三次函數(shù)的圖象與性質（教師版）

三次函數(shù)知識點總結知識點一：三次函數(shù)概念定義：形如fxf'x=3ax2+2bx+c當Δ>0時，令f'x知識點二：三次函數(shù)的圖像及單調性注意：三次函數(shù)要么無極值點，要么有兩個，不可能只有一個！圖像圖像性質增區(qū)間減區(qū)間xfx極大值，極小值f'fx在Rfx增區(qū)間x減區(qū)間fx極大值fx2f'fx在Rfx知識點三：三次函數(shù)的韋達定理設fx=axx1+x2+x3=?ba[證明]設f即f故?知識點四：三次函數(shù)的零點個數(shù)若三次函數(shù)fx性質三次函數(shù)圖像說明零點個數(shù)三個bf兩個極值符號相異圖像與x軸有三個交點兩個bf有一個極值為0圖像與x軸有兩個交點一個bf不存在極值時，函數(shù)單調，與x軸有一個交點知識點五：三次函數(shù)的對稱性結論1：三次函數(shù)fx=ax3+b[證明]設y=fx的圖象關于m，n對稱，則fxf即f故所以三次函數(shù)fx=ax結論2：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2[證明]f故fx1?fx2x結論3：若y=fx圖像關于點m，n對稱，則y=f'x圖結論4：點對稱函數(shù)的導數(shù)是軸對稱函數(shù)，軸對稱函數(shù)的導數(shù)是點對稱函數(shù)結論5：奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)知識點六：三次函數(shù)的零點性質定理定理一：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖象與x軸交點分別為P1，P2，P3，點P是三次函數(shù)固象上異于P1[證明]設Px0，fx代入點P得，k又k同理k2=ax定理二：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+d結論：f[證明]設P1x則k所以f'm定理三：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖像與x軸交點分別為P1[證明]由題f故f故1所以1k1+定理四：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0在其中心對稱點Px0，fx0[證明]由題f故f所以k即k1化簡得k1又由韋達定理待x1+x2+x所以k1+k2定理五：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖像與x軸的交點分別為P1x1，0，P2x2，0，P3x3，0，過P1的法線為[證明]由題f故f故f'x1=ax1?x2x1所以yM+yN=0，即知識點七：三次函數(shù)的割線性質定理定理一：已知在三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da[證明]設Mx1，fx1，Nx2，fx2兩式相減得a即a化簡得a此時x1，x由韋達定理得x1+x2=?ax所以T點的橫坐標平分M，N的橫坐標，證畢.推論一已知在三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖像上任取點P，過點P[證明]由定理一知：2xT=xM推論二：已知在三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠[證明]證法同定理一定理二：已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da>0的中心對稱點為點Px0，fx0，極大值為m，且即x2?x[證明]由三次函數(shù)對稱性知，M與N關于點P對稱，所以x又由推論一知：x0+x2=2x3，故x知識點八：三次函數(shù)的切線條數(shù)判斷定理類型一：過三次函數(shù)圖像上任一點的切線①設點P為三次函數(shù)fx=ax3+bx②若點P為三次函數(shù)圖像的中心對稱點，則過點P有且只有一條切線；③若點P不是三次函數(shù)圖像的對稱中心，則過點P有兩條不同的切線.[證明]設Px1，y1，f'x(2)若P不是切點，則過P點作y=fx圖像的切線，切于另一點k又即當k1=當x1=?b3a時，兩切重合，所以過點P在且只有一條切線，當x1其切線方程：y?y1類型二：過三次函數(shù)圖像外一點的切線區(qū)域分布切線條數(shù)判定定理：過三次函數(shù)fx=ax3+bx2①當x0=?b3a，則P為中心對稱點，過點②當x0≠?b3a，且gx③當x0≠?b3a，且gx④當x0≠?b3a，且gx[證明]設過點P作直線與y=fx圖像相切于點Qx1，y1，則切線方程為設gg令g'x=0，則x=x0，x=?b3a，當gx=0恰有一個實根的充要條件是曲線y=gx與x軸只有一個交點，即y=gx在R上為單調函數(shù)或兩極值同號，所以x0=?b3a或x0≠?b3a，且gx0g所以x0≠?b3a且類型三：由三次函數(shù)切線斜率值判斷切線條數(shù)斜率值切線條數(shù)判定定理：已知三次函數(shù)fx=ax3+k與系數(shù)的關系aak一條一條k兩條兩條k零條兩條[證明]fx=ax當x=?b3a時，f'xmin此時切線有且只有一條：其方程為y?f當k>3ac?b23a時，方和3a此時存在兩個不同的切點x1所以斜率為kk<3ac?b23a時，方程同理可證，a<0時結論成立題型一：三次函數(shù)的零點問題例1．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當時，，當，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題例2．已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）設.若，在上的最小值為，求的零點.【解析】（1）∵在上存在單調遞增區(qū)間，∴在上有解，又是對稱軸為的二次函數(shù)，所以在上的最大值大于0，而的最大值為，∴，解得：.（2），∴，由得：，，則在，上單調遞減，在上單調遞增，又∵當時，，，∴在上的最大值點為，最小值為或，而，當，即時，，得，此時，的零點為；當，即時，，得（舍）.綜上的零點為.題型三：三次函數(shù)的單調性問題例3．已知函數(shù)，，m是實數(shù).（1）若在區(qū)間(2,+∞)為增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下,函數(shù)有三個零點，求m的取值范圍.【解析】(1)，因為在區(qū)間為增函數(shù),所以在區(qū)間恒成立,所以,即恒成立,由,得.所以的取值范圍是.(2)，所以,令,解得或,時,,在上是增函數(shù),不合題意,時,令,解得或,令,解得,所以在遞增,在遞減,所以極大值為,極小值為,要使有3個零點,需，解得.所以的取值范圍是.題型四：三次函數(shù)的切線問題例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求曲線在點，處的切線方程；(2)設常數(shù)，如果過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)，．切線方程為，即．（2）由已知關于的方程，即有三個不等實根．令，則．可知在遞減，在遞增，在遞減，的極小值為：，極大值為．所以.變式c．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)在處取得極值．(1)設點，求證：過點的切線有且只有一條，并求出該切線方程；(2)若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍；(3)設曲線在點、處的切線都過點，證明：．【解析】（1）證明：由，得：，由題意可得，所以，．此時，，當時，，此時函數(shù)單調遞增，當時，，此時函數(shù)單調遞減，所以，函數(shù)在處取得極大值．設切點為，則切線方程為，即，即為，將點的坐標代入方程可得，即，所以，即點為切點，且切點是唯一的，故切線有且只有一條．所以切線方程為.（2）因為切線方程為，把點的坐標代入切線方程可得，因為有三條切線，故方程得有三個不同的實根．設，，令，可得和．當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，所以，函數(shù)在處取得極大值，且，函數(shù)在處取得極小值，且，因為方程有三個根，則，解得，因為，，由零點存在定理可知，函數(shù)有三個零點，綜上所述，．（3）證明：假設，則，則，因為，所以．由（2）可得，兩式相減可得．因為，故．把代入上式可得，，所以，，所以．又由，這與矛盾．所以假設不成立，即證得．題型五：三次函數(shù)的對稱問題例5．（2023·全國·高三專題練習）給出定義：設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.經研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【解析】由，可得，令，可得，又，所以的圖像的對稱中心為，即，所以，故選：B.變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象上存在一定點滿足：若過點的直線與曲線交于不同于的兩點，就恒有的定值為，則的值為______.【解析】因為為定點，為定值，所以兩點關于點對稱，由可得，設，令，解得，所以根據(jù)三次函數(shù)的對稱中心的二階導數(shù)為0可得是三次函數(shù)的對稱中心，所以，即.故答案為：2變式2：（多選題）已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．函數(shù)有三個零點C．過可以作兩條直線與圖像相切D．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則E．的值是199.F．過可以作三條直線與圖像相切【解析】對于A中，由，可得，則，因為點是對稱中心，結合題設中“拐點”的定義可知，且，解得，所以A正確；對于B中，由，可知，則，令，可得或，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；又，則函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)只有一個零點，所以B錯誤；對于C中，因為，所以點恰好在的圖象上，畫出函數(shù)的切線，如圖所示，由圖象可知過點可作函數(shù)的兩條切線，所以C正確；對于D中，若在區(qū)間上有最大值，由上圖可知，最大值只能是，所以且，解得，所以D正確.故選：ACD.E、因為函數(shù)的對稱中心為，所以有，設，所以有，得，，所以即的值是199.故B正確；F、設切點為，則切線方程為，又切線過，則，化簡得，即，解得或，即滿足題意的切點只有兩個，所以滿足題意只有兩條切線，故D錯誤.題型六：三次函數(shù)的綜合問題例6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（

）A．5B．6C．1D．8【解析】由得，因為在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，所以，此時的另外一個根，所以，因為方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，所以，所以且，所以則所以，因為，所以，所以的最小值是5.故選：A．變式．（2023·全國·高三專題練習）已知，，且，現(xiàn)給出如下結論：①；②；③；④；⑤．其中正確結論的序號是__．【解析】求導函數(shù)可得，當時，；當，或時，，所以的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為，所以的極大值為，的極小值為，函數(shù)沒有最值，要使有三個解、、，那么結合函數(shù)草圖可知：，所以，且，所以，，，，故①②錯誤；③④⑤正確.故答案為：③④⑤．題型七：三次函數(shù)恒成立問題例7．（2023·全國·高三專題練習）設為實數(shù)，函數(shù)，.(1)求的極值；(2)對于，，都有，試求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域為，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增故函數(shù)的極大值為，極小值為.(2)對于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故當時，，因為，且，則且不恒為零，故函數(shù)在上單調遞增，故，由題意可得，故.變式1．已知三次函數(shù)．（1）若函數(shù)在點處的切線方程是，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，，都有，求出實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意，函數(shù)，可得，因為函數(shù)在點處的切線方程是，可得，解得，，所以．（2）由（1）知，令，即，解得，當時，；當時，；當時，；所以在和上分別單調遞增，在上單調遞減，而，，，，所以在區(qū)間上，，所以對于區(qū)間上任意兩個自變量，，都有，所以，即實數(shù)的取值范圍是．變式2c．已知函數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù)(1)若為函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；(2)的單調增區(qū)間內有且只有兩個整數(shù)時，求實數(shù)的取值范圍；(3)對任意時，任意實數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的最大值.【解析】（1）因為，所以，因為為函數(shù)的極值點，所以，解得或；當時，，則，所以，當時，函數(shù)單調遞增，當或時，函數(shù)單調遞減，故函數(shù)在處取得極小值，符合題意；當時，，則，所以，當時，函數(shù)單調遞增，當或時，函數(shù)單調遞減，故函數(shù)在處取得極小值，符合題意；綜上，或．（2），因為的單調增區(qū)間內有且只有兩個整數(shù)，所以，有且只有兩個整數(shù)滿足不等式，即有且只有兩個整數(shù)滿足不等式，顯然，當時，解得，即不等式的解集為，所以，解得；當時，解得，即不等式的解集為，所以，解得；綜上可得（3）因為，令，則，令，則或，因為，所以，，所以當，和，時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，所以函數(shù)的極小值為，又，令，在上成立，所以，當時，函數(shù)單調遞增，故，所以，即當，時，，又其對應函數(shù)圖像的對稱軸為，所以時，，所以，故有，所以，，，因為，，所以，所以，即實數(shù)的最大值為.課后練習（多選題）1．已知三次函數(shù)有三個不同的零點，若函數(shù)也有三個不同的零點，則下列等式或不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．【詳解】，因為原函數(shù)有三個不同的零點，則有兩個不同的實根，即，則，即，所以A錯誤；因為三次函數(shù)有三個不同的零點，所以，所以，同理，所以，故C正確，D錯誤；由的圖象與直線的交點可知，B正確．故選：BC．

2．設三次函數(shù)，則以下說法正確的是（

）A．函數(shù)的“拐點”為B．過函數(shù)的“拐點”有三條切線C．當時，函數(shù)有兩個極值點，且兩個極值點之和為D．若，則【詳解】對于A，，，令得，由題意得函數(shù)的“拐點”為，故A正確；對于B，對于函數(shù)，，，顯然的“拐點”為，設過“拐點”的切線的切點為，，則切線方程為，代入，得，解得，所以過“拐點”的切線只有一條，故B錯誤；對于C，，，若函數(shù)有兩個極值點，則有兩個不等的實根，故，即，且兩個極值點為的兩根，由根與系數(shù)之間的關系得兩個極值點之和為，故C正確；對于D，若，則，由A項分析及題意知，函數(shù)的對稱中心為，即若，則，設，又，兩式相加得，故，故D正確.故選：ACD3．已知三次函數(shù)，下列結論正確的是（

）A．當時，單調遞減區(qū)間為B．當時，單調遞增區(qū)間為C．當時，若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則D．當時，恒成立，則a的取值范圍為【詳解】，則，當時，在區(qū)間上，所以在上單調遞減區(qū)間，A正確，B錯誤；要使函數(shù)恰有兩個不同的零點，則有一個極值為0，由上分析知：或，而時，不滿足題意；所以，有，化簡可得，C正確；當時恒成立，即恒成立，令，則，故，在上，單