云南省玉溪市紅塔區(qū)普通高中2024屆高三5月質(zhì)量監(jiān)測（最后一模）數(shù)學試題試卷

云南省玉溪市紅塔區(qū)普通高中2024屆高三5月質(zhì)量監(jiān)測（最后一模）數(shù)學試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面向量，滿足且，若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當變化時，的最大值為（）A． B． C． D．12．已知，若，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．63．集合，，則=()A． B．C． D．4．已知是雙曲線的左、右焦點，是的左、右頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．下列命題中，真命題的個數(shù)為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．36．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．7．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．8．已知表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，且則“”是“”的()條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要9．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為（）A． B．C． D．10．一個空間幾何體的正視圖是長為4，寬為的長方形，側(cè)視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．11．若復數(shù)滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-512．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項的和為，，且成等比數(shù)列，則（）A．56 B．72 C．88 D．40二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，若關于的方程有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍_____．14．若實數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為______.15．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則__________．16．實數(shù)，滿足，如果目標函數(shù)的最小值為，則的最小值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線C的極坐標方程；（2）直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點，求最大時，直線l的直角坐標方程.19．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；（2）若，問函數(shù)有無極值點？若有，請求出極值點的個數(shù)；若沒有，請說明理由．20．（12分）已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若，且，證明：.21．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知點為橢圓上任意一點，直線與圓交于，兩點，點為橢圓的左焦點.（1）求證：直線與橢圓相切；（2）判斷是否為定值，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【題目詳解】根據(jù)題意,設,則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當與圓相切時,有最大值設切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【題目點撥】本題考查了平面向量的坐標應用,平面向量基本定理的應用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的應用,綜合性強,屬于難題.2、C【解題分析】

先求出，再由，利用向量數(shù)量積等于0，從而求得.【題目詳解】由題可知，因為，所以有，得，故選：C.【題目點撥】該題考查的是有關向量的問題，涉及到的知識點有向量的減法坐標運算公式，向量垂直的坐標表示，屬于基礎題目.3、C【解題分析】

先化簡集合A,B，結合并集計算方法，求解，即可．【題目詳解】解得集合，所以，故選C．【題目點撥】本道題考查了集合的運算，考查了一元二次不等式解法，關鍵化簡集合A,B，難度較?。?、D【解題分析】

根據(jù)為等腰三角形，可求出點P的坐標，又由的斜率為可得出關系，即可求出漸近線斜率得解.【題目詳解】如圖，因為為等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.5、C【解題分析】

否命題與逆命題是等價命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【題目詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.【題目點撥】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結構，即它的條件和結論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關的知識進行判斷．(2)當一個命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：①若由“”經(jīng)過邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．6、C【解題分析】

由題可知，設函數(shù)，，根據(jù)導數(shù)求出的極值點，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結合圖象，可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】設函數(shù)，，因為，所以，或，因為時，，或時，，，其圖象如下：當時，至多一個整數(shù)根；當時，在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需，，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查不等式的解法和應用問題，還涉及利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結合思想和解題能力.7、D【解題分析】

利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結果.【題目詳解】因為，由，解得，即函數(shù)的增區(qū)間為，所以當時，增區(qū)間的一個子集為.故選D.【題目點撥】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時對于整體法的應用,使問題化繁為簡,難度較易.8、B【解題分析】

根據(jù)充分必要條件的概念進行判斷.【題目詳解】對于充分性：若，則可以平行，相交，異面，故充分性不成立；若，則可得，必要性成立.故選：B【題目點撥】本題主要考查空間中線線，線面，面面的位置關系，以及充要條件的判斷，考查學生綜合運用知識的能力.解決充要條件判斷問題，關鍵是要弄清楚誰是條件，誰是結論.9、A【解題分析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點求出，化簡即得所求.【題目詳解】由圖像知，，，解得，因為函數(shù)過點，所以，，即，解得，因為，所以，.故選：A【題目點撥】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導公式，屬于基礎題.10、B【解題分析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積．【題目詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，．故選：B．【題目點撥】本題考查三視圖，考查棱柱的體積．解題關鍵是由三視圖不愿出原幾何體．11、C【解題分析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【題目詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．12、B【解題分析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【題目詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，考查等差數(shù)列基本量的計算，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求出，從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)．即可得的最大值為，令，得函數(shù)取得最小值，由有實數(shù)解，，進而得實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】解：，當時，；當時，；函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)．所以的最大值為，令，所以當時，函數(shù)取得最小值，又因為方程有實數(shù)解，那么，即，所以實數(shù)的取值范圍是：．故答案為：【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導數(shù)的應用，屬于中檔題.14、5【解題分析】

根據(jù)題意，畫出圖像，數(shù)形結合，將目標轉(zhuǎn)化為求動直線縱截距的最值，即可求解【題目詳解】畫出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示，令，則.分析知，當，時，取得最小值，且.【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎題15、0.22.【解題分析】

正態(tài)曲線關于x＝μ對稱，根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可。【題目詳解】【題目點撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題．16、【解題分析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的最小值為，確定出的值，進而確定出C點坐標，結合目標函數(shù)幾何意義，從而求得結果.【題目詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi)，由得可知，直線的截距最大時，取得最小值，此時直線為，作出直線，交于A點，由圖象可知，目標函數(shù)在該點取得最小值，所以直線也過A點，由，得，代入，得，所以點C的坐標為．等價于點與原點連線的斜率，所以當點為點C時，取得最小值，最小值為，故答案為：.【題目點撥】該題考查的是有關線性規(guī)劃的問題，在解題的過程中，注意正確畫出約束條件對應的可行域，根據(jù)最值求出參數(shù)，結合分式型目標函數(shù)的意義求得最優(yōu)解，屬于中檔題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用二倍角的正弦公式與正弦的和角公式化簡求解即可.(2)由(1)有,根據(jù)正弦定理可得,進而求得的值,再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【題目詳解】（1）由,得,得,由正弦定理得,顯然,同時除以,得.所以.所以.顯然,所以,解得.又,所以.（2）若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【題目點撥】本題主要考查了正余弦定理與面積公式在解三角形中的運用,需要根據(jù)題意用正弦定理進行邊角互化,再根據(jù)三角恒等變換進行化簡求解等.屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可求出結論；（2）由（1）得曲線表示圓，直線曲線C交于A，B兩點，最大值為圓的直徑，直線過圓心，即可求出直線的方程.【題目詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得曲線C的普通方程為，因為，所以曲線C的極坐標方程為，即.（2）因為直線（t為參數(shù)）表示的是過點的直線，曲線C的普通方程為，所以當最大時，直線l經(jīng)過圓心.直線l的斜率為，方程為，所以直線l的直角坐標方程為.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標方程與極坐標方程互化、直線與曲線的位置關系，考查化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19、（1）（2）沒有，理由見解析【解題分析】

（1）求導，研究函數(shù)在x=0處的導數(shù)，等于切線斜率，即得解；（2）對f(x)求導，構造，可證得，得到，即得解【題目詳解】（1）由題意得，∵曲線在點處的切線與直線平行，∴切線的斜率為，解得．（2）當時，，，設，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)，故恒成立，∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)不存在極值點．【題目點撥】本題考查了導數(shù)在切線問題和函數(shù)極值問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.20、（1）極大值為；極小值為；（2）見解析【解題分析】

（1）對函數(shù)求導,進而可求出單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的極值;（2）構造函數(shù),求導并判斷單調(diào)性可得,從而在上恒成立,再結合,,可得到,即可證明結論成立.【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域為,,所以當時,;當時,,則的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.（2）證明:由（1）知,設函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,故,又,則,即在上恒成立.因為,所以,又,則,因為,且在上單調(diào)遞減,所以,故.【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查了利用導數(shù)證明不等式,構造函數(shù)是解決本題的關鍵,屬于難題.21、（1）；（2）