高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(理科)?？碱}型歸納及高中數(shù)學(xué)概率選擇題(精華版)

第11頁（共33頁）高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(理科)?？碱}型歸納題型一:常見概率模型的概率幾何概型、古典概型、相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率、條件概率是高考的熱點(diǎn)，幾何概型主要以客觀題考查，求解的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)測度(面積，體積或長度)；相互獨(dú)立事件，互斥事件常作為解答題的一問考查，也是進(jìn)一步求分布列，期望與方差的基礎(chǔ)，求解該類問題要正確理解題意，準(zhǔn)確判定概率模型，恰當(dāng)選擇概率公式.【例1】現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列.解依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為eq\f(1,3)，去參加乙游戲的概率為eq\f(2,3).設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0，1，2，3，4).則P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－i).(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27).(2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3＋A4，且A3與A4互斥，∴P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,9).(3)依題設(shè)，ξ的所有可能取值為0，2，4.且A1與A3互斥，A0與A4互斥.則P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(2,3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(17,81).所以ξ的分布列是ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)【類題通法】(1)本題4個人中參加甲游戲的人數(shù)服從二項分布，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，4人中恰有i人參加甲游戲的概率P＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－i)，這是本題求解的關(guān)鍵.(2)解題中常見的錯誤是不能分清事件間的關(guān)系，選錯概率模型，特別是在第(3)問中，不能把ξ＝0，2，4的事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的互斥事件Ai的概率和.【變式訓(xùn)練】甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，乙隊每人答對的概率都是eq\f(2,3)，設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊總得分.(1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率.解(1)ξ＝2，則甲隊有兩人答對，一人答錯，故P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(11,24)；(2)設(shè)甲隊和乙隊得分之和為4為事件A，甲隊比乙隊得分高為事件B.設(shè)乙隊得分為η，則η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3))).P(ξ＝1)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(2,9)，P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\f(1,3)＝eq\f(4,9)，P(η＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，∴P(A)＝P(ξ＝1)P(η＝3)＋P(ξ＝2)P(η＝2)＋P(ξ＝3)·P(η＝1)＝eq\f(1,4)×eq\f(8,27)＋eq\f(11,24)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,9)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝P(ξ＝3)·P(η＝1)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,9)＝eq\f(1,18)，∴所求概率為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,18),\f(1,3))＝eq\f(1,6).題型二:離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差及應(yīng)用是數(shù)學(xué)高考的一大熱點(diǎn)，每年均有解答題的考查，屬于中檔題.復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用題目的理解與掌握，弄清隨機(jī)變量的所有取值是正確列隨機(jī)變量分布列和求均值與方差的關(guān)鍵，對概率模型的確定與轉(zhuǎn)化是解題的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計算是解題的核心，在備考中強(qiáng)化解答題的規(guī)范性訓(xùn)練.【例2】甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)＝eq\f(2,3)，P(Bk)＝eq\f(1,3)，k＝1，2，3，4，5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(56,81).(2)X的可能取值為2，3，4，5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)·P(B2)＝eq\f(5,9)，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝eq\f(2,9)，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝eq\f(10,81)，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝eq\f(8,81).故X的分布列為X2345Peq\f(5,9)eq\f(2,9)eq\f(10,81)eq\f(8,81)E(X)＝2×eq\f(5,9)＋3×eq\f(2,9)＋4×eq\f(10,81)＋5×eq\f(8,81)＝eq\f(224,81).【類題通法】求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值；第二步：求每一個可能值所對應(yīng)的概率；第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)和答題規(guī)范.【變式訓(xùn)練】為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元.求：①顧客所獲的獎勵額為60元的概率；②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.解(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.①依題意，得P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為eq\f(1,2).②依題意，得X的所有可能取值為20，60.P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即X的分布列為X2060Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以顧客所獲的獎勵額的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝20×eq\f(1,2)＋60×eq\f(1,2)＝40(元).(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為X12060100Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X1的數(shù)學(xué)期望為E(X1)＝20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋100×eq\f(1,6)＝60(元)，X1的方差為D(X1)＝(20－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(100－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1600,3).對于方案2，即方案(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為X2406080Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X2的數(shù)學(xué)期望為E(X2)＝40×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋80×eq\f(1,6)＝60(元)，X2的方差為D(X2)＝(40－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(80－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(400,3).由于兩種方案的獎勵額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.題型三:概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn).主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計圖表，正確認(rèn)識和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵.復(fù)習(xí)時要在這些圖表上下工夫，把這些統(tǒng)計圖表的含義弄清楚，在此基礎(chǔ)上掌握好樣本特征數(shù)的計數(shù)方法、各類概率的計算方法及數(shù)學(xué)均值與方差的運(yùn)算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21屆世界杯足球賽將于俄羅斯舉行，某大學(xué)為世界杯組委會招收志愿者，被招收的志愿者需參加筆試和面試，把參加筆試的40名大學(xué)生的成績分組：第1組75，80)，第2組80，85)，第3組85，90)，第4組90，(1)分別求出成績在第3，4，5組的人數(shù)；(2)現(xiàn)決定在筆試成績較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6人進(jìn)行面試.①已知甲和乙的成績均在第3組，求甲或乙進(jìn)入面試的概率；②若從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官D的面試，設(shè)第4組中有X名學(xué)生被考官D面試，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)由頻率分布直方圖知：第3組的人數(shù)為5×0.06×40＝12.第4組的人數(shù)為5×0.04×40＝8.第5組的人數(shù)為5×0.02×40＝4.(2)利用分層抽樣，在第3組，第4組，第5組中分別抽取3人，2人，1人.①設(shè)“甲或乙進(jìn)入第二輪面試”為事件A，則P(A)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,10),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(5,11)，所以甲或乙進(jìn)入第二輪面試的概率為eq\f(5,11).②X的所有可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(1,15).所以X的分布列為X012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)E(X)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).【類題通法】本題將傳統(tǒng)的頻率分布直方圖與分布列、數(shù)學(xué)期望相結(jié)合，立意新穎、構(gòu)思巧妙.求解離散型隨機(jī)變量的期望與頻率分布直方圖交匯題的“兩步曲”：一是看圖說話，即看懂頻率分布直方圖中每一個小矩形面積表示這一組的頻率；二是活用公式，本題中X服從超幾何分布.【變式訓(xùn)練】某公司為了解用戶對某產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)；(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率.解(1)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)記CA1表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”；CA2表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”；CB1表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB2表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”，則CA1與CB1獨(dú)立，CA2與CB2獨(dú)立，CB1與CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).由所給數(shù)據(jù)得CA1，CA2，CB1，CB2發(fā)生的頻率分別為eq\f(16,20)，eq\f(4,20)，eq\f(10,20)，eq\f(8,20)，即P(CA1)＝eq\f(16,20)，P(CA2)＝eq\f(4,20)，P(CB1)＝eq\f(10,20)，P(CB2)＝eq\f(8,20)，故P(C)＝eq\f(10,20)×eq\f(16,20)＋eq\f(8,20)×eq\f(4,20)＝0.48.題型四:統(tǒng)計與統(tǒng)計案例能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式求線性回歸方程，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法，在選擇或填空題中常涉及頻率分布直方圖、莖葉圖及樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、方差)的考查，解答題中也有所考查.【例4】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝80，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝20，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝184，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程＝x＋；(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄.附：線性回歸方程＝x＋中，＝，＝y(tǒng)－，其中，為樣本平均值.解(1)由題意知n＝10，＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi＝eq\f(80,10)＝8，＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi＝eq\f(20,10)＝2，又lxx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n2＝720－10×82＝80，lxy＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n＝184－10×8×2＝24，由此得＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(24,80)＝0.3，＝y(tǒng)－＝2－0.3×8＝－0.4，故所求線性回歸方程為＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān).(3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【類題通法】(1)分析兩個變量的線性相關(guān)性，可通過計算相關(guān)系數(shù)r來確定，r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r的絕對值越接近于0，表明兩變量線性相關(guān)性越弱.(2)求線性回歸方程的關(guān)鍵是正確運(yùn)用，的公式進(jìn)行準(zhǔn)確的計算.【變式訓(xùn)練】4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動.為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對其課外閱讀時間進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時間(單位：分鐘)的頻率分布直方圖.若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”，低于60分鐘的學(xué)生稱為“(1)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān)？非讀書迷讀書迷總計男15女45總計(2)將頻率視為概率.現(xiàn)在從該校大量學(xué)生中，用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中的“讀書迷”的人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列聯(lián)表如下：非讀書迷讀書迷總計男401555女202545總計6040100K2＝eq\f(100×（40×25－15×20）2,60×40×55×45)≈8.249＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān).(2)將頻率視為概率.則從該校學(xué)生中任意抽取1名學(xué)生恰為讀書迷的概率P＝eq\f(2,5).由題意可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，P(X＝i)＝Ceq\o\al(i,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3－i)(i＝0，1，2，3).X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)均值E(X)＝np＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，方差D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq\f(18,25).高中數(shù)學(xué)概率選擇題（精華版）一．選擇題（共25小題）1．對于任意兩個正整數(shù)m，n，定義某種運(yùn)算“※”如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時，m※n=m+n；當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，m※n=mn．則在此定義下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素個數(shù)是（）A．10個 B．15個 C．16個 D．18個2．設(shè)集合A={x|x＞2}，若m=lnee（e為自然對數(shù)底），則（）A．?∈A B．m?A C．m∈A D．A?{x|x＞m}3．從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）A． B． C． D．4．從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（）A． B． C． D．5．有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（）A． B． C． D．6．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）A． B． C． D．7．已知隨機(jī)變量ξi滿足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，則（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）8．同時擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，向上點(diǎn)數(shù)之積為12的概率是（）A． B． C． D．9．如圖，點(diǎn)E是邊長為2的正方形ABCD的CD邊中點(diǎn)，若向正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則所投點(diǎn)落在△ABE內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．10．如圖，圓O內(nèi)有一個內(nèi)接三角形ABC，且直徑AB=2，∠ABC=45°，在圓O內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落在三角形ABC內(nèi)（陰影部分）的概率是（）A． B． C． D．11．甲拋擲均勻硬幣2017次，乙拋擲均勻硬幣2016次，下列四個隨機(jī)事件的概率是0.5的是（）①甲拋出正面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)多；②甲拋出反面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)少；③甲拋出反面次數(shù)比甲拋出正面次數(shù)多；④乙拋出正面次數(shù)與乙拋出反面次數(shù)一樣多．A．①② B．①③ C．②③ D．②④12．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，則n的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．713．在區(qū)間[﹣π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．14．從數(shù)字1，2，3，4，5這五個數(shù)中，隨機(jī)抽取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．15．現(xiàn)有三張卡片，正面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，背面完全相同，將卡片洗勻，背面向上放置，甲、乙二人輪流抽取卡片，每人每次抽一張，抽取后不放回，甲先抽．若二人約定，先抽到標(biāo)有偶數(shù)的卡片者獲勝，則甲獲勝的概率是（）A． B． C． D．16．某班級為了進(jìn)行戶外拓展游戲，組成紅、藍(lán)、黃3個小隊．甲、乙兩位同學(xué)各自等可能地選擇其中一個小隊，則他們選到同一小隊的概率為（）A． B． C． D．17．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p（p≠0），發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望EX＞1.75，則p的取值范圍是（）A．（0，） B．（，1） C．（0，） D．（，1）18．甲、乙兩名同學(xué)參加一項射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分．若甲、乙兩人射擊的命中率分別為和P，且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為．假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響，則P值為（）A． B． C． D．19．假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障率為1﹣p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；2引擎飛機(jī)要2個引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)也可成功飛行，要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更安全，則P的取值范圍是（）A．（，1） B．（，1） C．（0，） D．（0，）20．某種電路開關(guān)閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為（）A． B． C． D．21．設(shè)隨機(jī)變量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）=，則P（η≥2）的值為（）A． B． C． D．22．設(shè)M、N為兩個隨機(jī)事件，給出以下命題：（1）若M、N為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則M、N為相互獨(dú)立事件；（3）若，，，則M、N為相互獨(dú)立事件；（4）若，，，則M、N為相互獨(dú)立事件；（5）若，，，則M、N為相互獨(dú)立事件；其中正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．423．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，事件“至少有一次正面向上”的概率為，則n的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．724．余江人熱情好客，凡逢喜事，一定要擺上酒宴，請親朋好友、同事高鄰來助興慶賀．歡度佳節(jié)，迎親嫁女，喬遷新居，學(xué)業(yè)有成，仕途風(fēng)順，添丁加口，朋友相聚，都要以酒示意，借酒表達(dá)內(nèi)心的歡喜．而凡有酒宴，一定要劃拳，劃拳是余江酒文化的特色．余江人劃拳注重禮節(jié)，形式多樣；講究規(guī)矩，蘊(yùn)含著濃厚的傳統(tǒng)文化和淳樸的民俗特色．在禮節(jié)上，講究“尊老尚賢敬遠(yuǎn)客”一般是東道主自己或委托桌上一位酒量好的劃拳高手來“做關(guān)”，﹣﹣就是依次陪桌上會劃拳的劃一年數(shù)十二拳（也有半年數(shù)六拳）．十二拳之后晚輩還要敬長輩一杯酒．再一次家族宴上，小明先陪他的叔叔猜拳12下，最后他還要敬他叔叔一杯，規(guī)則如下：前兩拳只有小明猜贏叔叔，叔叔才會喝下這杯敬酒，且小明也要陪喝，如果第一拳小明沒猜到，則小明喝下第一杯酒，繼續(xù)猜第二拳，沒猜到繼續(xù)喝第二杯，但第三拳不管誰贏雙方同飲自己杯中酒，假設(shè)小明每拳贏叔叔的概率為，問在敬酒這環(huán)節(jié)小明喝酒三杯的概率是多少（）（猜拳只是一種娛樂，喝酒千萬不要過量?。〢． B． C． D．25．現(xiàn)有A，B兩門選修課供甲、乙、丙三人隨機(jī)選擇，每人必須且只能選其中一門，則甲乙兩人都選A選修課的概率是（）A． B． C． D．

2017年11月17日Leg****dary的高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共25小題）1．對于任意兩個正整數(shù)m，n，定義某種運(yùn)算“※”如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時，m※n=m+n；當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，m※n=mn．則在此定義下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素個數(shù)是（）A．10個 B．15個 C．16個 D．18個【解答】解：a※b=12，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，則ab=12，滿足此條件的有1×12=3×4，故點(diǎn)（a，b）有4個；若a和b同奇偶，則a+b=12，滿足此條件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6組，故點(diǎn)（a，b）有2×6﹣1=11個，所以滿足條件的個數(shù)為4+11=15個．故選B2．設(shè)集合A={x|x＞2}，若m=lnee（e為自然對數(shù)底），則（）A．?∈A B．m?A C．m∈A D．A?{x|x＞m}【解答】解：∵m=elne=e，∴m∈A，故選：C．3．從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件總數(shù)n=5×5=25，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10個基本事件，∴抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率p==．故選：D．4．從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，共有=36種不同情況，且這些情況是等可能發(fā)生的，抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的情況有=20種，故抽到在2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率P==，故選：C．5．有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫，從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，基本事件總數(shù)n==10，取出的2支彩筆中含有紅色彩筆包含的基本事件個數(shù)m==4，∴取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為p==．故選：C．6．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)圖象的對稱性知，黑色部分為圓面積的一半，設(shè)圓的半徑為1，則正方形的邊長為2，則黑色部分的面積S=，則對應(yīng)概率P==，故選：B7．已知隨機(jī)變量ξi滿足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，則（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）【解答】解：∵隨機(jī)變量ξi滿足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜，∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故選：A．8．同時擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，向上點(diǎn)數(shù)之積為12的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：同時擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，共有6×6=36種不同的結(jié)果，其中向上點(diǎn)數(shù)之積為12的基本事件有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）共4個，∴P==．故選B．9．如圖，點(diǎn)E是邊長為2的正方形ABCD的CD邊中點(diǎn)，若向正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則所投點(diǎn)落在△ABE內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意，正方形ABCD的面積為4，∵E是CD的中點(diǎn)，∴△ABE的面積為．∴所投點(diǎn)落在△ABE內(nèi)的概率為P=．故選：D．10．如圖，圓O內(nèi)有一個內(nèi)接三角形ABC，且直徑AB=2，∠ABC=45°，在圓O內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落在三角形ABC內(nèi)（陰影部分）的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：圓O的直徑AB=2，半徑為1，所以圓的面積為S圓=π?12=π；△ABC的面積為S△ABC=?2?1=1，在圓O內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，它落在△ABC內(nèi)（陰影部分）的概率是P==．故選：D．11．甲拋擲均勻硬幣2017次，乙拋擲均勻硬幣2016次，下列四個隨機(jī)事件的概率是0.5的是（）①甲拋出正面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)多；②甲拋出反面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)少；③甲拋出反面次數(shù)比甲拋出正面次數(shù)多；④乙拋出正面次數(shù)與乙拋出反面次數(shù)一樣多．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【解答】解：根據(jù)題意，甲拋擲均勻硬幣2017次，乙拋擲均勻硬幣2016次，每次拋擲時出現(xiàn)正面的概率都是0.5，出現(xiàn)反面的概率也都是0.5，在①中，∵甲比乙多拋擲一次硬幣，∴甲拋出正面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)多的概率為0.5，故①正確；在②中，∵甲比乙多拋擲一次硬幣，∴甲拋出反面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)少的概率不是0.5，故②錯誤；在③中，∵甲拋擲均勻硬幣2017次，∴甲拋出反面次數(shù)比甲拋出正面次數(shù)多的概率是0.5，故③正確；在④中，∵乙拋擲均勻硬幣2016次，∴乙拋出正面次數(shù)與乙拋出反面次數(shù)一樣多的概率為，故④錯誤．故選：B．12．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，則n的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由題意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值為4，故選A．13．在區(qū)間[﹣π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意知本題是一個幾何概型，∵a，b使得函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零點(diǎn)，∴△≥0∴a2+b2≥π試驗(yàn)發(fā)生時包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而滿足條件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2﹣π2=3π2，由幾何概型公式得到P=，故選B．14．從數(shù)字1，2，3，4，5這五個數(shù)中，隨機(jī)抽取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：由題意知本題是一個古典概型，∵從五個數(shù)中隨機(jī)抽取2個不同的數(shù)有C52種不同的結(jié)果，而這2個數(shù)的和為偶數(shù)包括2、4，1、3，1、5，3、5，四種取法，由古典概型公式得到P===，故選B．15．現(xiàn)有三張卡片，正面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，背面完全相同，將卡片洗勻，背面向上放置，甲、乙二人輪流抽取卡片，每人每次抽一張，抽取后不放回，甲先抽．若二人約定，先抽到標(biāo)有偶數(shù)的卡片者獲勝，則甲獲勝的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：將1，2，3三個數(shù)字排序，則偶數(shù)2可能排在任意一個位置，其中2排在第一位或第三位為甲獲勝，2排在第二位為乙獲勝，故甲獲勝的概率為．故選C．16．某班級為了進(jìn)行戶外拓展游戲，組成紅、藍(lán)、黃3個小隊．甲、乙兩位同學(xué)各自等可能地選擇其中一個小隊，則他們選到同一小隊的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：甲，乙兩位同學(xué)各自等可能地選擇其中一個小隊，情況有3×3=9種甲，乙兩位同學(xué)選到同一小隊的情況有3種故概率為=．故選：A．17．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p（p≠0），發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望EX＞1.75，則p的取值范圍是（）A．（0，） B．（，1） C．（0，） D．（，1）【解答】解：根據(jù)題意，學(xué)生發(fā)球次數(shù)為1即一次發(fā)球成功的概率為p，即P（X=1）=p，發(fā)球次數(shù)為2即二次發(fā)球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），發(fā)球次數(shù)為3的概率P（X=3）=（1﹣p）2，則Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，依題意有EX＞1.75，則p2﹣3p+3＞1.75，解可得，p＞或p＜，結(jié)合p的實(shí)際意義，可得0＜p＜，即p∈（0，）故選C．18．甲、乙兩名同學(xué)參加一項射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分．若甲、乙兩人射擊的命中率分別為和P，且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為．假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響，則P值為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B，則“甲射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件，則P（A）=，P（）=1﹣=，P（B）=P，P（）=1﹣P，依題意得：×（1﹣p）+×p=，解可得，p=，故選C．19．假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障率為1﹣p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；