必修四4.平面向量的數(shù)量積(教案)

2、4平面向量得數(shù)量積教案Ａ第１課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1．掌握平面向量得數(shù)量積及其幾何意義;2.掌握平面向量數(shù)量積得重要性質(zhì)及運(yùn)算律;３.了解用平面向量得數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度與垂直得問題;二、過程與方法本節(jié)學(xué)習(xí)得關(guān)鍵就是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積得定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積得運(yùn)算律,然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積得認(rèn)識.三、情感、態(tài)度與價值觀通過問題得解決,培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題與解決問題得實(shí)際操作能力；培養(yǎng)學(xué)生得交流意識、合作精神；培養(yǎng)學(xué)生敘述表達(dá)自己解題思路與探索問題得能力.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面向量數(shù)量積得定義．教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積得定義及運(yùn)算律得理解與平面向量數(shù)量積得應(yīng)用、教學(xué)關(guān)鍵:平面向量數(shù)量積得定義得理解.教學(xué)方法本節(jié)學(xué)習(xí)得關(guān)鍵就是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積得定義,理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積得運(yùn)算律,然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積得認(rèn)識.學(xué)習(xí)方法通過類比物理中功得定義,來推導(dǎo)數(shù)量積得運(yùn)算．教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備:多媒體、尺規(guī)、學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、尺規(guī)、教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課在物理課中,我們學(xué)過功得概念,即如果一個物體在力Ｆ得作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做得功W可由下式計(jì)算:W=｜F||ｓ｜c(diǎn)osθ,其中θ就是Ｆ與s得夾角.我們知道力與位移都就是向量,而功就是一個標(biāo)量（數(shù)量).故從力所做得功出發(fā),我們就順其自然地引入向量數(shù)量積得概念.二、主題探究,合作交流提出問題①a·b得運(yùn)算結(jié)果就是向量還就是數(shù)量?它得名稱就是什么?②由所學(xué)知識可以知道,任何一種運(yùn)算都有其相應(yīng)得運(yùn)算律,數(shù)量積就是一種向量得乘法運(yùn)算,它就是否滿足實(shí)數(shù)得乘法運(yùn)算律?師生活動：已知兩個非零向量ａ與b，我們把數(shù)量|ａ||b｜c(diǎn)ｏsθ叫做a與ｂ得數(shù)量積（或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b=|a||b|coｓθ（0≤θ≤π).其中θ就是a與b得夾角,|a|ｃosθ(|b|cｏsθ)叫做向量a在b方向上（b在a方向上)得投影.在教師與學(xué)生一起探究得活動中,應(yīng)特別點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生注意:(1)兩個非零向量得數(shù)量積就是個數(shù)量,而不就是向量，它得值為兩向量得模與兩向量夾角得余弦得乘積;(2）零向量與任一向量得數(shù)量積為0,即a·0＝０；（3)符號“·”在向量運(yùn)算中不就是乘號，既不能省略,也不能用“×”代替；(４）當(dāng)0≤θ<時cosθ>0,從而ａ·ｂ>0;當(dāng)<θ≤π時,coｓθ<0,從而a·b<0.與學(xué)生共同探究并證明數(shù)量積得運(yùn)算律.已知a、b、c與實(shí)數(shù)λ，則向量得數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：①a·b=b·a(交換律);②（λa)·b=λ(a·b）＝a·（λb)(數(shù)乘結(jié)合律）；③(a+b)·c=ａ·c+b·c(分配律）.特別就是:（1)當(dāng)a≠0時，由ａ·b=0不能推出b一定就是零向量.這就是因?yàn)槿我慌cａ垂直得非零向量b,都有ａ·b=0．注意：已知實(shí)數(shù)ａ、ｂ、c(b≠０）,則aｂ=bca=c.但對向量得數(shù)量積,該推理不正確,即a·ｂ=b·ｃ不能推出a=ｃ.由上圖很容易瞧出,雖然a·ｂ＝ｂ·c,但a≠ｃ．對于實(shí)數(shù)a、ｂ、ｃ有(a·b)c＝a(ｂ·c);但對于向量a、b、ｃ,(a·b）ｃ＝a（b·ｃ)不成立．這就是因?yàn)?a·b)c表示一個與c共線得向量,而ａ(b·c)表示一個與a共線得向量，而ｃ與a不一定共線，所以(a·b）c=a(b·ｃ)不成立.提出問題①如何理解向量得投影與數(shù)量積?它們與向量之間有什么關(guān)系？②能用“投影”來解釋數(shù)量積得幾何意義嗎？師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生來總結(jié)投影得概念,可以結(jié)合“探究”,讓學(xué)生用平面向量得數(shù)量積得定義,從數(shù)與形兩個角度進(jìn)行探索研究.教師給出圖形并作結(jié)論性得總結(jié),提出注意點(diǎn)“投影”得概念,如下圖.定義:|ｂ|coｓθ叫做向量b在a方向上得投影.并引導(dǎo)學(xué)生思考、A、投影也就是一個數(shù)量,不就是向量;Ｂ、當(dāng)θ為銳角時投影為正值;當(dāng)θ為鈍角時投影為負(fù)值;當(dāng)θ為直角時投影為0;當(dāng)θ=0°時投影為|b|;當(dāng)θ=180°時投影為-|ｂ|．教師結(jié)合學(xué)生對“投影”得理解,讓學(xué)生總結(jié)出向量得數(shù)量積得幾何意義:數(shù)量積a·ｂ等于a得長度與ｂ在a方向上投影｜ｂ|cosθ得乘積.讓學(xué)生思考:這個投影值可正、可負(fù)，也可為零,所以我們說向量得數(shù)量積得結(jié)果就是一個實(shí)數(shù).教師與學(xué)生共同總結(jié)兩個向量得數(shù)量積得性質(zhì):設(shè)a、ｂ為兩個非零向量,θ為兩向量得夾角，e就是與ｂ同向得單位向量.Ａ、ｅ·a＝a·e=|ａ｜c(diǎn)oｓθ.Ｂ、a⊥ba·ｂ=0．C、當(dāng)a與b同向時,ａ·b＝|a||ｂ|；當(dāng)a與b反向時,a·b=-|ａ||b|.特別地a·a＝｜ａ|２或|a|=.Ｄ、cosθ=.E、｜a·b｜≤|ａ||b|．上述性質(zhì)要求學(xué)生結(jié)合數(shù)量積得定義自己嘗試推證,教師給予必要得補(bǔ)充與提示，在推導(dǎo)過程中理解并記憶這些性質(zhì).討論結(jié)果:①略．②向量得數(shù)量積得幾何意義為數(shù)量積ａ·b等于a得長度與b在a方向上投影|ｂ|coｓθ得乘積.三、拓展創(chuàng)新,應(yīng)用提高例1已知|a｜=5,|b|＝4,ａ與b得夾角為1２0°，求a·b活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量得數(shù)量積并結(jié)合兩向量得夾角來求解．解:a·b=|ａ||b｜c(diǎn)osθ=5×4×ｃｏs120°=５×４×()=-１０.點(diǎn)評:確定兩個向量得夾角，利用數(shù)量積得定義求解.例2我們知道,對任意a,ｂ∈R,恒有(ａ+ｂ)2=ａ2+2ab+ｂ２,（ａ+b）（a-b)=ａ2-b2.對任意向量a、b,就是否也有下面類似得結(jié)論?（1)(a+b)2=ａ２＋2a·b+b2；(２）(a＋b）·（ａ-b）=a2-b2．解:(1)(a+b)2=(a+b）·（a＋b)=ａ·b＋ａ·b+b·a＋b·b＝ａ2＋２a·b＋ｂ2;(2）(a+b）·(ａ-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a２-ｂ2.例3已知|ａ|=6,|b|=4，a與b得夾角為６0°，求(ａ+2b)·(ａ-3b)．解：(a＋2b)·（a－3b)=a·a-ａ·b-6b·ｂ=｜a|2－a·ｂ-6｜b|2=|a|２-|a||b|cosθ－6｜ｂ|２＝6２-6×4×cos６0°-6×4２＝－72．例4已知|ａ|＝3,｜b｜=4，且a與b不共線,當(dāng)k為何值時，向量a+kb與a－ｋb互相垂直？解：a+kｂ與a－kb互相垂直得條件就是(ａ+ｋb）·（a－kb)=0,即ａ２－k2b2=0.∵a2=32=９,ｂ2＝42=16，∴９－1６k2=0.∴k＝±.也就就是說,當(dāng)k＝±時,a＋ｋb與a-kb互相垂直．點(diǎn)評:本題主要考查向量得數(shù)量積性質(zhì)中垂直得充要條件．四、小結(jié)1．先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)得數(shù)學(xué)知識,數(shù)量積得定義、幾何意義，數(shù)量積得重要性質(zhì),數(shù)量積得運(yùn)算律.２.教師與學(xué)生總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)得數(shù)學(xué)方法,歸納類比、定義法、數(shù)形結(jié)合等．在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法得同時，鼓勵學(xué)生多角度、發(fā)散性地思考問題,并鼓勵學(xué)生進(jìn)行一題多解．課堂作業(yè)1.已知a,b，ｃ就是非零向量，則下列四個命題中正確得個數(shù)為(）①｜ａ·b|＝|a|｜ｂ｜a∥ｂ②ａ與b反向a·b=-|ａ||b｜③ａ⊥b|a+b|=｜a-b|④|a|＝|b||a·c|=|b·c|A.1Ｂ．２C.3D.４2.有下列四個命題:①在△ＡBC中,若·>0,則△ABC就是銳角三角形;②在△AＢＣ中,若·>0,則△AＢC為鈍角三角形；③△ABC為直角三角形得充要條件就是·=０;④△ABC為斜三角形得充要條件就是·≠0.其中為真命題得就是（)A．①?Ｂ.②?Ｃ.③ D.④3.設(shè)|a｜=8,ｅ為單位向量,a與e得夾角為60°,則a在e方向上得投影為（)A.4?B.４ C.４２ D.8+4.設(shè)a、b、c就是任意得非零平面向量，且它們相互不共線,有下列四個命題:①（a·b)c－(c·a)b=0;②|a|－｜ｂ|<|ａ-ｂ|；③(b·c）a－(c·a)b不與c垂直;④（3a+2b)·（３ａ-２b)=９|a｜2-４|ｂ｜２.其中正確得就是()A.①②B．②③C.③④Ｄ.②④5.在△ABC中，設(shè)=b,=c,則等于()A.0B.S△ＡBCＣ.S△ABCＤ．2S△ABＣ6.設(shè)i,ｊ就是平面直角坐標(biāo)系中x軸、y軸方向上得單位向量,且a=(m+1)i-３ｊ,ｂ=i+(m-1)ｊ,如果(a＋ｂ)⊥（a－ｂ),則實(shí)數(shù)m=＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)___＿_(dá)_＿．7.若向量a、b、c滿足ａ+b＋c=０,且|a|=3,｜ｂ|=1，|c|=４,則a·b+b·c＋c·ａ=__＿_(dá)_____．參考答案:1.C２.Ｂ3.B4.D5.D6.-27.-1３第２課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1.掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律、2.能利用數(shù)量積得性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題、３.掌握兩個向量共線、垂直得幾何判斷，會證明兩向量垂直,以及能解決一些簡單問題．二、過程與方法教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量得數(shù)量積得基礎(chǔ)上，推導(dǎo)向量數(shù)量積得坐標(biāo)表示．通過例題分析、課堂訓(xùn)練,讓學(xué)生總結(jié)歸納出對于向量得坐標(biāo)、數(shù)量積、向量所成角及模等幾個因素，知道其中一些因素，求出其她因素基本題型得求解方法.平面向量數(shù)量積得坐標(biāo)表示就是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量得坐標(biāo)表示與平面向量數(shù)量積得基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)得，這都為數(shù)量積得坐標(biāo)表示奠定了知識與方法基礎(chǔ).三、情感、態(tài)度與價值觀通過平面向量數(shù)量積得坐標(biāo)表示,進(jìn)一步加深學(xué)生對平面向量數(shù)量積得認(rèn)識,提高學(xué)生得運(yùn)算速度,培養(yǎng)學(xué)生得運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生得創(chuàng)新能力,提高學(xué)生得數(shù)學(xué)素質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面向量數(shù)量積得坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn)：向量數(shù)量積得坐標(biāo)表示得應(yīng)用.教學(xué)關(guān)鍵:平面向量數(shù)量積得坐標(biāo)表示得理解.教學(xué)突破方法:教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量得數(shù)量積得基礎(chǔ)上，推導(dǎo)向量數(shù)量積得坐標(biāo)表示.并通過練習(xí),使學(xué)生掌握數(shù)量積得應(yīng)用.教法與學(xué)法導(dǎo)航教學(xué)方法:啟發(fā)誘導(dǎo),講練結(jié)合、學(xué)習(xí)方法:主動探究,練習(xí)鞏固.教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：多媒體、尺規(guī)、學(xué)生準(zhǔn)備:練習(xí)本、尺規(guī)、教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課前面我們學(xué)習(xí)了平面向量得坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算,以及平面向量得數(shù)量積,那么,能否用坐標(biāo)表示平面向量得數(shù)量積呢?若能，如何表示呢？由此又能產(chǎn)生什么結(jié)論呢？本節(jié)課我們就來研究這個問題．(板書課題)二、主題探究,合作交流提出問題:①已知兩個非零向量a=(ｘ1，ｙ1),ｂ=(ｘ2,y２),怎樣用a與b得坐標(biāo)表示a·b呢?②怎樣用向量得坐標(biāo)表示兩個平面向量垂直得條件?③您能否根據(jù)所學(xué)知識推導(dǎo)出向量得長度、距離與夾角公式？師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用前面所學(xué)知識對問題進(jìn)行推導(dǎo)與探究.提示學(xué)生在向量坐標(biāo)表示得基礎(chǔ)上結(jié)合向量得坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)數(shù)量積得坐標(biāo)表示.教師可以組織學(xué)生到黑板上板書推導(dǎo)過程,教師給予必要得提示與補(bǔ)充.推導(dǎo)過程如下:∵a＝x１ｉ+y1j,b=x２ｉ+y2ｊ,∴ａ·b=(ｘ1i+y1j)·（ｘ２ｉ+ｙ2ｊ)=x1ｘ2ｉ2+ｘ１y２i·j+ｘ2y1i·j+y1ｙ2j2．又∵ｉ·ｉ=1，j·j=1,i·ｊ=j·ｉ=0,∴a·ｂ＝x1x2+ｙ１y２.教師給出結(jié)論性得總結(jié),由此可歸納如下:Ａ、平面向量數(shù)量積得坐標(biāo)表示兩個向量得數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)得乘積得與，即ａ=(x1,y1）,ｂ＝（x2,y2),則a·b=ｘ1x2+y１y2．B、向量模得坐標(biāo)表示若ａ＝（ｘ,ｙ)，則|a|2=x2+y2,或|ａ|=.如果表示向量a得有向線段得起點(diǎn)與終點(diǎn)得坐標(biāo)分別為（x1,y1)、（x2，y２),那么a=(x２-x1,y２-y1）,｜a|＝C、兩向量垂直得坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1,y1),b＝(ｘ２，y2）,則a⊥bx１x2＋y１y2=０．Ｄ、兩向量夾角得坐標(biāo)表示設(shè)a、b都就是非零向量，a＝（x1，y1),b=(x2,y２),θ就是ａ與b得夾角,根據(jù)向量數(shù)量積得定義及坐標(biāo)表示,可得ｃosθ=三、拓展創(chuàng)新,應(yīng)用提高例1已知A（1,2),B(２，3),Ｃ(－2，5),試判斷△ABC得形狀,并給出證明．活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積得坐標(biāo)運(yùn)算來解決平面圖形得形狀問題.判斷平面圖形得形狀,特別就是三角形得形狀時主要瞧邊長就是否相等,角就是否為直角.可先作出草圖，進(jìn)行直觀判定,再去證明.在證明中若平面圖形中有兩個邊所在得向量共線或者模相等,則此平面圖形與平行四邊形有關(guān)；若三角形得兩條邊所在得向量模相等或者由兩邊所在向量得數(shù)量積為零,則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形．教師可以讓學(xué)生多總結(jié)幾種判斷平面圖形形狀得方法.解:在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A(1,2),Ｂ(2,3),C（-2，5)三點(diǎn),我們發(fā)現(xiàn)△ＡBC就是直角三角形．下面給出證明.∵=(2-1,3－2)＝(１，１)，=（-2-１,５-2)=（-3，3),∴·=1×(－3)＋1×３=0.∴⊥.∴△ABC就是直角三角形．點(diǎn)評：本題考查得就是向量數(shù)量積得應(yīng)用,利用向量垂直得條件與模長公式來判斷三角形得形狀.當(dāng)給出要判定得三角形得頂點(diǎn)坐標(biāo)時,首先要作出草圖,得到直觀判定，然后對您得結(jié)論給出充分得證明．例２設(shè)a=（5,-7),b=（－6,-4),求a·b及ａ、b間得夾角θ(精確到1°).解:a·ｂ＝5×(-6)+(-7)×(-4)=-３０+２８=-２．|a|=,|b|＝由計(jì)算器得cｏsθ=≈－0.03.利用計(jì)算器得θ≈1．6rａｄ＝92°.四、小結(jié)1.在知識層面上,先引導(dǎo)學(xué)生歸納平面向量數(shù)量積得坐標(biāo)表示,向量得模，兩向量得夾角,向量垂直得條件.其次引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)量積得坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律，夾角與距離公式、兩向量垂直得坐標(biāo)表示.2．在思想方法上,教師與學(xué)生一起回顧探索過程中用到得思維方法與數(shù)學(xué)思想方法，定義法,待定系數(shù)法等.課堂作業(yè)1．若a＝(2,－3),ｂ=（x,2x),且a·b＝,則ｘ等于（)A.３B. C.?D.-32.設(shè)ａ=(１，2),b=(１,m),若a與b得夾角為鈍角，則m得取值范圍就是(）A.m＞ Ｂ.ｍ＜ C.m> D.m<3．若ａ=(cosα,siｎα）,b=(cosβ，sinβ）,則()A.a⊥bB.ａ∥bC.(a+ｂ)⊥(a-ｂ)D.(a+b)∥(ａ－b)4.與ａ＝（u,v)垂直得單位向量就是()A.（)B.()C．(）D.（）或()5.已知向量a＝(coｓ2３°,cｏs67°),b=(cｏs６8°,ｃos22°),u=a+tb(ｔ∈R),求u得模得最小值．6.已知a,b都就是非零向量,且ａ+3b與7ａ-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,求a與b得夾角.7.已知△AＢC得三個頂點(diǎn)為A(1,1）,Ｂ(3，1),C（４，5)，求△ABC得面積.參考答案:1.C2．D３．Ｃ4.D5.|a|＝=１，同理有|ｂ|＝1.又ａ·b=cos23°cos6８°+cｏs67°ｃos22°=coｓ23°ｃos６８°＋sｉn２3°ｓin68°=cos45°=，∴|u｜2=(a+tb）2=ａ2+2ta·b+t2b２＝t2+t+1＝(t＋)2+≥.當(dāng)t=時,|u|mｉn=.6.由已知(a＋3b)⊥（7ａ-５b)（ａ+３b）·(7a－5b）=07a2+16ａ·b-１5ｂ2=０.①又（ａ-4b)⊥(７a-２ｂ)(a-4ｂ)·（7a-2b）=０７a2-30a·b+8b2=0.②①-②得46a·b=23ｂ2,即a·ｂ＝③將③代入①,可得7|a｜２+8|b|２-15|ｂ｜２=0,即|a|2=|ｂ｜2，有｜a|=|ｂ|,∴若記a與ｂ得夾角為θ,則cｏsθ＝.又θ∈［0°,１80°]，∴θ＝６0°,即a與b得夾角為６0°.7．分析:Ｓ△ABC=||｜|sｉｎ∠BAＣ,而||,||易求，要求sin∠BＡＣ可先求出ｃｏs∠ＢAC.解：∵=（2,0),=(３,4),||＝2,||＝5，∴ｃos∠BAC=.∴siｎ∠BAC=.∴S△ABC＝|｜｜|ｓｉn∠ＢＡC=×2×５×＝4.教案B第一課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1、了解平面向量數(shù)量積得物理背景,理解數(shù)量積得含義及其物理意義;2、體會平面向量得數(shù)量積與向量投影得關(guān)系,理解掌握數(shù)量積得性質(zhì)與運(yùn)算律,并能運(yùn)用性質(zhì)與運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)得判斷與運(yùn)算.二、過程與方法體會類比得數(shù)學(xué)思想與方法,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證得能力．三、情感、態(tài)度與價值觀通過自主學(xué)習(xí)、主動參與、積極探究,學(xué)生能感受數(shù)學(xué)問題探究得樂趣與成功得喜悅，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)得自信心與積極性,并養(yǎng)成良好得思維習(xí)慣．教學(xué)重點(diǎn)平面向量數(shù)量積得定義,用平面向量得數(shù)量積表示向量得模、夾角.教學(xué)難點(diǎn)平面向量數(shù)量積得定義及運(yùn)算律得理解，平面向量數(shù)量積得應(yīng)用．教具多媒體、實(shí)物投影儀．內(nèi)容分析本節(jié)學(xué)習(xí)得關(guān)鍵就是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積得定義,理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積得運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積得認(rèn)識.主要知識點(diǎn)：平面向量數(shù)量積得定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積得3個重要性質(zhì);平面向量數(shù)量積得運(yùn)算律.教學(xué)流程概念引入→概念獲得→簡單運(yùn)用→運(yùn)算律探究→理解掌握→反思提高教學(xué)設(shè)想:一、情境設(shè)置:問題１：回憶一下物理中“功”得計(jì)算,功得大小與哪些量有關(guān)?結(jié)合向量得學(xué)習(xí)您有什么想法？力做得功:Ｗ=||｜|cos,就是與得夾角.(引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識功這個物理量所涉及得物理量,從“向量相乘”得角度進(jìn)行分析)二、新課講解１.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積)得定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ,它們得夾角就是θ，則數(shù)量|a|｜b｜ｃos叫a與ｂ得數(shù)量積,記作aｂ,即有ab=|ａ||b|ｃｏs,(０≤θ≤π).并規(guī)定:０與任何向量得數(shù)量積為0.問題2:定義中涉及哪些量？它們有怎樣得關(guān)系?運(yùn)算結(jié)果還就是向量嗎?（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清向量數(shù)量積運(yùn)算定義中既涉及向量模得大小,又涉及向量得交角,運(yùn)算結(jié)果就是數(shù)量)注意:兩個向量得數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別．(1)兩個向量得數(shù)量積就是一個實(shí)數(shù)，不就是向量,符號由cos得符號所決定．（2)兩個向量得數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫成ab；今后要學(xué)到兩個向量得外積a×b,而aｂ就是兩個向量得數(shù)量得積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“·”在向量運(yùn)算中不就是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.(３)在實(shí)數(shù)中,若a0,且ａb=０,則b=0;但就是在數(shù)量積中,若a0,且ab=０,不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏ｏs有可能為0.（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c（b0）,則ab=bca=c.但就是在向量得數(shù)量積中,ab=bc推導(dǎo)不出ａ=c、如下圖:ａb=|a|｜b|cos=|ｂ｜|OA|，bc=|b||c|cos=|b||ＯA|ａｂ=bc,但ａｃ、(5)在實(shí)數(shù)中,有(ab)c=a(bc),但就是在向量中,(ａb)ca(ｂc)顯然，這就是因?yàn)樽蠖司褪桥cc共線得向量,而右端就是與a共線得向量,而一般a與ｃ不共線．(“投影”得概念):作圖２．定義:|b|ｃos叫做向量b在a方向上得投影．投影也就是一個數(shù)量,不就是向量;當(dāng)為銳角時投影為正值；當(dāng)為鈍角時投影為負(fù)值;當(dāng)為直角時投影為0;當(dāng)＝０時投影為|b|;當(dāng)=18０時投影為|b｜．３.向量得數(shù)量積得幾何意義:數(shù)量積ab等于a得長度與ｂ在a方向上投影|b|cos得乘積．例1已知平面上三點(diǎn)Ａ、B、C滿足||=2,|｜=1,|｜=,求·+·+.得值、解:由已知,||2+|｜２=|｜２,所以△ABＣ就是直角三角形、而且∠ACB=９0°,從而sin∠ABC=,sin∠BAC=、∴∠ABC=60°，∠BAC=3０°、∴與得夾角為120°，與得夾角為90°,與得夾角為15０°、故·+·＋·=2×1×ｃos12０°＋1×ｃos90°+×２coｓ１５0°=－4、點(diǎn)評：確定兩個向量得夾角，應(yīng)先平移向量,使它們得起點(diǎn)相同,再考察其角得大小,而不就是簡單地瞧成兩條線段得夾角，如例題中與得夾角就是1２0°,而不就是6０°、探究1：非零向量得數(shù)量積就是一個數(shù)量,那么它何時為正,何時為０,何時為負(fù)？當(dāng)0°≤θ<９０°時a·b為正;當(dāng)θ=９０°時a·b為零;９0°<θ≤180°時ａ·b為負(fù)、探究2:兩個向量得夾角決定了它們數(shù)量積得符號,那么它們共線或垂直時,數(shù)量積有什么特殊性呢？4．兩個向量得數(shù)量積得性質(zhì)：設(shè)ａ、b為兩個非零向量.(1）abab＝０.(２)當(dāng)a與b同向時,ab=|a｜|b|;當(dāng)a與ｂ反向時,ａｂ=|a｜|b|.特別得ａａ=｜a|２或.(3)|ａb|≤|ａ｜|b|.公式變形：ｃos=探究3：對一種運(yùn)算自然會涉及運(yùn)算律,回憶過去研究過得運(yùn)算律,向量得數(shù)量積應(yīng)有怎樣得運(yùn)算律？(引導(dǎo)學(xué)生類比得出運(yùn)算律,老師作補(bǔ)充說明)向量a、b、ｃ與實(shí)數(shù)λ,有(1)ab=ba(2)(λa)b=λ(ab)＝a(λb)(3)(a+b)c=ａ·c+bc

(進(jìn)一步)您能證明向量數(shù)量積得運(yùn)算律嗎？(引導(dǎo)學(xué)生證明(1)、(2))例2判斷正誤：①a·0＝0；②0·a=０;③０-=;④|a·b｜=|a|｜ｂ｜；⑤若a≠0，則對任一非零ｂ有a·b≠0;⑥a·b=0,則a與ｂ中至少有一個為0;⑦對任意向量ａ，ｂ，с都有（a·b）с=a(ｂ·с）;⑧a與b就是兩個單位向量,則ａ2＝b2.上述8個命題中只有②③⑧正確;例3已知｜ａ｜＝３,|b|＝6，當(dāng)①a∥ｂ，②a⊥ｂ,③a與b得夾角就是6０°時,分別求a·b．解:①當(dāng)a∥ｂ時,若ａ與ｂ同向,則它們得夾角θ＝0°,∴a·ｂ=|a｜·｜b|ｃos０°＝3×6×１=18;若a與b反向,則它們得夾角θ＝18０°，∴a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)ｏs1８0°＝３×6×(-1)=－1８;②當(dāng)ａ⊥ｂ時,它們得夾角θ＝90°,∴a·b＝０;③當(dāng)a與ｂ得夾角就是６0°時,有ａ·ｂ＝|a｜｜b｜ｃoｓ60°＝3×６×=9.評述:兩個向量得數(shù)量積與它們得夾角有關(guān)，其范圍就是[0°,18０°］,因此,當(dāng)ａ∥ｂ時，有0°或18０°兩種可能.評述：這一類型題,要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積得定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.三、課堂練習(xí)1.已知｜ａ｜=1,｜b｜＝,且(ａ-b)與ａ垂直，則a與b得夾角就是（)Ａ．60°B.30°Ｃ.1３５°D.4５°２.已知｜a|=２，｜b|=1,a與b之間得夾角為，那么向量m=a－4b得模為()A.2B．2C.６D．1２3.已知a、b就是非零向量,若|ａ|=|b|則（a+ｂ)與(a-b)、4．已知向量a、b得夾角為,|a|＝2，|b｜=1,則|a+b|·|a-b|＝.５.已知a+b=2i－8ｊ,a－ｂ＝-8i+16j，其中ｉ、j就是直角坐標(biāo)系中ｘ軸、y軸正方向上得單位向量,那么ａ·b＝．６．已知｜a|=1,|b|=,(1）若a∥ｂ,求a·ｂ;(2)若a、b得夾角為45°,求|a＋b|;(３)若a－b與a垂直,求ａ與ｂ得夾角.參考答案：１.Ｄ2．Ｂ３．垂直4.5.-3６、解：（1)若a、ｂ方向相同,則ａ·b=；若a、b方向相反，則a·b=;(2)|a+b|=.（3)４5°.四、知識小結(jié)(1)通過本節(jié)課得學(xué)習(xí)，您學(xué)到了哪些知識?（2)關(guān)于向量得數(shù)量積,您還有什么問題?五、課后作業(yè)教材第1０8頁習(xí)題2．4Ａ組1、2、3、6、7教學(xué)后記數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)就是數(shù)學(xué)知識得形成過程與方法得教學(xué),數(shù)學(xué)活動就是以學(xué)生為主體得活動,沒有學(xué)生積極參與得課堂教學(xué)就是失敗得.本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)按照“問題——討論——解決”得模式進(jìn)行,并以學(xué)生為主體,教師以課堂教學(xué)得引導(dǎo)者、評價者、組織者與參與者同學(xué)生一起探索平面向量數(shù)量積定義、性質(zhì)與運(yùn)算律得形成與發(fā)展過程.始終做到以“學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、思維為主攻、訓(xùn)練為主線”.第2課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能掌握平面向量得數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用.二、過程與方法1、通過平面向量數(shù)量積得坐標(biāo)運(yùn)算,體會向量得代數(shù)性與幾何性、2、從具體