四川省成都重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

成都重點(diǎn)學(xué)校2023~2024學(xué)年度上期高二上12月考試數(shù)學(xué)試題（測試時間120分鐘，滿分150分）一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.2.已知分別是平面的法向量，若，則（）A.-7B.-1C.1D.73.在一個實(shí)驗(yàn)中，某種豚鼠被感染病毒的概率均為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機(jī)產(chǎn)生出之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：據(jù)此估計三只豚鼠都沒有被感染的概率為（）A.0.25B.0.4C.0.6D.0.754.方程，化簡的結(jié)果是（）A.B.C.D.5.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，若是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（）A.4B.3C.2D.16.已知矩形為平面外一點(diǎn)，平面，點(diǎn)滿足，.若，則（）A.-1B.1C.D.7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過作雙曲線的其中一條漸近線的垂線，垂足為（第一象限），并與雙曲線交于點(diǎn)，若，則的斜率為（）A.2B.1C.D.8.已知的三個頂點(diǎn)都在橢圓上，其中為左頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，若以為頂角的等腰三角形恰好有3個，則的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為35，則的取值可以是（）A.20B.35C.42D.5310.對于一個古典概型的樣本空間和事件A，B，其中，則（）A.事件A與事件B互斥B.C.事件與事件相互獨(dú)立D.11.已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且關(guān)于的平分線的對稱點(diǎn)恰好在上，則（）A.的實(shí)軸長為2B.的離心率為C.的面積為D.的平分線所在直線的方程為12.如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形上的動點(diǎn)，則（）A.滿足平面的點(diǎn)的軌跡長度為B.滿足的點(diǎn)的軌跡長度為C.存在點(diǎn)，使得平面經(jīng)過點(diǎn)D.存在點(diǎn)滿足三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.對任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為__________.14.已知向量，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.15.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的周長為__________.16.過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，又直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，那么__________.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例?使用分層隨機(jī)抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)?將數(shù)據(jù)分成7組：，，并整理得到如圖的頻率分布直方圖.（1）估計總體400名學(xué)生中分?jǐn)?shù)小于60的人數(shù)；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（3）根據(jù)該大學(xué)規(guī)定?把的學(xué)生劃定為不及格?確定本次測試的及格分?jǐn)?shù)線?低于及格分?jǐn)?shù)線的學(xué)生需要補(bǔ)考.18.已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，求（1）線段的長（2）兩圓有公切線方程.19.如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn).（1）證明：當(dāng)為棱的中點(diǎn)時，平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得；若存在，求的值；若不存在，請說明理由.20.甲?乙?丙三人進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.已知在每場比賽中，甲勝乙和甲勝丙的概率均為，乙勝丙的概率為，各場比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽，第一場比賽甲輪空.（1）求前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率；（2）求只需四場比賽就決出冠軍的概率.21.已知拋物線上第一象限的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2.（1）求拋物線的方程和點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于，若的角平分線與軸垂直，求弦的長.22.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，且與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成一個等腰直角三角形，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)作互相垂直且與軸不重合的兩直線分別交橢圓于，且分別是弦的中點(diǎn).（1）求橢圓的方程.（2）求證：直線過定點(diǎn).（3）求面積的最大值.參考答案一?選擇題1-4ABAB5-8BCBA9.BCD10.BC11.ACD12.AD二?填空題13.或14.15.16.三?解答題17.【詳解】（1）解：據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于60的頻率為，所以估計總體400名學(xué)生中分?jǐn)?shù)小于60的人數(shù)為.（2）解：根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計為.（3）解：設(shè)分?jǐn)?shù)的第25百分位數(shù)為，分?jǐn)?shù)小于70的頻率為，分?jǐn)?shù)小于60的頻率為，所以，即，解得，則本次考試的及格分?jǐn)?shù)線為65分.18.【詳解】（1）聯(lián)立方程組，兩式相減得到直線的方程為，原點(diǎn)到直線的距離為，根據(jù)勾股定理得（2）由圓，可得，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，又由圓，可得圓心，半徑為，可得直線與兩圓相切，即為兩圓的公切線，則關(guān)于兩圓圓心所在直線對稱的直線即為另一條公切線，由和，可得兩圓心所在直線為，即，聯(lián)立方程組，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為，可得，解得，即對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所求的另一條切線過點(diǎn)，可得其方程為，故所求切線方程為或19.【詳解】（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故可得，根據(jù)已知條件可知：，故，故四邊形為平行四邊形，則，又平面平面，故面（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又四邊形為矩形，故，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，設(shè)，若，則，即，解得，不滿足題意，故②錯誤；20.【詳解】（1）記事件為甲勝乙，則，則，事件為甲勝丙，則，事件為乙勝丙，則，.則丙被淘汰可用事件來表示，所以，前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率為（2）若最終的冠軍為甲，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件來表示，若最終的冠軍為乙，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件來表示，若最終的冠軍為丙，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件來表示，.所以，只需四場比賽就決出冠軍的概率為.21.【詳解】（1）由可得：，故拋物線方程為：，當(dāng)時，，又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）由題意可得直線1的斜率存在，設(shè)直線方程為，由，得，所以，，因?yàn)榈慕瞧椒志€與軸垂直，所以，所以，即，即，所以，所以.22.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，因?yàn)榕c短軸的一個頂點(diǎn)構(gòu)成一個等腰直角三角形，所以，所以，解得，所以橢圓方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立，消