數(shù)值分析第五版答案

第一章緒論1．設(shè),的相對(duì)誤差為，求的誤差。解：近似值的相對(duì)誤差為而的誤差為進(jìn)而有2．設(shè)的相對(duì)誤差為2%，求的相對(duì)誤差。解：設(shè)，則函數(shù)的條件數(shù)為又,又且為23．下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差限不超過最后一位的半個(gè)單位，試指出它們是幾位有效數(shù)字：,,,,解：是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字；是四位有效數(shù)字；是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字。4．利用公式(2.3)求下列各近似值的誤差限：(1),(2),(3).其中均為第3題所給的數(shù)。解：5計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為1，問度量半徑R時(shí)允許的相對(duì)誤差限是多少？解：球體體積為則何種函數(shù)的條件數(shù)為又%1故度量半徑R時(shí)允許的相對(duì)誤差限為εrV*6．設(shè)，按遞推公式（n=1,2,…）計(jì)算到。若取（5位有效數(shù)字），試問計(jì)算將有多大誤差？解：……依次代入后，有即，若取,的誤差限為。7．求方程的兩個(gè)根，使它至少具有4位有效數(shù)字（）。解：，故方程的根應(yīng)為故具有5位有效數(shù)字具有5位有效數(shù)字8．當(dāng)N充分大時(shí)，怎樣求？解設(shè)。則9．正方形的邊長(zhǎng)大約為了100cm，應(yīng)怎樣測(cè)量才能使其面積誤差不超過？解：正方形的面積函數(shù)為.當(dāng)時(shí)，若,則故測(cè)量中邊長(zhǎng)誤差限不超過0.005cm時(shí)，才能使其面積誤差不超過10．設(shè)，假定g是準(zhǔn)確的，而對(duì)t的測(cè)量有秒的誤差，證明當(dāng)t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加，而相對(duì)誤差卻減少。解：當(dāng)增加時(shí)，的絕對(duì)誤差增加當(dāng)增加時(shí)，保持不變，則的相對(duì)誤差減少。11．序列滿足遞推關(guān)系(n=1,2,…),若（三位有效數(shù)字），計(jì)算到時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎？解：又又計(jì)算到時(shí)誤差為，這個(gè)計(jì)算過程不穩(wěn)定。12．計(jì)算，取，利用下列等式計(jì)算，哪一個(gè)得到的結(jié)果最好？,,，。解：設(shè)，若，，則。若通過計(jì)算y值，則若通過計(jì)算y值，則若通過計(jì)算y值，則通過計(jì)算后得到的結(jié)果最好。13．,求的值。若開平方用6位函數(shù)表，問求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大？若改用另一等價(jià)公式。計(jì)算，求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大？解,設(shè)則故若改用等價(jià)公式則此時(shí)，第二章插值法1．當(dāng)時(shí)，,求的二次插值多項(xiàng)式。解：則二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為2．給出的數(shù)值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用線性插值及二次插值計(jì)算的近似值。解：由表格知，若采用線性插值法計(jì)算即，則若采用二次插值法計(jì)算時(shí)，3．給全的函數(shù)表，步長(zhǎng)若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求近似值時(shí)的總誤差界。解：求解近似值時(shí)，誤差可以分為兩個(gè)部分，一方面，x是近似值，具有5位有效數(shù)字，在此后的計(jì)算過程中產(chǎn)生一定的誤差傳播；另一方面，利用插值法求函數(shù)的近似值時(shí)，采用的線性插值法插值余項(xiàng)不為0，也會(huì)有一定的誤差。因此，總誤差界的計(jì)算應(yīng)綜合以上兩方面的因素。當(dāng)時(shí)，令取令則當(dāng)時(shí)，線性插值多項(xiàng)式為插值余項(xiàng)為又在建立函數(shù)表時(shí)，表中數(shù)據(jù)具有5位有效數(shù)字，且，故計(jì)算中有誤差傳播過程?？傉`差界為4．設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，求證：（1）（2）證明令若插值節(jié)點(diǎn)為，則函數(shù)的次插值多項(xiàng)式為。插值余項(xiàng)為又由上題結(jié)論可知得證。5設(shè)且求證：解：令，以此為插值節(jié)點(diǎn)，則線性插值多項(xiàng)式為=插值余項(xiàng)為6．在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值求的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過，問使用函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)取多少？解：若插值節(jié)點(diǎn)為和，則分段二次插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)為設(shè)步長(zhǎng)為h，即若截?cái)嗾`差不超過，則7．若，解：根據(jù)向前差分算子和中心差分算子的定義進(jìn)行求解。8．如果是m次多項(xiàng)式，記，證明的k階差分是次多項(xiàng)式，并且（為正整數(shù)）。解：函數(shù)的展式為其中又是次數(shù)為的多項(xiàng)式為階多項(xiàng)式為階多項(xiàng)式依此過程遞推，得是次多項(xiàng)式是常數(shù)當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，9．證明證明得證10．證明證明：由上題結(jié)論可知得證。11．證明證明得證。12．若有個(gè)不同實(shí)根，證明：證明：有個(gè)不同實(shí)根且令則而令則又得證。13．證明階均差有下列性質(zhì)：（1）若，則（2）若，則證明：（1）得證。+得證。14．求及。解：若則15．證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是解：若，且插值多項(xiàng)式滿足條件插值余項(xiàng)為由插值條件可知且可寫成其中是關(guān)于的待定函數(shù)，現(xiàn)把看成上的一個(gè)固定點(diǎn)，作函數(shù)根據(jù)余項(xiàng)性質(zhì)，有由羅爾定理可知，存在和，使即在上有四個(gè)互異零點(diǎn)。根據(jù)羅爾定理，在的兩個(gè)零點(diǎn)間至少有一個(gè)零點(diǎn)，故在內(nèi)至少有三個(gè)互異零點(diǎn)，依此類推，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。記為使又其中依賴于分段三次埃爾米特插值時(shí)，若節(jié)點(diǎn)為，設(shè)步長(zhǎng)為，即在小區(qū)間上16．求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P（x），使它滿足解：利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4的多項(xiàng)式設(shè)其中，A為待定常數(shù)從而17．設(shè)，在上取，按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與值，并估計(jì)誤差。解：若則步長(zhǎng)在小區(qū)間上，分段線性插值函數(shù)為各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與的值為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，誤差又令得的駐點(diǎn)為和18．求在上分段線性插值函數(shù)，并估計(jì)誤差。解：在區(qū)間上，函數(shù)在小區(qū)間上分段線性插值函數(shù)為誤差為19．求在上分段埃爾米特插值，并估計(jì)誤差。解：在區(qū)間上，令函數(shù)在區(qū)間上的分段埃爾米特插值函數(shù)為誤差為又20．給定數(shù)據(jù)表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值，并滿足條件：解：由此得矩陣形式的方程組為21M02M12M22M312M4求解此方程組得三次樣條表達(dá)式為將代入得由此得矩陣開工的方程組為求解此方程組，得又三次樣條表達(dá)式為將代入得21．若是三次樣條函數(shù)，證明：若，式中為插值節(jié)點(diǎn)，且，則證明：從而有第三章函數(shù)逼近與曲線擬合，給出上的伯恩斯坦多項(xiàng)式及。解：伯恩斯坦多項(xiàng)式為其中當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，求證證明：若，則3．證明函數(shù)線性無關(guān)證明：若分別取，對(duì)上式兩端在上作帶權(quán)的內(nèi)積，得此方程組的系數(shù)矩陣為希爾伯特矩陣，對(duì)稱正定非奇異，只有零解a=0。函數(shù)線性無關(guān)。4。計(jì)算下列函數(shù)關(guān)于的與：m與n為正整數(shù)，解：若，則在內(nèi)單調(diào)遞增若，則若m與n為正整數(shù)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減。若當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減。5。證明證明：6。對(duì)，定義問它們是否構(gòu)成內(nèi)積。解：令（C為常數(shù)，且）則而這與當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，矛盾不能構(gòu)成上的內(nèi)積。若，則,則若，則,且即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故可以構(gòu)成上的內(nèi)積。7。令，試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式，并求。解：若，則令，則，且，故又切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間上帶權(quán)正交，且是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。又8。對(duì)權(quán)函數(shù)，區(qū)間，試求首項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式解：若，則區(qū)間上內(nèi)積為定義，則其中9。試證明由教材式給出的第二類切比雪夫多項(xiàng)式族是上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。證明：若令，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又，故得證。10。證明切比雪夫多項(xiàng)式滿足微分方程證明：切比雪夫多項(xiàng)式為從而有得證。11。假設(shè)在上連續(xù)，求的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式？解：在閉區(qū)間上連續(xù)存在，使取則和是上的2個(gè)輪流為“正”、“負(fù)”的偏差點(diǎn)。由切比雪夫定理知P為的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式。12。選取常數(shù)，使達(dá)到極小，又問這個(gè)解是否唯一？解：令則在上為奇函數(shù)又的最高次項(xiàng)系數(shù)為1，且為3次多項(xiàng)式。與0的偏差最小。從而有13。求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差。解：于是得的最佳一次逼近多項(xiàng)式為即誤差限為14。求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式。解：于是得的最佳一次逼近多項(xiàng)式為15。求在區(qū)間上的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式。解：令，則且令，則若為區(qū)間上的最佳三次逼近多項(xiàng)式應(yīng)滿足當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式與零偏差最小，故進(jìn)而，的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式為，則的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式為16。，在上求關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：若且，則則法方程組為解得故關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式為17。求函數(shù)在指定區(qū)間上對(duì)于的最佳逼近多項(xiàng)式：解：若且，則有則法方程組為從而解得故關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式為若且，則有則法方程組為從而解得故關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式為若且，則有則法方程組為從而解得故關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式為若且則有則法方程組為從而解得故關(guān)于最佳平方逼近多項(xiàng)式為18。，在上按勒讓德多項(xiàng)式展開求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：按勒讓德多項(xiàng)式展開則從而的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式為19。觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)：時(shí)間t(s)00.91.93.03.95.0距離s(m)010305080110求運(yùn)動(dòng)方程。解：被觀測(cè)物體的運(yùn)動(dòng)距離與運(yùn)動(dòng)時(shí)間大體為線性函數(shù)關(guān)系，從而選擇線性方程令則則法方程組為從而解得故物體運(yùn)動(dòng)方程為20。已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方誤差。解：若，則則則法方程組為從而解得故均方誤差為21。在某佛堂反應(yīng)中，由實(shí)驗(yàn)得分解物濃度與時(shí)間關(guān)系如下：時(shí)間0510152025303540455055濃度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘法求。解：觀察所給數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，采用方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，則取則則法方程組為從而解得因此22。給出一張記錄用FFT算法求的離散譜。解：則01234567432101234444048404801600023，用輾轉(zhuǎn)相除法將化為連分式。解24。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即從而解得又則故

25。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即解得又則故第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分1.確定下列求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：解：求解求積公式的代數(shù)精度時(shí)，應(yīng)根據(jù)代數(shù)精度的定義，即求積公式對(duì)于次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對(duì)于m+1次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，進(jìn)行驗(yàn)證性求解。（1）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。令，則故此時(shí)，故具有3次代數(shù)精度。（2）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。令，則故此時(shí)，因此，具有3次代數(shù)精度。（3）若令，則令，則令，則從而解得或令，則故不成立。因此，原求積公式具有2次代數(shù)精度。（4）若令，則令，則令，則故有令，則令，則故此時(shí)，因此，具有3次代數(shù)精度。2.分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分：解：復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為3。直接驗(yàn)證柯特斯教材公式（2。4）具有5交代數(shù)精度。證明：柯特斯公式為令，則令，則令，則令，則令，則令，則令，則因此，該柯特斯公式具有5次代數(shù)精度。4。用辛普森公式求積分并估計(jì)誤差。解：辛普森公式為此時(shí)，從而有誤差為5。推導(dǎo)下列三種矩形求積公式：證明：兩邊同時(shí)在上積分，得即兩邊同時(shí)在上積分，得即兩連邊同時(shí)在上積分，得即6。若用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，問區(qū)間應(yīng)人多少等分才能使截?cái)嗾`差不超過？若改用復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間應(yīng)分多少等分？解：采用復(fù)化梯形公式時(shí)，余項(xiàng)為又故若，則當(dāng)對(duì)區(qū)間進(jìn)行等分時(shí)，故有因此，將區(qū)間213等分時(shí)可以滿足誤差要求采用復(fù)化辛普森公式時(shí)，余項(xiàng)為又若，則當(dāng)對(duì)區(qū)間進(jìn)行等分時(shí)故有因此，將區(qū)間8等分時(shí)可以滿足誤差要求。7。如果，證明用梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其幾何意義。解：采用梯形公式計(jì)算積分時(shí)，余項(xiàng)為又且又即計(jì)算值比準(zhǔn)確值大。其幾何意義為，為下凸函數(shù)，梯形面積大于曲邊梯形面積。8。用龍貝格求積方法計(jì)算下列積分，使誤差不超過.解：00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此03.45131318.628283-4.446923因此014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此9。用的高斯-勒讓德公式計(jì)算積分解：令，則用的高斯—勒讓德公式計(jì)算積分用的高斯—勒讓德公式計(jì)算積分10地球衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓，橢圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式是這是是橢圓的半徑軸，c是地球中心與軌道中心（橢圓中心）的距離，記h為近地點(diǎn)距離，H為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離，R=6371（km）為地球半徑，則我國(guó)第一顆地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距離h=439(km)，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離H=2384(km）。試求衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)。解：從而有。01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646即人造衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)為48708km11。證明等式試依據(jù)的值，用外推算法求的近似值。解若又此函數(shù)的泰勒展式為當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),由外推法可得n32.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.141580故12。用下列方法計(jì)算積分，并比較結(jié)果。(1)龍貝格方法；(2)三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式；(3)將積分區(qū)間分為四等分，用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式。解(1)采用龍貝格方法可得k01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有(2)采用高斯公式時(shí)此時(shí)令則利用三點(diǎn)高斯公式，則利用五點(diǎn)高斯公式，則(3)采用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式將區(qū)間四等分，得作變換，則作變換，則作變換，則作變換，則因此，有13.用三點(diǎn)公式和積分公式求在，和1.2處的導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤差。的值由下表給出：x1.01.11.2F(x)0.25000.22680.2066解：由帶余項(xiàng)的三點(diǎn)求導(dǎo)公式可知又又又故誤差分別為利用數(shù)值積分求導(dǎo)，設(shè)由梯形求積公式得從而有故又且從而有故即解方程組可得第5章MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h數(shù)值分析課后習(xí)題全解第5章：解線性方程組的直接方法證明：由消元公式及A的對(duì)稱性得故對(duì)稱2．證明：（1）因A對(duì)稱正定，故其中MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h=（0,…,0,1,0,...,0）為第i個(gè)單位向量.(2)由A的對(duì)稱性及消元公式得=-=-=，I,j=2,…,n故也對(duì)稱.又=其中顯然非其異,從而對(duì)任意的x0,有X0,(x,AX)=(x,AX)>0(由A的正定性)故正定.又=,而>0,故正定.3.證明由矩陣乘法簡(jiǎn)單運(yùn)算即得證.4.解設(shè)有分解=由公式其中,,分別是系數(shù)矩陣的主對(duì)角線元素及下邊和上邊的次對(duì)角線元素.故有從而有=故==,===,=故=1,=,=,=解(1)設(shè)U為上三角陣=因=，故=.因+=,故=,i=n-1,n-2,,1當(dāng)U為下三角陣時(shí)=得,=,=,i=2,3,…,n.(2)除法次數(shù)為n,乘法次數(shù)為1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2故總的乘法次數(shù)為n+n(n-1)/2=n(n+1)/2.(3)設(shè)U為上三角陣,=S,側(cè)S也是上三角陣.由=得,i=1,2,…,n=-,j=i+1,i+2,…,n;i=n-1,n-2,…,1當(dāng)U為下三角陣時(shí),由=得,i=1,2,…,n=,i=2,3,…,n;j=1,2,…,i-1證明(1)因A是對(duì)稱正定陣,故存在唯一的分解A=L,其中L是具有正對(duì)角元素的下三角陣.從而=(L)=()L=(L)L(A)===故是對(duì)稱矩陣.又非奇異,故對(duì)任意的x0,有x0,故X==>0故是對(duì)稱正定矩陣,即也對(duì)稱正定.(2)由A對(duì)稱正盯,故A的所有順序主子式均不為零,從而A有唯一的Doolittle分解A=U.又U==D其中D為對(duì)三角陣,為單位上三角陣,于是A=U=D又A==D由分解的唯一性即得=從而有A=D又由A的對(duì)稱正定性知=>0,=>0(i=2,3,…,n)故D===故A=D==()()=LL其中L=為三角元為正的下三角矩陣.7.解[A|I]=->->->->->==解設(shè)有分解=由公式其中，，分別是系數(shù)矩陣的主角線元素及其下邊和上邊的次對(duì)角線元素，則有，，，，，，，由得=，，，，由得=，=，=，=，=9．解設(shè)=由矩陣乘法得=2，，，由得，，由得故==2.5555556，=0.7777778，==1.111111110．解A中=0，故不能分解。但det(A)=-100,故若將A中第一行與第三行交換，則可以分解，且分解唯一。B中，==0，但它仍可以分解為B=其中為一任意常數(shù)，且U奇異，故分解且分解不唯一，對(duì)C，0，i=1,2,3,故C可分解且分解唯一。C=11．解=0.8426150==0.6853407故=0.827853112．證明（1）有定義知故（2）由范數(shù)定義，有=故13．證明（1）因P非奇異，故對(duì)任意的x0，有0，故，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，有成立。（2對(duì)任意，有（3）故是上的一種向量范數(shù)。14．證明（1）因A正定對(duì)稱，故當(dāng)x=0時(shí)，=0，而當(dāng)x0時(shí)，=。（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)c，有（3）因A正定，故有分解A=L，則故對(duì)任意向量x和y，總有綜上所知，是一種向量范數(shù)。15．證明因?yàn)橛上蛄糠稊?shù)的等價(jià)性知，存在常數(shù)>0,使對(duì)任意x,有故令,則有即16.證明故17．證明設(shè)，則又故從而當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值，且min=7解故==39205.974519．證明因A正交，故，從而有故=120．證明21．證明（1）故為對(duì)稱矩陣。又A非奇異，故對(duì)任意向量，有，從而有即為對(duì)稱正定矩陣。（2）第六章課后習(xí)題解答K00001-2.60000003.56500001.80055002-4.02749903.14006522.02282243-4.05728142.99084812.01012194-4.00425542.99357252.00004275-3.99811932.99976121.99960136--3.99965423.00023341.99996097-4.00004243.00003142.00001228-4.00001772.99999372.0000027第七章1、用二分法求方程的正根,要求誤差小于0.05.解設(shè),故[1,2]為的有根區(qū)間.又,故當(dāng)時(shí),單增,當(dāng)時(shí)單增.而,由單調(diào)性知的惟一正根.根據(jù)二分法的誤差估計(jì)式(7.2)知要求誤差小于0.05,只需,解得,故至少應(yīng)二分6次.具體計(jì)算結(jié)果見表7-7.表7-701234511.51.51.51.56251.59375221.751.6251.6251.6251.51.751.6251.56251.593751.609375-++----即.2、為求在附近的一個(gè)根,設(shè)將方程改寫成下列等價(jià)形式,并建立相應(yīng)的迭代公式:(1),迭代公式;(2),迭代公式;(3),迭代公式.試分析每種迭代公式的收斂性,并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根.解取的鄰域[1.3,1.6]來考察.(1)當(dāng)時(shí),,故迭代公式在上整體收斂.(2)當(dāng)時(shí)故在[1.3,1.6]上整體收斂.(3)故發(fā)散.由于(2)的L叫小,故取(2)中迭代式計(jì)算.要求結(jié)果具有四位有效數(shù)字,只需即取計(jì)算結(jié)果見表7-8.表7-81231.4812480341.4727057301.4688173144561.4670479731.4662430101.465876820由于,故可取.3、比較求的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量:(1)在區(qū)間[0,1]內(nèi)用二分法;(2)用迭代法,取初值.解(1)因,故,用二分法計(jì)算結(jié)果見表7-9.表7-90123456789101112131400000.06250.06250.07781250.08593750.089843750.089843750.089843750.0903320310.0903320310.0904541010.09051513610.50.250.1250.1250.093750.093750.093750.093750.0917968750.0908203120.0908203120.0905761710.0905761710.0905761710.50.250.1250.06250.093750.0781250.08593750.089843750.0917968750.0908203120.0903320310.0905761710.0904541010.0905151360.090545653+++-+---++-+--+0.50.250.1250.06250.031250.0156250.00781250.003906250.0019531250.0009765620.0004882810.000244140.000122070.0000610350.000030517此時(shí)具有三位有效數(shù)字.(2)當(dāng)時(shí),,故迭代試在[0,0.5]上整體收斂.取,迭代計(jì)算結(jié)果如表7-10所示.表7-101230.10.0894829080.0906391354560.0905126160.0905264680.090524951此時(shí),故精確到三位小數(shù).4、給定函數(shù),設(shè)對(duì)一切,存在且,證明對(duì)于范圍內(nèi)的任意定數(shù),迭代過程均收斂于的根.證明由于,為單增函數(shù),故方程的根是惟一的(假定方程有根).迭代函數(shù),.由及得,,故,由此可得即.5、用斯蒂芬森迭代法計(jì)算第2題中(2)的近似根,精確到.解記第2題中(2)的迭代函數(shù),(3)的迭代函數(shù)為,利用迭代式(7.11),計(jì)算結(jié)果見表7-11.表7-1101231.51.4655584851.4655712331.465571232012341.51.4673422861.4655760851.4655712321.4655712326、設(shè),試確定函數(shù)和,使求解且以為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂.解要求三階收斂到的根,根據(jù)定理7.4,應(yīng)有.于是由得故取即迭代至少三階收斂.7、用下列方法求在附近的根.根的準(zhǔn)確值,要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字.(1)用牛頓法;(2)用弦截法,取;(3)用拋物線法,取.解,對(duì)(1)取,用牛頓迭代法計(jì)算得,故.(2)取,利用弦截法得,,故取.(3).拋物線法的迭代式為迭代結(jié)果為:已達(dá)四位有效數(shù)字.8、分別用二分法和牛頓迭代法求的最小正根.解顯然滿足.另外當(dāng)較小時(shí),,故當(dāng)時(shí),,因此,方程的最小正根應(yīng)在內(nèi).記,容易算得,因此[4,4.6]是的有限區(qū)間.對(duì)于二分法,計(jì)算結(jié)果見表7-12.表7-1201234567894.04.34.454.454.48754.48754.48754.49218754.49218754.4933593754.64.64.64.5254.5254.506254.4968754.4968754.494531254.494531254.34.454.5254.48754.506254.4968754.49218754.494531254.4933593754.493445313++-+--+-+-此時(shí).若用牛頓迭代法求解,由于,故取,迭代計(jì)算結(jié)果如表7-13所示.表7-131234.5457321224.5061455884.494171634564.4934121974.4934094584.493409458所以的最小正根為.9、研究求的牛頓公式證明對(duì)一切且序列是遞減的.證法一用數(shù)列的辦法,因由知,且.又由故,即單減有下界.根據(jù)單調(diào)原理知,有極限.易證起極限為.證法二設(shè).易知在內(nèi)有惟一實(shí)根.對(duì)應(yīng)用牛頓迭代法,得利用例7-9的結(jié)論知,當(dāng)時(shí),單減有下界,且.當(dāng)時(shí),此時(shí),從起,單減有下界,且極限為.10、對(duì)于的牛頓公式,證明收斂到,這里為的根.證明見例7-10.11、用牛頓迭代法和求重根的牛頓迭代法(7.15)和(7.16)(書中式(4.13),(4.14))計(jì)算方程的一個(gè)近似根,準(zhǔn)確到,初始值.解的根為2重根,即用牛頓法迭代公式為令,則,迭代到.用求重根的迭代公式(7.15),迭代迭代公式為取,則.四次迭代達(dá)到上面的結(jié)果.若用公式(7.16),則有將及代入上述迭代公式,得取,得.結(jié)果與公式(7.15)的相同.12、應(yīng)用牛頓迭代法于方程,導(dǎo)出求立方根的迭代公式,并討論其收斂性.解設(shè),牛頓迭代公式為當(dāng);當(dāng)時(shí),,,因此,對(duì)于,當(dāng)時(shí),根據(jù)例7-9的結(jié)論知,牛頓序列收斂到.當(dāng)時(shí),從起,牛頓序列收斂到.對(duì)于,當(dāng)時(shí),.由牛頓法產(chǎn)生的序列單增趨于.當(dāng)時(shí),之后迭代也收斂.當(dāng)時(shí),迭代式變?yōu)樵摰鷮?duì)任何均收斂,但收斂速度是線性的.13、應(yīng)用牛頓法于方程,導(dǎo)出求的迭代公式,并用此公式求的值.解,所以牛頓迭代公式有易知.故取時(shí),迭代收斂.對(duì)于,取,迭代計(jì)算,得故.14、應(yīng)用牛頓法于方程和,分別導(dǎo)出求的迭代公式,并求解對(duì)于,因此牛頓迭代法為根據(jù)定理7.4知對(duì)于,牛頓法公式為根據(jù)定理7.4知15、證明迭代公式是計(jì)算的三階方法.假定初值充分靠近根,求證明記,則迭代式為且.由的定義,有對(duì)上式兩端連續(xù)求導(dǎo)三次,得代依次入上三式,并利用,得所以由定理7.4知,迭代公式是求的三階方法且16、用牛頓法解方程組