空間幾何體的表面積與體積檢測(cè)題與詳解答案

空間幾何體的表面積與體積檢測(cè)題與詳解答案1．(2019·深圳摸底)過半徑為2的球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的體積的比值為()A.eq\f(9,32) B.eq\f(9,16)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,16)解析：選A由題意知所得截面為圓，設(shè)該圓的半徑為r，則22＝12＋r2，所以r2＝3，所以所得截面的面積與球的體積的比值為eq\f(π×3,\f(4,3)π×23)＝eq\f(9,32)，故選A.2．如圖是某一幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為()A．4 B．8C．16 D．20解析：選B由三視圖知，此幾何體是一個(gè)三棱錐，底面為一邊長(zhǎng)為6，高為2的三角形，三棱錐的高為4，所以體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×2×4＝8.故選B.3.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析：選B設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則eq\f(π,2)r＝8，所以r＝eq\f(16,π)，所以米堆的體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π×r2×5＝eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))2×5≈eq\f(320,9)(立方尺)．故堆放的米約有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．4．(2018·貴陽(yáng)摸底考試)某實(shí)心幾何體是用棱長(zhǎng)為1cm的正方體無縫粘合而成的，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．35cm3 B．40cm3C．70cm3 D．75cm3解析：選A結(jié)合題中三視圖可得，該幾何體是個(gè)組合體，該組合體從下到上依次為長(zhǎng)、寬、高分別為5cm,5cm,1cm的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為3cm,3cm,1cm的長(zhǎng)方體，棱長(zhǎng)為1cm的正方體，故該組合體的體積V＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm3)．故選A.5．(2019·安徽知名示范高中聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：選C法一：該幾何體的直觀圖為四棱錐S-ABCD，如圖，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四邊形ABCD是平行四邊形，且AB＝DC＝1，連接BD，由題意知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四邊形ABCD＝1，所以VS-ABCD＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·SD＝eq\f(1,3)，故選C.法二：由三視圖易知該幾何體為錐體，所以V＝eq\f(1,3)Sh，其中S指的是錐體的底面積，即俯視圖中四邊形的面積，易知S＝1，h指的是錐體的高，從正視圖和側(cè)視圖易知h＝1，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)，故選C.6．(2019·重慶調(diào)研)某簡(jiǎn)單組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為()A．eq\f(8\r(3)π,3)＋eq\f(8\r(3),3) B．eq\f(4\r(3)π,3)＋eq\f(8\r(3),3)C．eq\f(4\r(3)π,3)＋eq\f(4\r(3),3) D．eq\f(8\r(3)π,3)＋eq\f(4\r(3),3)解析：選B由三視圖知，該組合體是由一個(gè)半圓錐與一個(gè)三棱錐組合而成的，其中圓錐的底面半徑為2、高為eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，三棱錐的底面是斜邊為4、高為2的等腰直角三角形，三棱錐的高為2eq\r(3)，所以該組合體的體積V＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)π×22×2eq\r(3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×2×2eq\r(3)＝eq\f(4\r(3)π,3)＋eq\f(8\r(3),3)，故選B.7．(2019·湖北八校聯(lián)考)已知一幾何體的三視圖如圖所示，它的側(cè)視圖與正視圖相同，則該幾何體的表面積為()A．16＋12π B．32＋12πC．24＋12π D．32＋20π解析：選A由三視圖知，該幾何體是一個(gè)正四棱柱與半球的組合體，且正四棱柱的高為eq\r(2)，底面對(duì)角線長(zhǎng)為4，球的半徑為2，所以該正四棱柱的底面正方形的邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，該幾何體的表面積S＝eq\f(1,2)×4π×22＋π×22＋2eq\r(2)×eq\r(2)×4＝12π＋16，故選A.8．(2019·福州質(zhì)檢)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面積為eq\f(3\r(3),4)，一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為6eq\r(3)，則正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為()A．4π B．8πC．16π D．32π解析：選C如圖所示，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則底面面積為eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(3\r(3),4)，所以a＝eq\r(3).又一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為6eq\r(3)，所以AA1＝2eq\r(3).設(shè)E，D分別為上、下底面的中心，連接DE，設(shè)DE的中點(diǎn)為O，則點(diǎn)O即為正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心，連接OA1，A1E，則OE＝eq\r(3)，A1E＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝1.在直角三角形OEA1中，OA1＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，即外接球的半徑R＝2，所以外接球的表面積S＝4πR2＝16π，故選C.9．(2017·天津高考)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為________．解析：由正方體的表面積為18，得正方體的棱長(zhǎng)為eq\r(3).設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R＝3，R＝eq\f(3,2)，所以這個(gè)球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).答案：eq\f(9π,2)10．某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．解析：由題意知該四棱柱為直四棱柱，其高為1，底面為上底長(zhǎng)為1，下底長(zhǎng)為2，高為1的等腰梯形，所以該四棱柱的體積為V＝eq\f(1＋2×1,2)×1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)11．一個(gè)圓錐的表面積為π，它的側(cè)面展開圖是圓心角為eq\f(2π,3)的扇形，則該圓錐的高為________．解析：設(shè)圓錐底面半徑是r，母線長(zhǎng)為l，所以πr2＋πrl＝π，即r2＋rl＝1，根據(jù)圓心角公式eq\f(2π,3)＝eq\f(2πr,l)，即l＝3r，所以解得r＝eq\f(1,2)，l＝eq\f(3,2)，那么高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)12．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．解析：如圖，連接AO，OB，∵SC為球O的直徑，∴點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，設(shè)球O的半徑為R，則OA＝OB＝R，SC＝2R.∴VS-ABC＝VA-SBC＝eq\f(1,3)×S△SBC×AO＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×SC×OB))×AO，即9＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2R×R))×R，解得R＝3，∴球O的表面積S＝4πR2＝4π×32＝36π.答案：36π13.如圖是一個(gè)以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)該幾何體的體積；(2)截面ABC的面積．解：(1)過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點(diǎn)A2，B2.由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，則該幾何體的體積V＝VA1B1C1-A2B2C＋VC-ABB2A2＝eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.(2)在△ABC中，AB＝eq\r(22＋4－32)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(22＋3－22)＝eq\r(5)，AC＝eq\r(2\r(2)2＋4－22)＝2eq\r(3).則S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(\r(5)2－\r(3)2)＝eq\r(6).14.如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.(1)證明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積eq\f(\r(6),3)，求該三棱錐E-ACD的側(cè)面積．解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BE⊥AC.因?yàn)锽D∩BE＝B，BD?平面BED，BE?平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因?yàn)锳E⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE