小升初奧數(shù)知識考點(diǎn)專題講座

小升初奧數(shù)專題講座〔共十四講〕第一講行程問題11.1追及與相遇11.2環(huán)形路上的行程問題71.3稍復(fù)雜的問題12第二講和、差與倍數(shù)的應(yīng)用題182.1和差問題182.2倍數(shù)問題212.3盈缺乏問題25第三講數(shù)論的方法技巧之一293.1利用整數(shù)的各種表示法303.2枚舉法323.3歸納法34第四講數(shù)論的方法技巧之二374.1反證法374.2構(gòu)造法384.3配對法394.4估計法41第五講整數(shù)問題之一435.1整除435.2分解質(zhì)因數(shù)485.3余數(shù)53第六講圖形面積606.1三角形的面積606.2有關(guān)正方形的問題646.3其他的面積68第七講工程問題727.1兩個人的問題737.2多人的工程問題777.3水管問題81第八講比和比例關(guān)系878.1比和比的分配878.2比的變化938.3比例的其他問題97第九講經(jīng)濟(jì)問題104第十講溶液問題109第十一講簡單幾何體的外表積與體積的計算11411.1四種常見幾何體的平面展開圖11411.2四種常見幾何體外表積與體積公式11511.3例題選講116第十二講循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)12312.1純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)12312.2混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)12412.3循環(huán)小數(shù)的四那么運(yùn)算125第十三講估計與估算127第十四講列方程解應(yīng)用題13414.1列簡易方程解應(yīng)用題13414.2引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題13814.3列不定方程解應(yīng)用題140第一講

行程問題走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數(shù)量：距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動了多少米等等；速度在單位時間內(nèi)〔例如1小時內(nèi)〕行走或移動的距離；時間行走或移動所花時間.這三個數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示：距離=速度×?xí)r間很明顯，只要知道其中兩個數(shù)量，就馬上可以求出第三個數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說，這是一種最根本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如總量=每個人的數(shù)量×人數(shù).工作量=工作效率×?xí)r間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當(dāng)然，行程問題有它單獨(dú)的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米追及與相遇“追及問題〞.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離=甲的速度×?xí)r間-乙的速度×?xí)r間=〔甲的速度-乙的速度〕×?xí)r間.通常，“追及問題〞要考慮速度差.例1小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米？解：先計算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此所用時間=9÷6＝1.5〔小時〕.小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是面包車速度是54-6＝48〔千米/小時〕.城門離學(xué)校的距離是48×1.5＝72〔千米〕.答：學(xué)校到城門的距離是72千米.例2小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠(yuǎn)？解一：可以作為“追及問題〞處理.75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是50×10÷〔75-50〕＝20〔分鐘〕·因此，小張走的距離是75×20＝1500〔米〕.答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是一種解法好不好，首先是“易于思考〞，其次是“計算方便〞.那么你更喜歡哪一種解法呢？對不同的解法進(jìn)行比擬，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例330千米/小時，要1小時才能追上；如果速度是35千米/小時，要40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少？解一：自行車1小時走了30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了自行車多走20分鐘，走了因此，自行車的速度是答：自行車速度是20千米/小時.解二：因?yàn)樽飞纤钑r間=追上距離÷速度差1小時與40分鐘是3∶∶3.請看下面示意圖：35-15＝20〔千米/小時〕.解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點(diǎn)幾分？解：畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4〔千米〕.而爸爸騎的距離是4＋8＝12〔千米〕.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12÷4＝3〔倍〕.按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3＝24〔千米〕.但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4＋12＝16〔千米〕.少騎行24-16＝8〔千米〕.摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8＋8＋16＝32.答：這時是8點(diǎn)32分.下面講“相遇問題〞.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發(fā)，那么甲走的距離+乙走的距離=甲的速度×?xí)r間+乙的速度×?xí)r間=〔甲的速度+乙的速度〕×?xí)r間.“相遇問題〞，常常要考慮兩人的速度和.例5小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？解：走同樣長的距離，小張花費(fèi)的時間是小王花費(fèi)時間的36÷12＝3〔倍〕，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費(fèi)的時間是36÷〔3＋1〕＝9〔分鐘〕.答：兩人在9分鐘后相遇.例6小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時多走〔5-4〕千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是2÷〔5-4〕＝2〔小時〕.因此，甲、乙兩地的距離是〔5＋4〕×2＝18〔千米〕.此題外表的現(xiàn)象是“相遇〞，實(shí)質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少？〞豈不是有“追及〞“兩人面對面〞就是“相遇〞，“兩人一前一后〞就是“追及〞.請再看一個例子.例7甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，那么相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，那么相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時出發(fā)后的相遇時間，是由速度和決定的.不管甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不管在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時間是一樣的，這是解決此題的關(guān)鍵.下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是12＋16＝28〔千米〕，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點(diǎn)〔或E點(diǎn)〕相遇所用時間是28÷5＝5.6〔小時〕.比C點(diǎn)相遇少用6-5.6＝0.4〔小時〕.甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是12÷0.4＝30〔千米/小時〕.同樣道理，乙的速度是16÷0.4＝40〔千米/小時〕.A到B距離是〔30＋40〕×6＝420〔千米〕.答：A，B兩地距離是420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題〞.例8如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：〔1〕小張和小王分別從A，D同時出發(fā)，相向而行，問多少時間后他們相遇？〔2〕相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個人到達(dá)終點(diǎn)時，另一人離終點(diǎn)還有多少千米？解：〔1〕小張從A到B需要1÷6×÷6×60＝25〔分鐘〕；當(dāng)小王到達(dá)C點(diǎn)時，小張已在平路上走了25-10＝15〔分鐘〕，走了因此在B與C之間平路上留下3-1＝2〔千米〕由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是2÷〔4＋4〕×60＝15〔分鐘〕.從出發(fā)到相遇的時間是25＋15＝40〔分鐘〕.〔2〕相遇后，小王再走30分鐘平路，到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)到A點(diǎn)需要走1÷2×60=30分鐘，即他再走60分鐘到達(dá)終點(diǎn).小張走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn)，45分鐘可走小張離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1〔千米〕.答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點(diǎn)時，小張離終點(diǎn)還有1千米.1.2環(huán)形路上的行程問題人在環(huán)形路上行走，計算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).例9小張和小王各以一定速度，在周長為500米180米〔1〕小張和小王同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？〔2〕小張和小王同時從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？解：500÷1.25-180=220〔米/分〕.〔2〕在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈〔一個周長〕，因此需要的時間是500÷〔220-180〕＝12.5〔分〕.220×÷500＝5.5〔圈〕.答：〔1〕小張的速度是220米/分；〔2〕小張跑5.5圈后才能追上小王.例10如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時出發(fā)反向行走，他們在C點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是80×3＝240〔米〕.240-60=180〔米〕.180×2＝360〔米〕.答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走〔到達(dá)另一村后就馬上返回〕.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是40×3÷60＝2〔小時〕.從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了6×2-2＝10〔千米〕.小王已走了6＋2=8〔千米〕.因此，他們的速度分別是小張10÷2＝5〔千米/小時〕，小王8÷2=4〔千米/小時〕.答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.例12小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走〔到達(dá)另一村后就馬上返回〕，他們在離甲村處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)〔相遇指迎面相遇〕？解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了×3＝10.5〔千米〕.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-2＝8.5〔千米〕.×7＝24.5〔千米〕，24.5=8.5＋8.5＋7.5〔千米〕.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1〔千米〕.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問題.例13繞湖一周是24千米4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘；小張以6千米解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出下表：12＋15＝27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間.出發(fā)后2小時10分小張已走了此時兩人相距24-〔8＋11〕=5〔千米〕.由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是5÷〔4＋6〕＝0.5〔小時〕.2小時10分再加上半小時是2小時40分.答：他們相遇時是出發(fā)后2小時40分.例14一個圓周長90厘米10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達(dá)同一位置？解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達(dá)同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C〔5-3〕厘米0.30÷〔5-3〕＝15〔秒〕.因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷〔5-3〕＝45〔秒〕.B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15，，105，150，195，……再看看A與B什么時候到達(dá)同一位置.第一次是出發(fā)后30÷〔10-5〕=6〔秒〕，90÷〔10-5〕＝18〔秒〕，A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6，24，42，，78，96，…對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請思考，3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒？例1590千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米解：“相遇〞，解題過程就是時間的計算.要計算方便，取什么作計算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時間是1.根據(jù)“走同樣距離，時間與速度成反比〞，可得出分?jǐn)?shù)計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是24，12，16，18.→D→A與P→C→B所用時間相等.PC上所需時間-PD上所需時間=DA所需時間-CB所需時間=18-12=6.“和差〞計算得PC上所需時間是〔24+6〕÷2＝15，PD上所需時間是24-15＝9.現(xiàn)在兩輛汽車從M點(diǎn)同時出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→→D→A→N與C→B→N時間相等，就有BN上所需時間-AN上所需時間=P→D→A所需時間-CB所需時間=〔9＋18〕-12=15.BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間=16.立即可求BN上所需時間是15.5，AN所需時間是0.5.從這一例子可以看出，對要計算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會使問題變得簡單些.1.3稍復(fù)雜的問題在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：〔1〕在行程中能設(shè)置一個解題需要的點(diǎn)；〔2〕靈活地運(yùn)用比例.例16小王的步行速度是/小時，小張的步行速度是/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間？解：畫一張示意圖：圖中A點(diǎn)是小張與小李相遇的地點(diǎn)，圖中再設(shè)置一個B點(diǎn)，它是張、李兩人相遇時小王到達(dá)的地點(diǎn).5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是〔5.4-4.8〕千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是÷〔5.4-4.8〕×60=130〔分鐘〕./小時是小張速度130÷2=65〔分鐘〕.從乙地到甲地需要的時間是130＋65=195〔分鐘〕＝3小時15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時15分.上面的問題有3個人，既有“相遇〞，又有“追及〞，思考時要分幾個層次，弄清相互間的關(guān)系，問題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個B點(diǎn)，使我們的思考直觀簡明些.例17小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快〞？姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時，回家取車才合算.〞請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米？解：先畫一張示意圖設(shè)A是離公園2千米處，設(shè)置一個B點(diǎn)，公園離B與公園離家一樣遠(yuǎn).如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時間，就能往東走到B點(diǎn).現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變成：騎車從家開始，步行從B點(diǎn)開始，騎車追步行，能在A點(diǎn)或更遠(yuǎn)處追上步行.具體計算如下：1＋1.5＝2.5〔單位〕.每個單位是2000÷2.5＝800〔米〕.因此，從公園到家的距離是800×1.5＝1200〔米〕.答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請再看一例.例18快車和慢車分別從A，B兩地同時開出，相向而行.經(jīng)過5小時兩車相遇.慢車從B到A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間？解：畫一張示意圖：設(shè)C點(diǎn)是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時，從C到A用了12.5-5=7.5〔小時〕.我們把慢車半小時行程作為1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個單位，快車每小時走3個單位.有了上面“取單位〞準(zhǔn)備后，下面很易計算了.慢車從C到A，再加停留半小時，共8小時.此時快車在何處呢？去掉它在B停留1小時.快車行駛7小時，共行駛3×7=21〔單位〕.從B到C再往前一個單位到D點(diǎn).離A點(diǎn)15-1＝14〔單位〕.現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時間是14÷〔2＋3〕＝2.8〔小時〕.慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了7.5＋0.5＋2.8＝10.8〔小時〕.答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.例19一只小船從A地到B地往返一次共用2小時.回來時順?biāo)?，比去時的速度每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點(diǎn)，D至C是8千米5千米順?biāo)旭?，與C至B逆水行駛順?biāo)俣取媚嫠俣?5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出A至B距離是12＋3=15〔千米〕.答：A至B兩地距離是15千米.例20從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽車速度是每小時50千米.第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行。1小時20分后，在第二段的解一：畫出如下示意圖：當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩局部時20分相當(dāng)于因此就知道，汽車在第一段需要第二段需要30×3＝90〔分鐘〕；甲、乙兩市距離是答：甲、乙兩市相距185千米.“所用時間〞使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.還可以用“比例分配〞方法求出各段所用時間.第一段所用時間∶第三段所用時間=5∶2.時間一樣.第一段所用時間∶第二段所用時間=5∶9.因此，三段路程所用時間的比是5∶9∶2.汽車走完全程所用時間是80×2＝160〔分種〕.例21一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20％，可以比原定時間提前一小時到達(dá)；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25％，那么可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米？解：設(shè)原速度是1.％后，所用時間縮短到原時間的這是具體地反映：距離固定，時間與速度成反比.用原速行駛需要同樣道理，車速提高25％，所用時間縮短到原來的如果一開始就加速25％，可少時間現(xiàn)在只少了40分鐘，72-40＝32〔分鐘〕.說明有一段路程未加速而沒有少這個32分鐘，它應(yīng)是這段路程所用時間答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實(shí)上，其他條件已完全確定了“原速〞與“加速〞兩段行程的時間的比例關(guān)系，當(dāng)然也確定了距離的比例關(guān)系.全程長還可以用下面比例式求出，設(shè)全程長為x，就有x∶120＝72∶32.第二講和、差與倍數(shù)的應(yīng)用題做應(yīng)用題是一種很好的思維鍛煉.做應(yīng)用題不但要會算，而且要多思考，善于發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，可以說做應(yīng)用題是運(yùn)用數(shù)學(xué)的開始.加、減、乘是最根本的運(yùn)算，和、差、倍數(shù)是兩數(shù)之間最簡單的數(shù)量關(guān)系.和差問題說到“和差問題〞，小學(xué)高年級的同學(xué)，人人都會說：“我會！〞和差問題的計算太簡單了.是的，知道兩個數(shù)的和與差，求兩數(shù)，有計算公式：大數(shù)=〔和+差〕÷2小數(shù)=〔和-差〕÷2會算，還要會靈活運(yùn)用，要把某些應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成和差問題來算.先看幾個簡單的例子.例1張明在期末考試時，語文、數(shù)學(xué)兩門功課的平均得分是95分，數(shù)學(xué)比語文多得8分，張明這兩門功課的成績各是多少分？解：數(shù)學(xué)得分=〔95×2＋8〕÷2＝99.語文得分=(95×2-8〕÷2＝91.答：張明數(shù)學(xué)得99分，語文得91分.注：也可以從95×2-99＝91求出語文得分.例2有A，B，C三個數(shù)，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149，求這三個數(shù).解：B=〔252＋197-149〕÷2＝150，A＝252-150＝102，C＝149-102＝47.答：A，B，C三數(shù)分別是102，150，47.注：還有一種更簡單的方法〔A+B〕＋〔B＋C〕＋〔C＋A〕＝2×〔A＋B＋C〕.上面式子說明，三數(shù)相加再除以2，就是三數(shù)之和.A＋B＋C＝〔252＋197＋149〕÷C＝299-252＝47，B＝299-149＝150，A＝299-197＝102.例3甲、乙兩筐共裝蘋果75千克，從甲筐取出5千克蘋果放入乙筐里，甲筐蘋果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克？解：畫一張簡單的示意圖，就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多5＋7＋5＝17〔千克〕因此，甲、乙兩數(shù)之和是75，差為17.甲筐蘋果數(shù)=〔75＋17〕÷2＝46〔千克〕.乙筐蘋果數(shù)=75-46＝29〔千克〕.答：原來甲筐有蘋果46千克，乙筐有蘋果29千克.例4張強(qiáng)用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強(qiáng)買這雙鞋花多少錢？解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價格和是270元，差是210元.外衣和鞋價之和=〔270＋210〕÷2＝240〔元〕.外衣價與鞋價之差是140，因此鞋價=〔240-140〕÷2＝50〔元〕.答：買這雙鞋花50元.再舉出三個較復(fù)雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計算，那么就可以說，“和差問題〞的解法，你已能靈活運(yùn)用了.例5李叔叔要在下午3點(diǎn)鐘上班，他估計快到上班時間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點(diǎn)10分就停了.他開足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時間還有10分鐘.夜里11點(diǎn)下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點(diǎn)整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時間相同，那么他家的鐘停了多少時間〔上發(fā)條所用時間忽略不計〕？解：鐘停的時間+路上用的時間=160〔分鐘〕.晚上下班時，廠里鐘是11點(diǎn)，到家看鐘是9點(diǎn)，相差2小時.這是由于鐘停的時間中，有一局部時間，被回家路上所用時間抵消了.因此鐘停的時間-路上用的時間=120〔分鐘〕.現(xiàn)在已把問題轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的和差問題了.鐘停的時間=〔160＋120〕÷2＝140〔分鐘〕.路上用的時間=160-140＝20〔分鐘〕.答：李叔叔的鐘停了2小時20分.還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時間：以李叔叔家的鐘計算，他在12點(diǎn)10分出門，晚上9點(diǎn)到家，在外共8小時50分鐘，其中8小時上班，10分鐘等待上班，剩下的時間就是他上班來回共用的時間，所以上班路上所用時間=〔8小時50分鐘-8小時-10分鐘〕÷2＝20〔分鐘〕.鐘停時間=2小時40分鐘-20分鐘=2小時20分鐘.例6小明用21.4元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完.可是售貨員把甲卡張數(shù)算作乙卡張數(shù)，把乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù)，要找還小明3.2元.問小明買甲、乙卡各幾張？解：÷0.8＝4〔張〕.現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差，只要求出兩種卡張數(shù)之和問題就解決了.如何求呢？請注意××乙卡張數(shù)=21.4.××甲卡張數(shù)=21.4-3.2.從上面兩個算式可以看出，兩種卡張數(shù)之和是[21.4＋〔21.4-3.2〕]÷〔1.5＋0.7〕＝18〔張〕.因此，甲卡張數(shù)是〔18＋4〕÷2＝11〔張〕.乙卡張數(shù)是18-11＝7〔張〕.答：小明買甲卡11張、乙卡7張.注：此題還可用雞兔同籠方法做，請見下一講.例7有兩個一樣大小的長方形，拼合成兩種大長方形，如右圖.大長方形〔A〕的周長是240厘米，大長形〔B〕的周長是258厘米，求原長方形的長與寬各為多少厘米？解：大長方形〔A〕的周長是原長方形的長×2+寬×4.大長方形〔B〕的周長是原長方形的長×4+寬×2.因此，240+258是原長方形的長×6+寬×6.原長方形的長與寬之和是〔240＋258〕÷6＝83〔厘米〕.原長方形的長與寬之差是〔258-240〕÷2＝9〔厘米〕.因此，原長方形的長與寬是長：〔83＋9〕÷2＝46〔厘米〕.寬：〔83-9〕÷2＝37〔厘米〕.答：原長方形的長是46厘米、寬是37厘米倍數(shù)問題“年齡問題〞是這類問題的典型.先看幾個根底性的例子.例8有兩堆棋子，第一堆有87個，第二堆有69個.那么從第一堆拿多少個棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍.解：兩堆棋子共有87＋69＝156〔個〕.為了使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍，就要把156個棋子分成1＋3＝4〔份〕，即每份有棋子156÷〔1＋3〕＝39〔個〕.87-39＝48〔個〕.答：應(yīng)從第一堆拿48個棋子到第二堆去.例9有兩層書架，共有書173本.從第一層拿走38本書后，第二層的書比第一層的2倍還多6本.問第二層有多少本書？解：我們畫出以下示意圖：我們把第一層〔拿走38本后〕余下的書算作1“份〞，那么第二層的書是2份還多6本.再去掉這6本，即173-38-6＝129〔本〕恰好是3份，每一份是129÷3=43〔本〕.因此，第二層的書共有43×2+6＝92〔本〕.答：書架的第二層有92本書.說明：我們先設(shè)立“1份〞，使計算有了很方便的計算單位.這是解應(yīng)用題常用的方法，特別對倍數(shù)問題極為有效.把份數(shù)表示在示意圖上，更是一目了然.例10某小學(xué)有學(xué)生975人.全校男生人數(shù)是六年級學(xué)生人數(shù)的4倍少23人，全校女生人數(shù)是六年級學(xué)生人數(shù)的3倍多11人.問全校有男、女生各多少人？解：設(shè)六年級學(xué)生人數(shù)是“1份〞.男生是4份-23人.女生是3份+11人.全校是7份-〔23-11〕人.每份是〔975+12〕÷7＝141〔人〕.男生人數(shù)=141×4-23＝541〔人〕.女生人數(shù)=975-541＝434〔人〕.答：有男生541人、女生434人.例9與例10是一個類型的問題，但稍有差異.請讀者想一想，“差異〞在哪里？70雙皮鞋.此時皮鞋數(shù)恰好是旅游鞋數(shù)的2倍.問原來兩種鞋各有幾雙？×2=6〔份〕.400＋70將是3+1＋6＝10〔份〕.每份是〔400＋70〕÷10＝47〔雙〕.原有旅游鞋47×4=188〔雙〕.原有皮鞋47×6-70＝212〔雙〕.答：原有旅游鞋188雙，皮鞋212雙.設(shè)整數(shù)的份數(shù)，使計算簡單方便.小學(xué)算術(shù)中小數(shù)、分?jǐn)?shù)盡可能整數(shù)化，使思考、計算都較簡捷.因此，“盡可能整數(shù)化〞將會貫穿在以后的章節(jié)中.下面例子將是本節(jié)的主要內(nèi)容──年齡問題.年齡問題是小學(xué)算術(shù)中常見的一類問題，這類題目中常常有“倍數(shù)〞這一條件.解年齡問題最關(guān)鍵的一點(diǎn)是：兩個人的年齡差總保持不變.例12父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍？解：父女相差36歲，這個差是不變的.幾年前還是相差36歲.當(dāng)父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時，父親仍比女兒大36歲.這36歲是女兒年齡的〔5-1〕倍.36÷〔5-1〕＝9.當(dāng)時女兒是9歲，14-9＝5，也就是5年前.答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍.例13有大、小兩個水池，大水池里已有水300立方米.小水池里已有水70立方米.現(xiàn)在往兩個水池里注入同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.問每個水池注入了多少立方米的水.解：畫出下面示意圖：我們把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.從圖上可以看出，因?yàn)樽⑷雰蓚€水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量〔300-70〕是2份.因此每份是〔300-70〕÷2＝115〔立方米〕.要注入的水量是115-70=45〔立方米〕·答：每個水池要注入45立方米的水.例13與年齡問題是完全一樣的問題.“注入水〞相當(dāng)于年齡問題中的“幾年后〞.例14今年哥倆的歲數(shù)加起來是55歲.曾經(jīng)有一年，哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相同，那時哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的兩倍.哥哥今年幾歲？解：當(dāng)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍時，我們設(shè)那時弟弟的歲數(shù)是1份，哥哥的歲數(shù)是2份，那么哥哥與弟弟的歲數(shù)之差是1份.兩人的歲數(shù)之差是不會變的，今年他們的年齡仍相差1份.題目又告訴我們，那時哥哥歲數(shù)，與今年弟弟的歲數(shù)相同，因此今年弟弟的歲數(shù)也是2份，而哥哥今年的歲數(shù)應(yīng)是2＋1＝3〔份〕.今年，哥弟倆年齡之和是3＋2=5〔份〕.每份是55÷5＝11〔歲〕.哥哥今年的歲數(shù)是11×3＝33〔歲〕.答：哥哥今年33歲.作為本節(jié)最后一個例子，我們將年齡問題進(jìn)行一點(diǎn)變化.例15父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲.問多少年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍？解：現(xiàn)在父母年齡之和是38＋36＝74.現(xiàn)在兒子年齡的4倍是11×74-44＝30.從4倍來考慮，以后每年長1×4＝4，而父母年齡之和每年長1＋1＝2.為追上相差的30，要30÷〔4-2〕＝15〔年〕·答：15年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍.請讀者用例15的解題思路，解習(xí)題二的第7題.也許就能完全掌握這一解題技巧了.請讀者想一想，例15的解法，與例12的解法，是否不一樣？各有什么特點(diǎn)？我們也可以用例15解法來解例12.具體做法有下面算式：〔14×5-50〕÷〔5-1〕＝5〔年〕.不過要注意14×5比50多，因此是5年前.2.3盈缺乏問題在我國古代的算書中，《九章算術(shù)》是內(nèi)容最豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈缺乏問題，其中第一題，用現(xiàn)代的語言來表達(dá)，就是下面的例題.例16有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物價是多少？解：“多3元〞與“少4元〞兩者相差3＋4＝7〔元〕.每個人要多出8-7＝1〔元〕.因此就知道，共有7÷1＝7〔人〕，物價是8×7-3＝53〔元〕.答：共有7個人一起買，物價是53元.總數(shù)相差數(shù)÷每份相差數(shù)=份數(shù)這樣的問題在內(nèi)容上有很多變化，形成了一類問題，我們通稱為“盈缺乏〞問題.請再看一些例子.例17把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3個小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒？解一：3位小朋友本來每人可以分到10粒，他們共有的10×3＝30〔?！?，分給其余小朋友，每人就可以增加16-10=6〔粒〕，因此其余小朋友有10×3÷〔16-10〕＝5〔人〕.再加上這3位小朋友，共有小朋友5＋3＝8〔人〕.這袋糖有10×〔5＋3〕＝80〔?！?解二：如果我們再增加16×3粒糖，每人都可以增加〔1-10〕粒，因此共有小朋友16×3÷〔16-10〕=8〔人〕·這袋糖有80粒.答：這袋糖有80粒.這里，16×3是總差，〔16-10〕是每份差，8是份數(shù).例18有一個班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人；如果減少一條船，每條船正好坐9人.這個班共有多少名同學(xué)？解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現(xiàn)在有6個人無船坐；如果每條船坐9人，可以減少一條船，也就是還可以多來9個人坐船.可以坐船的人數(shù)，兩者相差6＋9＝15〔人〕.這是由于每條船多坐〔9-6〕人產(chǎn)生的，因此共有船〔6＋9〕÷(9-6〕＝5〔條〕·這個班的同學(xué)有6×5＋6＝36〔人〕.答：這個班有36人.例19小明從家去學(xué)校，如果每分鐘走80米，能在上課前6分鐘到校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，那么小明的家到學(xué)校的路程有多遠(yuǎn)？解一：以小明從家出發(fā)到上課這一段時間來算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學(xué)校的距離進(jìn)行比擬：如果每分鐘走80米，就可以多走80×6〔米〕；如果每分鐘走50米，就要少走50×3〔米〕.請看如下示意圖：因此我們可以求出，小明從家出發(fā)到上課這段時間是〔80×6＋50×3〕÷〔80-50〕＝21〔分鐘〕.家至學(xué)校距離是800×〔21-6〕＝1200〔米〕·或50×〔21+3〕＝1200〔米〕.答：小明家到學(xué)校的路程是1200米.解二：以每分鐘80米走完家到學(xué)校這段路程所需時間，作為思考的出發(fā)點(diǎn).用每分鐘50米速度，就要多用6＋3=9〔分種〕.這9分鐘所走的50×80米所需時間是50×〔6＋3〕÷〔80-50〕＝15〔分鐘〕·再看兩個稍復(fù)雜的例子.例20一些桔子分給假設(shè)干個人，每人5個還多余10個桔子.如果人數(shù)增加到3倍還少5個人，那么每人分2個桔子還缺少8個，問有桔子多少個？解：使人感到困難的是條件“3倍還少5人〞.先要轉(zhuǎn)化這一條件.假設(shè)還有10個桔子，10＝2×5，就可以多有5個人，把“少5人〞這一條件暫時擱置一邊，只考慮3倍人數(shù)，也相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2×3=6〔個〕.每人給5個與給6個，總數(shù)相差10＋10＋8＝28(個〕.所以原有人數(shù)28÷〔6-5)=28〔人〕.桔子總數(shù)是5×28＋10＝150〔個〕.答：有桔子150個.例21有一些蘋果和梨.如果按每1個蘋果2個梨分堆，梨分完時還剩5個蘋果，如果按每3個蘋果5個梨分堆，蘋果分完了還剩5個梨.問蘋果和梨各多少？解一：我們設(shè)想再有10個梨，與剩下5個蘋果一起，按“1個蘋果、2個梨〞“3個蘋果、5個梨〞分堆來看，蘋果總數(shù)能被3整除.因此可以把前一種分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3個蘋果，2×3＝6〔個〕梨.與后一種分堆比擬：每堆蘋果都是3個.而梨多1個〔6-5＝1〕.梨的總數(shù)相差設(shè)想增加10個+剩下5個=15個.〔10＋5〕÷〔6-5〕＝15.就知有15個大堆，蘋果總數(shù)是15×3＝45〔個〕.梨的總數(shù)是〔45－5〕×2＝80〔個〕.答：有蘋果45個、梨80個.解二：用圖解法.前一種分堆，在圖上用梨2份，蘋果1份多5個來表示.后一種分堆，只要添上3個蘋果，就可與剩的5個梨又組成一堆.梨算作5份，蘋果恰好是3份.將上、下兩圖對照比擬，就可看出，5＋3＝8〔個〕是以下圖中“半份〞，即1份是16.梨是5份，共有16×5＝80〔個〕.蘋果有16×2.5＋5＝45〔個〕.第三講數(shù)論的方法技巧之一數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強(qiáng)大的生命力。數(shù)論問題表達(dá)簡明，“很多數(shù)論問題可以從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠(yuǎn)非易事〞。因而有人說：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵，并勸他將來從事數(shù)學(xué)方面的工作。〞所以在國內(nèi)外各級各類的數(shù)學(xué)競賽中，數(shù)論問題總是占有相當(dāng)大的比重。小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有：1．帶余除法：假設(shè)a，b是兩個整數(shù)，b＞0，那么存在兩個整數(shù)q，r，使得a=bq+r〔0≤r＜b〕，且q，r是唯一的。特別地，如果r=0，那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。2．假設(shè)a|c，b|c，且a，b互質(zhì)，那么ab|c。3．唯一分解定理：每一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即其中p1＜p2＜…＜pk為質(zhì)數(shù)，a1，a2，…，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的?！?〕式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。4．約數(shù)個數(shù)定理：設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為〔1〕，那么它的正約數(shù)個數(shù)為：d〔n〕=〔a1+1〕〔a2+1〕…〔ak+1〕。5．整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價的。下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來分類講解。3.1利用整數(shù)的各種表示法對于某些研究整數(shù)本身的特性的問題，假設(shè)能合理地選擇整數(shù)的表示形式，那么常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：1．十進(jìn)制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；2．帶余形式：a=bq+r；4．2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt，其中t為奇數(shù)。例1紅、黃、白和藍(lán)色卡片各1張，每張上寫有1個數(shù)字，小明將這4張卡片如以下圖放置，使它們構(gòu)成1個四位數(shù)，并計算這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無論白色卡片上是什么數(shù)字，計算結(jié)果都是1998。問：紅、黃、藍(lán)3張卡片上各是什么數(shù)字？解：設(shè)紅、黃、白、藍(lán)色卡片上的數(shù)字分別是a3，a2，a1，a0，那么這個四位數(shù)可以寫成1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位數(shù)字之和的10倍是10〔a3+a2+a1+a0〕=10a3+10a2+10a1+10a0，這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a110a3+10a2-a0比擬上式等號兩邊個位、十位和百位，可得a0=8，a2=1，a3=2。所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍(lán)色卡片上是8。解：依題意，得a+b+c＞14，說明：求解此題所用的根本知識是，正整數(shù)的十進(jìn)制表示法和最簡單的不定方程。例3從自然數(shù)1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和能被18整除？解：設(shè)a，b，c，d是所取出的數(shù)中的任意4個數(shù)，那么a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中m，n是自然數(shù)。于是c-d=18〔m-n〕。上式說明所取出的數(shù)中任意2個數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個余數(shù)為r，那么a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，其中a1，b1，c1是整數(shù)。于是a+b+c=18〔a1+b1+c1〕+3r。因?yàn)?8|〔a+b+c〕，所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因?yàn)?000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個數(shù)，它們中的任意3個數(shù)之和能被18整除。例4求自然數(shù)N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)，它共有10個約數(shù)。解：把數(shù)N寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指數(shù)ak為自然數(shù)或零。依題意，有〔a1+1〕〔a2+1〕…〔an+1〕=10。由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2個不同的質(zhì)因數(shù)5和7，因?yàn)閍4+1≥3＞2，故由〔a3+1〕〔a4+1〕=10知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。例5如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個2與1個奇數(shù)的積？解：因?yàn)?10=1024，211=2048＞2000，每一個不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中2的個數(shù)不多于10個，而1024=210，所以，N等于10個2與某個奇數(shù)的積。說明：上述5例都是根據(jù)題目的自身特點(diǎn)，從選擇恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問題迎刃而解。3.2枚舉法枚舉法〔也稱為窮舉法〕是把討論的對象分成假設(shè)干種情況〔分類〕，然后對各種情況逐一討論，最終解決整個問題。運(yùn)用枚舉法有時要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?，分類的原那么是不重不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質(zhì)，降低問題的難度。數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。例6求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個數(shù)字的平方和。分析與解：三位數(shù)只有900個，可用枚舉法解決，枚舉時可先估計有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計算量。設(shè)這個三位數(shù)的百位、十位、個位的數(shù)字分別為x，y，z。由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10，所以x2+y2+z2≤10，從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，211，212，220，221，300，301，310。不難驗(yàn)證只有100，101兩個數(shù)符合要求。例7將自然數(shù)N接寫在任意一個自然數(shù)的右面〔例如，將2接寫在35的右面得352〕，如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)。問：小于2000的自然數(shù)中有多少個魔術(shù)數(shù)？對N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。N|100，所以N=10，20，25，50；N|1000，所以N=100，125，200，250，500；〔4〕當(dāng)N為四位數(shù)時，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有1000，1250。綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個數(shù)為14個。說明：〔1〕我們可以證明：k位魔術(shù)數(shù)一定是10k的約數(shù)，反之亦然。〔2〕這里將問題分成幾種情況去討論，對每一種情況都增加了一個前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。例8有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后，3人各自記錄的數(shù)字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數(shù)字分別是多少？解：13+15+23=51，51=3×17。因?yàn)?7＞13，摸17次是不可能的，所以摸了3次，3張撲克牌數(shù)字之和是17，可能的情況有下面15種：①1，6，10②1，7，9③1，8，8④2，5，10⑤2，6，9⑥2，7，8⑦3，4，10⑧3，5，9⑨3，6，8⑩3，7，7(11)4，4，9(12)4，5，8(13)4，6，7(14)5，5，7(15)5，6，6只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。這3張牌的數(shù)字分別是3，5和9。例9寫出12個都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過程中，我們可以看出100以內(nèi)最多可以寫出7個連續(xù)的合數(shù)：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了。解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。分析二：如果12個連續(xù)自然數(shù)中，第1個是2的倍數(shù)，第2個是3的倍數(shù)，第3個是4的倍數(shù)……第12個是13的倍數(shù)，那么這12個數(shù)就都是合數(shù)。又m+2，m+3，…，m+13是12個連續(xù)整數(shù)，故只要m是2，3，…，13的公倍數(shù)，這12個連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。解法2：設(shè)m為2，3，4，…，13這12個數(shù)的最小公倍數(shù)。m+2，m+3，m+4，…，m+13分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù)……13的倍數(shù)，因此12個數(shù)都是合數(shù)。說明:我們還可以寫出13！+2，13！+3，…，13！+13〔其中n！=1×2×3×…×n〕這12個連續(xù)合數(shù)來。同樣，〔m+1〕！+2，〔m+1〕！+3，…，〔m+1〕！+m+1是m個連續(xù)的合數(shù)。3.3歸納法當(dāng)我們要解決一個問題的時候，可以先分析這個問題的幾種簡單的、特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)并歸納出一般規(guī)律或作出某種猜測，從而找到解決問題的途徑。這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。例10將100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個數(shù)字串，依次完成以下5項工作叫做一次操作：〔1〕將左邊第一個數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；〔2〕從左到右兩位一節(jié)組成假設(shè)干個兩位數(shù)；〔3〕劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；〔4〕所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保存左邊的一個，其余劃去；〔5〕所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個新的數(shù)字串。問：經(jīng)過1999次操作，所得的數(shù)字串是什么？解：第1次操作得數(shù)字串；第2次操作得數(shù)字串11133173；第3次操作得數(shù)字串111731；第4次操作得數(shù)字串1173；第5次操作得數(shù)字串1731；第6次操作得數(shù)字串7311；第7次操作得數(shù)字串3117；第8次操作得數(shù)字串1173。不難看出，后面以4次為周期循環(huán)，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得數(shù)字串與第7次相同，是3117。例11有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進(jìn)行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復(fù)這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第幾張？分析與解：可以從簡單的不失題目性質(zhì)的問題入手，尋找規(guī)律。列表如下：設(shè)這一摞卡片的張數(shù)為N，觀察上表可知：〔1〕當(dāng)N=2a〔a=0，1，2，3，…〕時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的最后一張，即第2a〔2〕當(dāng)N=2a+m〔m＜2a〕時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第取N=100，因?yàn)?00=26+36，2×36=72，所以剩下這張卡片是原來那一摞卡片的第72張。說明：此題實(shí)質(zhì)上是著名的約瑟夫斯問題：傳說古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號碼1，2，3，…然后把1號殺了，把3號殺了，總之每隔一個人殺一個人，最后剩下一個人，這個人就是約瑟夫斯。如果這批俘虜有111人，那么約瑟夫斯的號碼是多少？例12要用天平稱出1克、2克、3克分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究?！?〕稱重1克，只能用一個1克的砝碼，故〔2〕稱重2克，有3①增加一個1克②用一個2克③用一個3克的砝碼，稱重時，把一個1克的砝碼放在稱重盤內(nèi)，把3克〔3〕稱重3克，用上面的②③兩個方案，不用再增加砝碼，因此方案①〔4〕稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰?？傊?，用1克、3克〔5〕接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5克9-〔3+1〕=5，即用一個9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1克、3克而要稱14克14+13=27〔克〕，可以稱到1+3+9+27=40〔克〕以內(nèi)的任意整數(shù)克重?？傊来a的重量為1，3，32，33這個結(jié)論顯然可以推廣，當(dāng)天平兩端都可放砝碼時，使用1，3，這是使用砝碼最少、稱重最大的砝碼重量設(shè)計方案。第四講數(shù)論的方法技巧之二反證法反證法即首先對命題的結(jié)論作出相反的假設(shè)，并從此假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，這就否認(rèn)了作為推理出發(fā)點(diǎn)的假設(shè)，從而肯定了原結(jié)論是正確的。反證法的過程可簡述為以下三個步驟：1．反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而其反面成立；2．歸謬：由“反設(shè)〞出發(fā)，通過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；3．結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)〞的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立。運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于導(dǎo)致矛盾。在數(shù)論中，不少問題是通過奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。解：如果存在這樣的三位數(shù)，那么就有100a+10b+c=〔10a+b〕+〔10b+c〕+〔10a+c〕。上式可化簡為80a=b+c，而這顯然是不可能的，因?yàn)閍≥1，b≤9，c≤9。這說明所找的數(shù)是不存在的。說明：在證明不存在性的問題時，常用反證法：先假設(shè)存在，即至少有一個元素，它符合命題中所述的一切要求，然后從這個存在的元素出發(fā)，進(jìn)行推理，直到產(chǎn)生矛盾。例2將某個17位數(shù)的數(shù)字的排列順序顛倒，再將得到的數(shù)與原來的數(shù)相加。試說明，得到的和中至少有一個數(shù)字是偶數(shù)。解：假設(shè)得到的和中沒有一個數(shù)字是偶數(shù)，即全是奇數(shù)。在如下式所示的加法算式中，末一列數(shù)字的和d+a為奇數(shù)，從而第一列也是如此，因此第二列數(shù)字的和b+c≤9。將數(shù)的前兩位數(shù)字a，b與末兩位數(shù)字c，d去掉，所得的13位數(shù)仍具有“將它的數(shù)字顛倒，得到的數(shù)與它相加，和的數(shù)字都是奇數(shù)〞這一性質(zhì)。照此進(jìn)行，每次去掉首末各兩位數(shù)字，最后得到一位數(shù)，它與自身相加是偶數(shù)，矛盾。故和的數(shù)字中必有偶數(shù)。說明：顯然結(jié)論對〔4k+1〕位數(shù)也成立。但對其他位數(shù)的數(shù)不一定成立。如12+21，506+605等。例3有一個魔術(shù)錢幣機(jī)，當(dāng)塞入1枚1分硬幣時，退出1枚1角和1枚5分的硬幣；當(dāng)塞入1枚5分硬幣時，退出4枚1角硬幣；當(dāng)塞入1枚1角硬幣時，退出3枚1分硬幣。小紅由1枚1分硬幣和1枚5分硬幣開始，反復(fù)將硬幣塞入機(jī)器，能否在某一時刻，小紅手中1分的硬幣剛好比1角的硬幣少10枚？解：開始只有1枚1分硬幣，沒有1角的，所以開始時1角的和1分的總枚數(shù)為0+1=1，這是奇數(shù)。每使用一次該機(jī)器，1分與1角的總枚數(shù)記為Q。下面考查Q的奇偶性。如果塞入1枚1分的硬幣，那么Q暫時減少1，但我們?nèi)』亓?枚1角的硬幣〔和1枚5分的硬幣〕，所以總數(shù)Q沒有變化；如果再塞入1枚5分的硬幣〔得到4枚1角硬幣〕，那么Q增加4，而其奇偶性不變；如果塞入1枚1角硬幣，那么Q增加2，其奇偶性也不變。所以每使用一次機(jī)器，Q的奇偶性不變，因?yàn)殚_始時Q為奇數(shù)，它將一直保持為奇數(shù)。這樣，我們就不可能得到1分硬幣的枚數(shù)剛好比1角硬幣數(shù)少10的情況，因?yàn)槿绻覀冇蠵枚1分硬幣和〔P+10〕枚1角硬幣，那么1分和1角硬幣的總枚數(shù)為〔2P+10〕，這是一個偶數(shù)。矛盾。例4在3×3的方格表中已如右圖填入了9個質(zhì)數(shù)。將表中同一行或同一列的3個數(shù)加上相同的自然數(shù)稱為一次操作。問：你能通過假設(shè)干次操作使得表中9個數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎？為什么？解：因?yàn)楸碇?個質(zhì)數(shù)之和恰為100，被3除余1，經(jīng)過每一次操作，總和增加3的倍數(shù)，所以表中9個數(shù)之和除以3總是余1。如果表中9個數(shù)變?yōu)橄嗟龋敲?個數(shù)的總和應(yīng)能被3整除，這就得出矛盾！所以，無論經(jīng)過多少次操作，表中的數(shù)都不會變?yōu)?個相同的數(shù)。構(gòu)造法構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它靈活多樣，數(shù)論中的許多問題都可以通過構(gòu)造某些特殊結(jié)構(gòu)、特殊性質(zhì)的整數(shù)或整數(shù)的組合來解決。例59999和99！能否表示成為99個連續(xù)的奇自然數(shù)之和？解：9999能。因?yàn)?999等于99個9998之和，所以可以直接構(gòu)造如下：9999=〔9998-98〕+〔9998-96〕+…+=〔9998-2〕+9998+〔9998+2〕+…+=〔9998+96〕+〔9998+98〕。99！不能。因?yàn)?9！為偶數(shù)，而99個奇數(shù)之和為奇數(shù)，所以99！不能表示為99個連續(xù)奇數(shù)之和。說明：利用構(gòu)造法證明存在性問題，只要把滿足題設(shè)要求的數(shù)學(xué)對象構(gòu)造出來就行。例6從1，2，3，…，999這999個數(shù)中，要求劃去盡量少的數(shù)，使得余下的數(shù)中每一個數(shù)都不等于另外兩個數(shù)的乘積。應(yīng)劃去哪些數(shù)？解：我們可劃去2，3，…，30，31這30個數(shù)，因?yàn)閯澣チ松鲜鲞@30個數(shù)之后，余下的數(shù)中，除1以外的任何兩個數(shù)之積將大于322=1024＞999。另一方面，可以通過構(gòu)造三元數(shù)組來證明30是最少的個數(shù)。〔2，61，2×61〕，〔3，60，3×60〕，〔4，59，4×59〕，…，〔30，33，30×33〕，〔31，32，31×32〕。上面寫出的這些數(shù)都是互不相同的，并且這些數(shù)中的最大數(shù)為31×32=992。如果劃去的數(shù)少于30個，那么上述三元數(shù)組至少剩下一個，這樣就不滿足題設(shè)條件。所以，30是最少的個數(shù)。配對法配對的形式是多樣的，有數(shù)字的湊整配對，也有集合間元素與元素的配對〔可用于計數(shù)〕。傳說高斯8歲時求和〔1+2+…+100〕首創(chuàng)了配對。像高斯那樣，善于使用配對技巧，常常能使一些外表上看來很麻煩，甚至很棘手的問題迎刃而解。例7求1，2，3，…，9999998，9999999這9999999個數(shù)中所有數(shù)碼的和。解：在這些數(shù)前面添一個數(shù)0，并不影響所有數(shù)碼的和。將這1000萬個數(shù)兩兩配對，因?yàn)?與9999999，1與9999998，…，4999999與5000000各對的數(shù)碼和都是9×7=63。這里共有5000000對，故所有數(shù)碼的和是63×5000000=315000000。例8某商場向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個四位數(shù)的號碼，從0001到9999號。假設(shè)號碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，那么稱這張購物券為“幸運(yùn)券〞。例如號碼0734，因0+7=3+4，所以這個號碼的購物券是幸運(yùn)券。試說明，這個商場所發(fā)的購物券中，所有幸運(yùn)券的號碼之和能被101整除。解：顯然，號碼為9999的是幸運(yùn)券，除這張幸運(yùn)券外，如果某個號碼n是幸運(yùn)券，那么號碼為m=9999-n的購物券也是幸運(yùn)券。由于9999是奇數(shù)，所以m≠n。由于m+n=9999，相加時不出現(xiàn)進(jìn)位，所以除去號碼是9999這張幸運(yùn)券之外，其余所有幸運(yùn)券可全部兩兩配對，而每一對兩個號碼之和均為9999，即所有幸運(yùn)券號碼之和是9999的倍數(shù)。因?yàn)?999=99×101，所以所有幸運(yùn)券號碼之和能被101整除。試說明分子m是質(zhì)數(shù)89的倍數(shù)。解法一：仿照高斯求和〔1+2+3+…+n〕的方法，將和①②兩式相加，得從而2m×88！=89×k〔k是正整數(shù)〕。因?yàn)?9為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除88！，從而89|m。解法二：作配對處理將括號內(nèi)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，其公分母為1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，從而m×88！=89×k〔k=n×q〕。因?yàn)?9為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除88！，從而89|m。估計法估計法是用不等式放大或縮小的方法來確定某個數(shù)或整個算式的取值范圍，以獲取有關(guān)量的本質(zhì)特征，到達(dá)解題的目的。在數(shù)論問題中，一個有限范圍內(nèi)的整數(shù)至多有有限個，過渡到整數(shù)，就能夠?qū)赡艿那闆r逐一檢驗(yàn)，以確定問題的解。求這個數(shù)，并求出滿足題意的5組不同的真分?jǐn)?shù)。解：因每一真分?jǐn)?shù)滿足而所求的數(shù)整S是四個不同的真分?jǐn)?shù)之和，因此2＜S＜4，推知S=3。于是可得如下5組不同的真分?jǐn)?shù)：例11在乘積1×2×3×…×n的尾部恰好有106個連續(xù)的零，求自然數(shù)n的最大值。分析：假設(shè)n的具體數(shù)值，求1×2×…×n的尾部零的個數(shù)，那么比擬容易解決，現(xiàn)在反過來知道尾部零的個數(shù)，求n的值，不大好處理，我們可以先估計n大約是多少，然后再仔細(xì)確定n的值。因此，乘積1×2×3×…×400中含質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)為80+16+3=99〔個〕。又乘積中質(zhì)因數(shù)2的個數(shù)多于5的個數(shù)，故n=400時，1×2×…×n的尾部有99個零，還需7個零，注意到425中含有2個質(zhì)因數(shù)5，所以當(dāng)n=430時，1×2×…×n的尾部有106個零；當(dāng)n=435時，1×2×…×n的尾部有107個零。因此，n的最大值為434。第五講整數(shù)問題之一整數(shù)是最根本的數(shù)，它產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問題.在中、小學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽中，有關(guān)整數(shù)的問題占有重要的地位.我們除了從課本上學(xué)習(xí)整數(shù)知識以外，還必須通過課外活動來補(bǔ)充一些整數(shù)的知識，以及解決問題的思路和方法。對于兩位、三位或者更多位的整數(shù)，有時要用下面的方法來表示：49=4×10+9，235=2×100+3×10+5，7064=7×1000+6×10+4，…就是5.1整除整除是整數(shù)問題中一個重要的根本概念.如果整數(shù)a除以自然數(shù)b，商是整數(shù)且余數(shù)為0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，記作b丨a.此時，b是a的一個因數(shù)〔約數(shù)〕，a是b的倍數(shù).性質(zhì)1如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除〔這里設(shè)a>b〕.例如：3丨18，3丨12，那么3丨〔18+12〕，3丨〔18-12〕.性質(zhì)2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。例如：3丨6，6丨24，那么3丨24.性質(zhì)3如果a能同時被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍數(shù)整除.例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍數(shù)是18，18丨36.如果兩個整數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么它們稱為互質(zhì)的.例如：7與50是互質(zhì)的，18與91是互質(zhì)的.性質(zhì)4整數(shù)a，能分別被b和c整除，如果b與c互質(zhì)，那么a能被b×c整除.例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質(zhì)，72能被3與4的乘積12整除.性質(zhì)4中，“兩數(shù)互質(zhì)〞這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因?yàn)?與8不互質(zhì)，6與8的最大公約數(shù)是2.質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是b×c.事實(shí)上，根據(jù)性質(zhì)4，我們常常運(yùn)用如下解題思路：要使a被b×c整除，如果b與c互質(zhì)，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的數(shù)都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數(shù)的整除問題.〔1〕能被2整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除.〔2〕能被5整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是0或5，那么它必能被5整除.〔3〕能被3〔或9〕整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3〔或9〕整除，那么它必能被3〔或9〕整除.〔4〕能被4〔或25〕整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末兩位數(shù)能被4〔或25〕整除，那么它必能被4〔或25〕整除.〔5〕能被8〔或125〕整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8〔或125〕整除，那么它必能被8〔或125〕整除.〔6〕能被11整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差〔大減小〕能被11整除，那么它必能被11整除.是什么數(shù)字？解：18=2×9，并且2與9互質(zhì)，根據(jù)前面的性質(zhì)4，可以分別考慮被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考慮被9整除，四個數(shù)字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果b=0，只有a=7，此數(shù)是7740；如果b=2，只有a=5，此數(shù)是7542；如果b＝4，只有a＝3，此數(shù)是7344；如果b＝6，只有a＝1，此數(shù)是7146；如果b＝8，只有a＝8，此數(shù)是7848.因此其中最小數(shù)是7146.根據(jù)不同的取值，分情況進(jìn)行討論，是解決整數(shù)問題常用方法，例1就是一個典型.例2一本老賬本上記著：72只桶，共□□元，其中□處是被蟲蛀掉的數(shù)字，請把這筆賬補(bǔ)上.解：把□□寫成整數(shù)679，它應(yīng)被72整除.72＝9×8，9與8又互質(zhì).按照前面的性質(zhì)4，只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數(shù)字之和+24能被9整除，因此a＝3.這筆帳是367.92元.例3在1，2，3，4，5，6六個數(shù)字中選出盡可能多的不同數(shù)字組成一個數(shù)〔有些數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)〕，使得能被組成它的每一個數(shù)字整除，并且組成的數(shù)要盡可能小.解：122364.例4四位數(shù)7□4□能被55整除，求出所有這樣的四位數(shù).解：55＝5×11，5與11互質(zhì)，可以分別考慮被5與11整除.要被5整除，個位數(shù)只能是0或5.再考慮被11整除.〔7+4〕-〔百位數(shù)字+0〕要能被11整除，百位數(shù)字只能是0，所得四位數(shù)是7040.〔7+4〕-〔百位數(shù)字+5〕要能被11整除，百位數(shù)字只能是6〔零能被所有不等于零的整數(shù)整除〕，所得四位數(shù)是7645.滿足條件的四位數(shù)只有兩個：7040，7645.例5一個七位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數(shù)中，最大的是哪一個？，要使它被11整除，要滿足〔9+7+5+b〕-〔8+6+a〕=〔21+b〕-〔14+a〕能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個數(shù)，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數(shù)是9876504.再介紹另一種解法.先用各位數(shù)字均不相同的最大的七位數(shù)除以11〔參見下頁除式〕.要滿足題目的條件，這個數(shù)是9876543減6，或者再減去11的倍數(shù)中的一個數(shù)，使最后兩位數(shù)字是0，1，2，3，4中的兩個數(shù)字.43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此這個數(shù)是9876504.思考題：如果要求滿足條件的數(shù)最小，應(yīng)如何去求，是哪一個數(shù)呢？〔答：1023495〕例6某個七位數(shù)1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三個數(shù)字組成的三位數(shù)是多少？與上例題一樣，有兩種解法.解一：從整除特征考慮.這個七位數(shù)的最后一位數(shù)字顯然是0.另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數(shù)字和是5或14，要被8整除，最后三位組成的三位數(shù)要能被8整除，因此只可能是下面三個數(shù)：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數(shù)是320.解二：直接用除式來考慮.2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數(shù)是2520，這個七位數(shù)要被2520整除.現(xiàn)在用1993000被2520來除，具體的除式如下：因?yàn)?520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面這個41位數(shù)能被7整除，中間方格代表的數(shù)字是幾？解：因?yàn)?11111＝3×7×11×13×37，所以555555＝5×111111和999