a＋c與b＋c的夾角為θ，12345678910111213141516171819202122(2)a＋c與b＋c夾角的余弦值.18.(12分)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求證：CM∥平面PAD.12345678910111213141516171819202122證明建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，∵∠

PBC＝30°，PC＝2，12345678910111213141516171819202122設平面PAD的一個法向量為n＝(x，y，z)，1234567891011121314151617181920212219.(12分)如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點.(1)求證：BM∥平面ADEF；12345678910111213141516171819202122證明∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED?平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.12345678910111213141516171819202122則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2).∵M為EC的中點，∴M(0,2,1)，12345678910111213141516171819202122又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.(2)求證：BC⊥平面BDE.12345678910111213141516171819202122又DE∩DB＝D，DE，DB?平面BDE，∴BC⊥平面BDE.20.(12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為正三角形，且側棱AA1⊥底面ABC，且底面邊長與側棱長都等于2，O，O1分別為AC，A1C1的中點，求平面AB1O1與平面BC1O間的距離.12345678910111213141516171819202122解如圖，連接OO1，根據題意，OO1⊥底面ABC，則以O為原點，分別以OB，OC，OO1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系.∵AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O，∴平面AB1O1∥平面BC1O.∴平面AB1O1與平面BC1O間的距離即為點O1到平面BC1O的距離.12345678910111213141516171819202122設n＝(x，y，z)為平面BC1O的法向量，∴可取n＝(0,2，－1).點O1到平面BC1O的距離記為d，1234567891011121314151617181920212221.(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點.(1)求證：BE⊥DC；12345678910111213141516171819202122證明依題意，以點A為坐標原點建立空間直角坐標系(如圖)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).由E為棱PC的中點，得E(1,1,1)，(2)若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求平面FAB與平面ABP夾角的余弦值.12345678910111213141516171819202122設n1＝(x，y，z)為平面FAB的法向量，12345678910111213141516171819202122不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)為平面FAB的一個法向量.易知向量n2＝(0,1,0)為平面ABP的一個法向量，123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212222.(12分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，E是AC的中點，F是線段AB上一個動