大學(xué)物理學(xué)第二版下冊(cè)振動(dòng)2

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿x方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12m周期T=2

s，t=0

時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移為x0=0.06m

，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)向x軸正向運(yùn)動(dòng)。例1求：⑴簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；

⑵

t=

T/4

時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)、速度、加速度；⑶從t=0

時(shí)刻開(kāi)始，第一次通過(guò)平衡位置的時(shí)刻。解：確定這里要求⑴簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；正負(fù)？正負(fù)？t=0時(shí)刻

，質(zhì)點(diǎn)向x

軸正向運(yùn)動(dòng)告訴此時(shí)速度的方向正負(fù)？旋轉(zhuǎn)矢量法t=0

時(shí)刻

，質(zhì)點(diǎn)向x軸正向運(yùn)動(dòng)解：已知振動(dòng)表達(dá)式速度、加速度表達(dá)式為“－”表示與x

軸正向相反⑵

t=T/4

時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)、速度、加速度；解：平衡位置第一次通過(guò)⑶從t=0時(shí)刻開(kāi)始，第一次通過(guò)平衡位置的時(shí)刻。例2to如圖為簡(jiǎn)諧振動(dòng)x1

和x2的振動(dòng)曲線。求：x1

和x2的表達(dá)式及位相差。解：設(shè)x1

和x2的表達(dá)式分別為解：由圖已知to解：to解：則x2

振動(dòng)超前

x1振動(dòng)π/3

。to例:

已知簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線x~t,試寫(xiě)出此振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程

解：由圖可以看出由題意(解析法)otx-0.050.1此題也可用旋轉(zhuǎn)矢量法求解。解：由圖可以看出關(guān)鍵在于求出！經(jīng)歷，振動(dòng)相位的變化為：在參考圓上找出ｔ＝０，ｔ＝1/3

秒兩個(gè)振動(dòng)狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)矢量。otx-0.050.1

0

xO1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

受力特點(diǎn):線性恢復(fù)力

動(dòng)力學(xué)方程：

固有(圓)頻率三．簡(jiǎn)諧振動(dòng)描述——?jiǎng)恿W(xué)部分固有頻率決定于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)由初始條件求振幅和初位相：(1)動(dòng)能(2)勢(shì)能2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量(以水平彈簧振子為例)xtoxto(3)機(jī)械能簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒能量的角度：振幅不僅反映振動(dòng)的幅度，還反映振動(dòng)的強(qiáng)度由起始能量求振幅一.阻尼振動(dòng)把在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱(chēng)為阻尼振動(dòng)1.阻尼振動(dòng)的特點(diǎn)振幅在逐漸減小意味著在阻尼振動(dòng)過(guò)程中，振動(dòng)系統(tǒng)的能量在減少。引起能量損失的原因很多：摩擦阻尼：由于介質(zhì)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的摩擦阻力使系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊徇\(yùn)動(dòng)的能量，如空氣對(duì)單擺阻尼；輻射阻尼：由于振動(dòng)物體引起鄰近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，使系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去。如音叉振動(dòng)§2阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)與共振2.阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程、表達(dá)式和振動(dòng)曲線考慮一質(zhì)點(diǎn)在摩擦阻力作用下在x

方向上作阻尼振動(dòng)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)物體的速度不太大時(shí)，介質(zhì)對(duì)運(yùn)動(dòng)物體的阻力fr

與速度

v成正比，又由于阻力總與速度方向相反，所以阻力與速度就有下述關(guān)系為比例常數(shù)大小由物體的形狀、大小、表面狀況及介質(zhì)的性質(zhì)決定。方程的解阻尼振動(dòng)的振幅1）

阻尼較小情況，欠阻尼狀態(tài)β越大衰減越快，所以阻尼振動(dòng)又叫減幅振動(dòng)稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。稱(chēng)為阻尼系數(shù)。按

β

大小的不同，微分方程有三種不同形式的解。txo另外表達(dá)式中包含因子因子具有周期性，把因子的位相變化2π，所經(jīng)歷的時(shí)間，稱(chēng)作阻尼振動(dòng)的周期。阻尼振動(dòng)曲線2）

阻尼較大情況，過(guò)阻尼狀態(tài)物體運(yùn)動(dòng)速度緩慢，從離開(kāi)平衡位置的地方運(yùn)動(dòng)回到平衡位置需要較長(zhǎng)時(shí)間。物體運(yùn)動(dòng)方式為非周期運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)曲線欠阻尼過(guò)阻尼3）

臨界阻尼狀態(tài)處于由欠阻尼向過(guò)阻尼過(guò)渡的臨界狀態(tài)，此時(shí)物體剛好能做非周期運(yùn)動(dòng)。與過(guò)阻尼相比，從離開(kāi)平衡位置的地方運(yùn)動(dòng)回到平衡位置，需要的時(shí)間最短。欠阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼應(yīng)用：在生產(chǎn)實(shí)際中，可以根據(jù)不同的要求，用不同的方法來(lái)控制阻尼的大小，例如各類(lèi)機(jī)器，為了減振、防振，都要加大振動(dòng)時(shí)的摩擦阻尼。在磁式儀表中，為使人們能較快地和準(zhǔn)確地讀數(shù)測(cè)量，常使儀表的偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)處在臨界阻尼狀態(tài)下工作。二．受迫振動(dòng)阻力總是客觀存在的，只能減小而不能完全消除它。所以實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)免不了由于阻力而消耗能量，這會(huì)使振幅不斷衰減，為了使振幅不衰減，通常是給系統(tǒng)施加一個(gè)周期性外力——策動(dòng)力。在策動(dòng)力作用下的振動(dòng)稱(chēng)作受迫振動(dòng)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)策動(dòng)力有如下形式為策動(dòng)力的幅值，為策動(dòng)力角頻率二．受迫振動(dòng)在上述力的作用下。物體動(dòng)力學(xué)方程設(shè)質(zhì)量為m

物體受力彈性力阻力策動(dòng)力令在阻尼較小的情況下，方程的解為這個(gè)解由兩項(xiàng)組成，表示在策動(dòng)力開(kāi)始作用的階段，系統(tǒng)的振動(dòng)是非常復(fù)雜的，可以看成是兩個(gè)振動(dòng)合成的：一個(gè)振動(dòng)是由第一項(xiàng)表示，它是一個(gè)減幅的振動(dòng)；經(jīng)過(guò)一段時(shí)間之后第一項(xiàng)振動(dòng)將減弱到可以忽略不計(jì)。只剩下第二項(xiàng)。第二項(xiàng)表示的是一個(gè)振幅不變的振動(dòng)——等幅振動(dòng)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間方程的穩(wěn)態(tài)解：穩(wěn)態(tài)解：特點(diǎn)：(1)頻率:

等于策動(dòng)力的頻率

(2)振幅:(3)初相:穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)表達(dá)式雖然和無(wú)阻尼自由振動(dòng)的表達(dá)式相同，都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但實(shí)質(zhì)已有不同受迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的振幅為從這里看到，對(duì)于一定的振動(dòng)系統(tǒng)，如果策動(dòng)力的幅值Fo

一定，則受迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的振幅隨策動(dòng)力的頻率而改變，按上式可以畫(huà)出不同阻尼時(shí)，振幅和策動(dòng)力頻率之間的關(guān)系曲線，如圖，從圖上可以看出，當(dāng)策動(dòng)力的角頻率為某個(gè)特定值時(shí)振幅達(dá)到最大值，把這種現(xiàn)象稱(chēng)作共振x1=A1cos(

t+

1)x2=A2cos(

t+

2)x=x1+x2=A1cos(

t+

1)+A2cos(

t+

2)應(yīng)用三角函數(shù)的和差化積公式合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程

x

=A

cos(

t+

)其中合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其頻率仍為

一．同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成§3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

x

=A

cos(

t+

)討論兩種特殊情況

(2)

若兩分振動(dòng)

2

1=

(2k+1)

(k=0,1,2,…)如A1=A2,

則A=0則A=|A1-A2|,

兩分振動(dòng)相互減弱則

A=A1+A2

,

兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)(1)

若兩分振動(dòng)同相

2

1=

2k

(k=0,1,2,…)x1=A1cos(

t+

1)x2=A2cos(

t+

2)矢量和因?yàn)橐韵嗤慕撬俣?/p>

勻速旋轉(zhuǎn)。A1

和A2

A所以也是表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量，

x2x1

x設(shè)合振動(dòng)的表達(dá)式

x

=A

cos(

t+

)

是在t=0

時(shí)刻矢量與x

軸夾角A由余弦定理x

x2x1

同理可得這一結(jié)果與解析法的結(jié)果一致例題求如下4個(gè)同頻率同方向的等幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成：解本題如采用旋轉(zhuǎn)矢量法求解較為容易。通過(guò)幾何分析易得：而：另外：若換成n個(gè)分振動(dòng)：[例]

已知兩個(gè)同方向振動(dòng)分別為：(1)

求合振動(dòng)的振幅和初相位；(2)另有一同方向的振動(dòng)，問(wèn)為何值時(shí)的振幅為最大？為何值時(shí)，

的振幅最??？[解](1)當(dāng)時(shí)，與合成振幅最小。

(2)當(dāng)時(shí)，與合成振幅最大。[例]

兩條諧振動(dòng)的曲線如圖所示，求合振動(dòng)方程。

[解]

由諧振動(dòng)曲線可寫(xiě)出兩個(gè)分振動(dòng)方程：由圖知，Ｔ＝１Ｓt(s)x(cm)------I---0.5今用旋轉(zhuǎn)矢量法來(lái)求合振動(dòng)：合振幅合振動(dòng)的初相位由圖可見(jiàn)：故二．同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成如果在一條直線的兩個(gè)分振動(dòng)的頻率不同，合成的結(jié)果不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

振幅相等頻率不同的兩分振動(dòng)的合成x1=Acos(

1

t

)x2=Acos(

2t

)設(shè)有兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅都是A，初位相都是0

合振動(dòng)x=x1+x2=Acos(

1

t

)+Acos(

2

t

)旋轉(zhuǎn)矢量圖：任意時(shí)刻t，旋轉(zhuǎn)矢量A1

和A2

的合矢量的大小Ax1=A1cos(

1

t+

10)x2=A2cos(

2t+

20)設(shè)有兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量之間的夾角就要隨時(shí)間改變A1

和A2

它們的的合矢量的大小也就隨時(shí)間改變。A這時(shí)合矢量表示的振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)A通常是很復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)由三角函數(shù)的和差化積公式得合振動(dòng)的表達(dá)式簡(jiǎn)寫(xiě)上式形式上與簡(jiǎn)諧振動(dòng)相似，令x=x1+x2=Acos(

1

t

)+Acos(

2

t

)但這里A(t)隨時(shí)間變化，而且是周期性變化一般情況下，覺(jué)察不到合振動(dòng)由明顯的周期性，但當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的頻率都較大，而其差值很小時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)明顯的周期性討論來(lái)說(shuō)明這種情形上式中的兩個(gè)因子都隨時(shí)間作周期性變化。角頻率分別為討論當(dāng)

2

1

時(shí)

且

2-

1

2+

1即

2，

1很大，但相差很小或者說(shuō)后者的周期比前者的周期大的多。意味著：后者的變化比前者的變化慢的多。因子的頻率比因子的頻率大的多當(dāng)

2

1

時(shí)

且

2-

1

2+

1的變化比的變化慢的多。這就使得在某一段時(shí)間內(nèi)反復(fù)變化多次而幾乎沒(méi)有變化這種合振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖示xtx2tx1txt紅色實(shí)線為合振動(dòng)的振動(dòng)曲線虛線為合振動(dòng)振幅的包絡(luò)線，這個(gè)包絡(luò)線是一余弦曲線，表明合振動(dòng)的振幅是周期性變化的，忽強(qiáng)忽弱。在一小段包絡(luò)線下觀察，合振動(dòng)近似簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅周期性變化，忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象2.拍xt拍頻

:單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)拍頻等于分振動(dòng)頻率之差拍現(xiàn)象的應(yīng)用：測(cè)未知信號(hào)的頻率振幅周期性變化，忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象2.拍三．相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別在x軸和y軸上進(jìn)行，振動(dòng)頻率相同，它們的振動(dòng)表達(dá)式為x=A1cos(

t+

1)

y=A2cos(

t+

2)方程給出了任何時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，方程就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)消去參數(shù)t，可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程這是一個(gè)橢圓軌跡方程因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在x軸和y軸方向上的位移是在有限范圍內(nèi)變動(dòng)，所以橢圓軌道不會(huì)超出2A1和2A2為邊的矩形范圍橢圓的性質(zhì)如長(zhǎng)短軸的大小和方位，由位相差決定討論幾種特殊情況

2

－

1=0同相質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一通過(guò)原點(diǎn)的直線如圖斜率為x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)在直線上如何運(yùn)動(dòng)呢？

=0

2

－

1=0同相在任何時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的位移x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率與分振動(dòng)相同，振幅等于

=0

2

－

1=π

反相質(zhì)點(diǎn)的軌跡仍然是一通過(guò)原點(diǎn)的直線如圖斜率為x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)

=π

在任何時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的位移合振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率與分振動(dòng)相同，振幅等于

2

－

1=π

反相

=π

2－

1=π/2

質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一以坐標(biāo)軸為主軸的正橢圓如圖x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)由于y軸振動(dòng)超前x軸振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)轫槙r(shí)針為什么？

=π/2

質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一以坐標(biāo)軸為主軸的正橢圓如圖x=A1cos(

t+

1)y=A2cos(

t+

2)由于y軸振動(dòng)落后x軸振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針為什么？

2

－

1=－π/2

=－

π/2