浙江省麗水市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

麗水市2022學(xué)年第一學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控高二數(shù)學(xué)試題卷（2023.01）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.已知過點，的直線的傾斜角為60°，則實數(shù)a的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜率的定義求解．【詳解】由題意，得，解得.故選：A.2.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A.65 B.75 C.80 D.85【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)公差為，依題意得，解得，所以.故選：D3.在平行六面體中，AC，BD相交于，為的中點，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由空間向量的線性運算結(jié)合圖形計算即可.【詳解】如圖所示，，故選：C4.若圓與圓外切，則實數(shù)（）A.－1 B.1 C.1或4 D.4【答案】D【解析】【分析】由兩圓的位置關(guān)系計算即可.【詳解】由條件化簡得，即兩圓圓心為，設(shè)其半徑分別為，，所以有.故選：D5.已知直線，與平面，，下列四個命題中正確的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若直線上存在兩點到平面的距離相等，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷A；線面垂直的性質(zhì)定理可判斷B；線面平行的性質(zhì)定理可判斷C；線面關(guān)系可判斷D.【詳解】對于A，若，，，，且相交才有，故A錯誤；對于B，若，，，則，故B正確；對于C，若，，，則，或與異面，或a、b相交，故C錯誤；對于D，若直線上存在兩點到平面的距離相等，則，或與相交，故D錯誤.故選：B.6.已知圓柱的底面半徑和母線長均為1，A，B分別為圓、圓上的點，若，則異面直線，所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】做平行線，將所求的異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的直線夾角，構(gòu)造三角形即可求解.【詳解】如上圖，過點A做平面的垂線，垂足為D，即AD是母線，連接DB，平面，，所以四邊形是平行四邊形，，與的所成的角就是或其補角；由題意可知AB=2，AD=1，在中，，在等腰中，由余弦定理，，由于異面直線的夾角范圍是，故取的補角，故選：B.7.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析這兩個函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出、的大小關(guān)系，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，令，則在上恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，因為，則，所以，，令，則，當(dāng)時，，所以，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，即，所以，，故，又因為，，，，故，故選：B.8.在四面體PABC中，，是邊長為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意，作出四面體的外接球的球心大致位置，再根據(jù)二面角的定義求得，從而在中求得，結(jié)合勾股定理即可求得外接球的半徑，由此得解.【詳解】設(shè)正的重心為，則是正的外接圓的圓心，取的中點，因為，所以是的外接圓的圓心，過作平面，過作平面，，如圖，則為四面體的外接球的球心，又二面角的大小為，則，又在正中，，則在中，，設(shè)四面體PABC的外接球的半徑為，則，所以四面體PABC的外接球的表面積為.故選：C.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.下列求導(dǎo)數(shù)的運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則，逐一對各個選項分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項A，根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項A正確；選項B，因為常數(shù)，所以，選項B錯誤；選項C，根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項C正確；選項D，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項D錯誤.故選：AC.10.設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，前項積為，公比為，已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若為遞增數(shù)列，則C.D.若為遞減數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合題意，利用等比數(shù)列的性質(zhì)逐項進行求解即可.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，又因為，所以或，當(dāng)時，則，解得或（舍去），則，當(dāng)時，則，解得或（舍去），則，綜上，故選項A錯誤，C正確；若為遞增數(shù)列，則，，，即，，故，故選項B正確；若為遞減數(shù)列，則，，，，，，故當(dāng)且僅當(dāng)或時，取得最大值，故選項D錯誤；故選：BC.11.在棱長為2的正方體中，，分別是棱BC，的中點，點滿足，，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則平面MPQB.若，則過點，，的截面面積是C.若，則點到平面MPQ的距離是D.若，則AB與平面MPQ所成角的正切值為【答案】BD【解析】【分析】時有M與A重合，對于A選項，可以利用反證法判定；對于B選項，根據(jù)平面的性質(zhì)計算即可；時，M為AB中點，對于CD選項，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量處理即可.【詳解】如圖所示，時有M與A重合，對于A選項，延長PQ交BB1于L，連接AL，易得平面平面MPQ=AL，若平面MPQ，則，顯然，且B、L不重合，矛盾，故A錯誤；對于B項，連接AD1、D1Q，易知平面APQD1即該截面，顯然該截面為等腰梯形，易得，，故B正確；如圖所示，時，M為AB中點，以D為中心建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面MPQ法向量為，則，令，則，故對于C項，設(shè)點到平面MPQ的距離為，則，即C錯誤；對于D項，設(shè)AB與平面MPQ所成角為，則，所以，即D正確.故選：BD

12.已知拋物線，點，，過點的直線與拋物線交于，兩點，AP，AQ分別交拋物線于，N兩點，為坐標(biāo)原點，則（）A.焦點坐標(biāo)為 B.向量與的數(shù)量積為5C.直線MN的斜率為 D.若直線PQ過焦點，則OF平分【答案】BCD【解析】【分析】由拋物線方程即可判定A項；設(shè)直線AP方程與拋物線聯(lián)立利用韋達定理計算數(shù)量積即可判定B項；設(shè)直線PQ方程及P、Q坐標(biāo)，用來表示直線AP、AQ，并與拋物線聯(lián)立求得M、N坐標(biāo)，即可判定C項；設(shè)直線PQ方程及P、Q坐標(biāo)，與拋物線聯(lián)立結(jié)合韋達定理求得AP、AQ斜率關(guān)系即可判定D項.【詳解】對于A項，由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點，即A錯誤；對于B項，可設(shè)直線AP方程為：，設(shè)，與拋物線聯(lián)立可得∴，故B正確；對于C項，可設(shè)直線QP方程為：，設(shè)，∴，直線QP方程與拋物線方程聯(lián)立，化簡可得，又由上可知，同理有，∴，，故C正確；對于D項，由上設(shè)直線QP方程為：，，聯(lián)立拋物線有，若PQ過焦點F，則有，即結(jié)合上，及可知，此時，即直線AP、QA關(guān)于橫軸對稱，OF平分，故D正確.故選：BCD三、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）13.已知點，，向量，則點的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】由向量的坐標(biāo)運算計算即可.【詳解】設(shè)，則，即，故.故答案為：14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點在圓上運動，則線段AP的中點的軌跡方程是______．【答案】【解析】【分析】由幾何性質(zhì)計算即可.【詳解】如圖所示，取OA中點D，連接DQ，則DQ為的一條中位線，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D為圓心，DQ長為半徑的圓上，所以Q的軌跡方程為.故答案為：.15.若曲線在處的切線經(jīng)過點，則實數(shù)______．【答案】##-0.5【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線斜率，然后利用點斜式寫出切線方程，最后將點代入切斜方程求解即可.【詳解】由題意得，所以曲線在處的切線的斜率為，切點為，則切線方程為，將點代入切線方程中可得：，解得.故答案為：.16.一個圓錐母線與底面所成的角為，體積為，過圓錐頂點的平面截圓錐，則所得截面面積的最大值為______．【答案】8【解析】【分析】設(shè)圓錐的頂點為，底面圓心為，過圓錐頂點的平面截圓錐所得截面為，根據(jù)，圓錐體積為，求出，再用表示截面面積，根據(jù)二次函數(shù)知識可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的頂點為，底面圓心為，過圓錐頂點的平面截圓錐所得截面為，為的中點，則，，，則圓錐的體積為，由題意得，解得，，，，所以，因為，，所以當(dāng)，時，取得最大值為.故答案為：.17.某牧場今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為10%，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場從今年起，第年年初的存欄數(shù)為，則______．（，，）【答案】1472【解析】【分析】根據(jù)條件建立等量關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列求通項即可.詳解】由題意可得，所以，即，故.故答案為：1472.18.已知橢圓的右焦點為，點，在橢圓上，為坐標(biāo)原點，且，，則橢圓的離心率是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得為直角三角形，再結(jié)合橢圓的定義列出方程，由離心率的計算公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，設(shè)，因為，所以為直角三角形且，因為，所以，因為，，所以，，所以，解得，所以，，所以，所以，即橢圓的離心率是.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)直接求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系直接求解即可；（2）根據(jù)（1）中單調(diào)性得到函數(shù)極大值與極小值，通過變化趨勢列出不等式組求解即可.【小問1詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）得：當(dāng)時，取得極大值；當(dāng)時，取得極小值.由三次函數(shù)性質(zhì)知：當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以若有三個零點，則，解得.所以的取值范圍為.20.已知圓經(jīng)過點和，且圓關(guān)于直線對稱．（1）求圓的方程；（2）過點作直線與圓相切，求直線的方程．【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）由題意可知圓心為AB中垂線與的交點，計算圓心再求半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示即可；（2）分類討論，設(shè)切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑計算即可.【小問1詳解】∵，，故AB的中點坐標(biāo)為，，∴AB的垂直平分線為：，由解得圓心，半徑故圓的方程為；小問2詳解】若直線的斜率存在，方程可設(shè)為，即圓心到直線的距離為，解得，所求的一條切線為；當(dāng)直線的斜率不存在時，圓心到的距離為4，即與圓相切，所以直線的方程為和．21.設(shè)正項數(shù)列的前項和為，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)推出，再由等差數(shù)列的通項公式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)錯位相減法可求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，則，化簡得，又，所以，．所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以；【小問2詳解】因為，，所以，所以，，所以，所以，整理得.22.如圖，在四邊形ABCD中（如圖1），，，，，F(xiàn)分別是邊BD，CD上的點，將沿BC翻折，將沿EF翻折，使得點與點重合（記為點），且平面平面BCFE（如圖2）（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面PBC，從而可得.（2）根據(jù)題意，取BC中點，連接PO，以為原點，CB，CF所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后由空間向量的坐標(biāo)運算即可得到結(jié)果.【小問1詳解】證明：∵平面平面，平面平面BCFE，又∵平面BCFE，且∴平面PBC，且平面，∴【小問2詳解】取BC中點，連接PO，∵，∴∵平面平面，平面平面，平面∴平面BCFE以為原點，CB，CF所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)，由得，解得，所以，設(shè)，由得，解得，∴，則，，平面BEF的一個法向量，設(shè)平面PEF的一個法向量，，令，得，設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角，則，∴二面角的余弦值為．23.已知雙曲線，在雙曲線右支上存在不同于點的兩點，，記直線的斜率分別為，且，，成等差數(shù)列．（1）求的取值范圍；（2）若的面積為（為坐標(biāo)原點），求直線的方程．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)，，直線，代入雙曲線方程，根據(jù)，，得，根據(jù)以及斜率公式推出，，代入可求出結(jié)果；（2）利用弦長