空間中的平行關系

§8.4空間中的平行關系考情分析考向瞭望?把脈高考從近幾年的高考試題來看，平行關系是每年高考必考的知識點之一，考查重點是直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度為中等偏高．預測2023年高考仍將以線面平行的判定為主要考查點，考查“線∥線?線∥面?面∥面〞的轉(zhuǎn)化思想，并且考查學生的空間想象能力以及邏輯推理能力．平面外平面內(nèi)l∥b交線平行α∩β＝b1．直線與平面平行的判定與性質(zhì)基礎梳理相交直線平行b∥βγ∩β＝b2.平面與平面平行的判定與性質(zhì)思考感悟假設一個平面內(nèi)的一條或兩條直線與另一平面的一條或兩條直線對應平行，那么這兩個平面一定平行嗎？提示：不一定．假設一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，這兩個平面就平行．課前熱身1．(教材習題改編)兩條直線m，n及平面α，以下四個命題(1)假設m∥α，n∥α，那么m∥n；(2)假設m∥α，m∥n，那么n∥α；(3)假設m∥α，那么m平行于α內(nèi)所有直線；(4)假設m平行于α內(nèi)無數(shù)條直線，那么m∥α.其中真命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案：A2．(2023年西安調(diào)研)平面α∥平面β的一個充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，aα，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α答案：D3．以下命題中正確的個數(shù)是()①假設直線a不在α內(nèi)，那么a∥α；②假設直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，那么l∥α；③如果兩條平行線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行；④假設l與平面α平行，那么l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點；⑤平行于同一平面的兩直線可以相交．A．1B．2C．3D．4答案：B5．如下圖，四棱錐P-ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點，那么BE與平面PAD的位置關系為________．答案：平行例1兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求證：MN∥平面BCE.【思路點撥】證明MN∥平面BCE，可證明直線MN與平面BCE內(nèi)某一條直線平行，也可證明直線MN所在的某一個平面與平面BCE平行．考點探究?挑戰(zhàn)高考【證明】法一：過M作MP⊥BC，過N作NQ⊥BE，P、Q為垂足(如圖)，連結PQ.【誤區(qū)警示】線面平行沒有傳遞性，即平行線中的一條平行于一平面，另一條不一定平行該平面．直線與平面平行的判定判定直線與平面平行，主要有三種方法：(1)利用定義(常用反證法)．(2)利用判定定理：關鍵是找平面內(nèi)與直線平行的直線．可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，假設沒有，那么需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過直線作一平面，找其交線．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理：當兩平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面．

例2如下圖，B為△ACD所在平面外一點，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)假設△ACD是邊長為2的正三角形．判斷△MGN的形狀并求△MGN的面積．【思路點撥】

由三角形重心的性質(zhì)得到等比線段，由此推出線線平行，應用面面平行判定定理得出面面平行．在(1)的結論下，結合比例關系可求解(2)．【名師點評】面面平行常轉(zhuǎn)化為線面平行，而線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行，需要注意其中轉(zhuǎn)化思想的應用．平面與平面平行的判定判定平面與平面平行的常用方法有：(1)利用定義(常用反證法)．(2)利用判定定理：轉(zhuǎn)化為判定一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．客觀題中，也可直接利用一個平面內(nèi)的兩條相交線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交線來證明兩平面平行．(2023年濟源質(zhì)檢)如下圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對棱AB和CD，試問截面在什么位置時，其截面面積最大？例3【思路點撥】先利用線面平行的性質(zhì)判定截面形狀，再建立面積函數(shù)求最值．【誤區(qū)警示】此題易直觀判定截面過各邊中點時面積最大，而不從建立函數(shù)求最值的角度說明，缺乏嚴謹性．直線與平面平行的性質(zhì)及應用利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)由線面平行到線線平行的轉(zhuǎn)化．在平時的解題過程中，假設遇到線面平行這一條件，就需在圖中找(或作)過直線與平面相交的平面．這樣就可以由性質(zhì)定理實現(xiàn)平行轉(zhuǎn)化．

平面α∥平面β，點A∈α，C∈α，點B∈β，D∈β，點E、F分別在線段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求證：EF∥β；【思路點撥】證明EF∥β時，應分AB、CD共面和異面兩種情況；例4【解】證明：連結AC，BD.①當AB，CD在同一平面內(nèi)時，由于α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD，又EFβ，BD

β，∴EF∥β.②當AB與CD異面時，設平面ACD∩β＝DH，取DH＝AC，連結AH.∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，∴四邊形ACDH是平行四邊形．在AH上取一點G，使AG∶GH＝CF∶FD，又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，∴GF∥β，EG∥β.又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面β.而EF

平面EFG，∴EF∥β.綜上，EF∥β.平面與平面平行的性質(zhì)及應用平面與平面平行的判定與性質(zhì)，同直線與平面平行的判定與性質(zhì)一樣，表達了轉(zhuǎn)化與化歸的思想．性質(zhì)過程的轉(zhuǎn)化實施，關鍵是作輔助平面，通過作輔助平面得到交線，就可把面面平行化為線面平行，并進而化為線線平行，注意作平面時要有確定平面的依據(jù)．方法感悟方法技巧1．平行問題的轉(zhuǎn)化關系2．直線與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質(zhì)．3．平面與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)推論；(4)a⊥α，a⊥β?α∥β.失誤防范1．在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否那么，會出現(xiàn)錯誤．2．要正確區(qū)別“任意〞、“所有〞與“無數(shù)〞等量詞的意義．如“一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，那么這條直線一定與這個平面平行〞是錯誤的．如下圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a.求證：平面AB1D1∥平面C1BD；名師預測解：證