初中數學自主招生訓練 14 圓與圓的位置關系（含解析）

專題14圓與圓的位置關系

一.選擇題（共8小題）

1.（2018?漢陽區(qū)校級自主招生）如圖，邊長為1的正△ABC,分別以頂點A、B、C為圓心,

1為半徑作圓，則這三個圓所覆蓋的圖形面積為（）

C.工it-2加D.2豆+返

22

2.（2016?寶山區(qū)校級自主招生）如圖，圓與圓之間的不同位置關系有幾種（）

B.-1C.1D.3

3.（2016?涪城區(qū)校級自主招生）如圖，0A、08的半徑分別為2、1,且AB=8,若作。C

使得三圓的圓心在同一直線上，且OC與。4外切，與。B相交，則OC的半徑在下列數

字中可能是（）

A.2.5B.3C.3.5D.4

4.（2016?福州自主招生）如圖所示，圓A和圓2的半徑都為1,A8=8.圓A和圓8都和

圓O外切，且三圓均和直線/相切，切點為C、。、E,則圓。的半徑為（）

O.

AB

A.3B.4C.5D.6

5.（2015?武城縣校級自主招生）若0A的半徑是5,的半徑是3,圓心距A8=2,則。4

與。B的位置關系是（）

A.相交B.內切C.外切D.內含

6.（2015?溫州校級自主招生）如果外切的兩圓。。1和002的半徑分別為2和4,那么半徑

為6,與。0i和。3都相切的圓有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

7.（2015?黃岡中學自主招生）如圖，。01與。。2外切于P,。01,的半徑分別為2,

1.01A為002的切線，AB為。。2的直徑，08分別交。。2于C,D,貝ljCD+3PZ）

C

3

8.（2014?岳麓區(qū)校級自主招生）如圖所示，RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,兩

等圓圓A,圓8外切，那么圖中兩個扇形（即陰影部分）的面積之和為（）

C257r

二.填空題（共7小題）

9.（2020?浙江自主招生）己知線段AB的中點為C,以點A為圓心，A8的長為半徑作圓,

在線段AB的延長線上取點￡>,使得2O=AC；再以點。為圓心，D4的長為半徑作圓,

與。A分別相交于F,G兩點，連接FG交AB于點H,則迎的值為

AB

10.（2020?浙江自主招生）在單位正三角形中，將其內切圓及三個角切圓（與角兩邊及三角

形內切圓都相切的圓）的內部挖去，則三角形剩下部分的面積為

II.（2018?青羊區(qū)校級自主招生）矩形48co的相鄰兩邊長A8=7,BC=IO.在同一平面

內，以頂點A為圓心，以5為半徑作圓A,在AB邊上取一點E,使得8E=2,以點E為

圓心，r為半徑作圓E,求使OE與有公共點，且點B在。E內，點。在。E外的r

的取值范圍是.

12.（2018?包河區(qū)校級自主招生）當兩個圓有兩個公共點，且其中一個圓的圓心在另一圓的

圓內時，我們稱此兩圓的位置關系為“內相交”.如果。。1、03半徑分別3和1,且兩

圓“內相交”，那么兩圓的圓心距d的取值范圍是.

13.（2017?李滄區(qū)校級自主招生）OM與。N的半徑分別為3和4,線段的長度為5,

設這兩個圓的交點為A，B,線段MN與兩圓的交點為C,D,則以4、B、C、。四個點

圍成的四邊形的面積為.

14.（2017?楊浦區(qū)校級自主招生）如圖，半徑分別為1和2的兩個圓外切，且兩圓與等腰三

角形AABC的兩腰AB和AC都相切，則△ABC的面積為.

15.（2017?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）設Ci,C2,C3,…為一群圓，其作法如下：。是半徑為

。的圓，在C1的圓內作四個相等的圓C2（如圖），每個圓C2和圓。都內切，且相鄰的

兩個圓C2均外切，再在每一個圓C2中，用同樣的方法作四個相等的圓C3,依此類推作

出C4,C5,C6,…，則

（1）圓C2的半徑長等于（用。表示）；

（2）圓Ck的半徑為a為正整數，用a表示，不必證明）

三.解答題（共6小題）

16.（2020?浙江自主招生）如圖，。。1與。。相交于點4和8,經過A作直線與。Oi相交

于D,與002相交于C,設弧BC的中點為M,弧BD的中點為N,線段CD的中點為K.求

證：MKLKN.

17.（2020?浙江自主招生）設點O（0,0）、點4（2,0）,分別以。、A為圓心，半徑為2八

r作圓，兩圓在第一象限的交點為P.

（1）當r=l時，求點P的坐標；

（2）當時，能否找到一定點。，使PQ為定值？若能找到，請求出Q點的坐

3

標及定值；若不能找到，請說明理由.

18.(2017?金牛區(qū)校級自主招生)如圖：兩個同心圓的圓心是O,AB是大圓的直徑，大圓

的弦AC與小圓相切于點。，連接。。并延長交大圓于點E,連接BE交AC于點F.

(1)已知tan/B=乎，且大、小兩圓半徑差2,求大圓的半徑.

(2)試判斷EC與過&F、C三點的圓的位置關系，并證明.

(3)在(1)的條件下，延長EC、AB交于G,求sin/G.

19.(2016?徐匯區(qū)校級自主招生)如圖，已知8c于8,DC-LBC^C,AC,交于

點P.

(1)當以AB為直徑作0Oi與以CD為直徑的002相切于點F時，判斷aABC和△O8C

之間的關系，說明理由，并直接寫出切點尸到P之間的距離；

(2)若BC=A8+C￡>,以點尸為圓心作。P,使0P與直線8c相切，判斷0P與以BC

為直徑的OO之間的位置關系，并說明理由.

20.(2015?永春縣自主招生)如圖，在平面直角坐標系中，4,B兩點的坐標分別為(0,-

2),(0,8),以AB為一邊作正方形ABCZ),再以為直徑的半圓P.設x軸交半圓P

于點E,交邊CO于點尸.

(1)求線段EF的長；

(2)連接BE,試判斷直線BE與OP的位置關系，并說明你的理由：

(3)直線BE上是否存在著點。,使得以。為圓心、，?為半徑的圓，既與y軸相切又與

OP外切？若存在，試求r的值；若不存在，請說明理由.

忖

■>

X

cD

21.(2014?南充校級自主招生)(1)如圖1,在邊長為1的正方形A8CD內，。01,。。2

互相外切，且與邊AB,相切，002與邊BC,C。相切，求OO1,半徑的

和；

(2)如圖2,將正方形ABCD改為一個長為旦寬為1的長方形，其它條件不變，求。。|,

2

。。2面積和的最小值.

專題14圓與圓的位置關系

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.（2018?漢陽區(qū)校級自主招生）如圖，邊長為1的正△ABC,分別以頂點A、B、C為圓心,

1為半徑作圓，則這三個圓所覆蓋的圖形面積為（）

C.-Z-TT-273D.2TT+返

22

【解答】解：連接CO,BD,AC與8。交于點E,如圖,

:△ABC為邊長為1的等邊三角形，

AZACB=60,/8CL>=120。,5,。=弘48。=通義「=叵

44

每兩個圓的公共部分面積等于2個弓形BO的面積，而每個弓形的面積等于扇形CDB的

面積減去△BOC的面積，

???每兩個圓的公共部分面積為2（120兀XJ-返）=2（三_返）=空-返，

36043432

三個圓公共部分面積為三個弓形AB的面積加AABC的面積，

...三個圓公共部分面積為3X包匹-2X返=三-返，

360422_

三個圓覆蓋的面積為3ir-3（22L-返）+（工-返）+三-返=空_+遂.

3222222

2.（2016?寶山區(qū)校級自主招生）如圖，圓與圓之間的不同位置關系有幾種（)

【解答】解：圖中圓與圓的位置關系有內切，外切，相離，共3種，

故選：D.

3.（2016?涪城區(qū)校級自主招生）如圖，OA、的半徑分別為2、1,且AB=8,若作OC

使得三圓的圓心在同一直線上，且。C與。A外切，與。B相交，則0c的半徑在下列數

【解答】解：A、當OC的半徑為2.5時，因為0c與OA外切，所以AC=4.5,則BC=

3.5或12.5,此時（DC與OB外切或外離，所以4選項錯誤；

B、當OC的半徑為3時，因為0c與OA外切，所以4c=5,則8c=3或13,此時OC

與。B相交或外離，所以8選項正確；

C、當OC的半徑為3.5時，因為OC與OA外切，所以AC=5.5,則BC=2.5或13.5,

此時OC與內切或外離，所以C選項錯誤；

D、當（DC的半徑為4時，因為OC與外切，所以4C=6,則BC=2或14,此時。。

與。B內含或外離，所以。選項錯誤.

故選：B.

4.（2016?福州自主招生）如圖所示，圓A和圓8的半徑都為1,A8=8.圓A和圓B都和

圓0外切，且三圓均和直線/相切，切點為C、。、E,則圓。的半徑為（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：如圖，連接AC、BE、AB.A。、OD,。。與AB交于點M.設。O半徑為

J.AC//OD//BE,

*：AC=BE=1,

???四邊形ACEB是平行四邊形，

VZACD=ZODC=ZBEC=90°,

???四邊形ACEB是矩形，

：.DM=AC=\,

U：AB//CE,OD±CE,

JOD±AB

?：OA=OB,

???AM=8M=LB=4,

2

在RT/\AOM中，*?OA2=OM2+AM2,

J(R+l)2=42+(R-1)2,

???R=4

故選：B.

5.(2015?武城縣校級自主招生)若0A的半徑是5,。8的半徑是3,圓心距AB=2,則。4

與。B的位置關系是()

A.相交B.內切C.外切D.內含

【解答】解：；G）A的半徑是5,OB的半徑是3,圓心距AB=2,

又-3=2,

：.OA與0B的位置關系是內切.

故選：B.

6.（2015?溫州校級自主招生）如果外切的兩圓。01和。02的半徑分別為2和4,那么半徑

為6,與。。|和。。2都相切的圓有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

【解答】解：如圖所示：

和。。1和。。2都外切的圓，可以畫兩個，

和。。1內切，。。2外切的圓可以畫一個，

和。。2內切，。01外切的圓可以畫一個，

和。。1,。。2都內切的圓可以畫一個，

共5個，

故選：B.

7.（2015?黃岡中學自主招生）如圖，與。。2外切于P,OOi,的半徑分別為2,

1.01A為002的切線，AB為。。2的直徑，分別交。。2于C,D,貝UCD+3叨

的值為（）

（3?

A-3B.畢C.D.一4^.

33

【解答】解：連接0102,

,**A02=1?01。2=3,

二?A01={/一式?亞,

273>

??,8°I=J0]A2+AB2=%7=

...由切割線定理。以2=0]￡）.0山,得01。=—^==&

2733

.01P_0業(yè)__2

,01020tB3,

；NPOID=NO2OIB,

：.^P0\D^/\0i0\B,

.PD=2

B023,

:.PD=2_,

3

CD+3PD=^H--2+3X2=.

333

故選：D.

8.（2014?岳麓區(qū)校級自主招生）如圖所示,咫△ABC中，NC=90°,AC=6,BC=8,兩

等圓圓A,圓8外切，那么圖中兩個扇形（即陰影部分）的面積之和為（）

?.,等圓08,0A外切，

/.QB,OC的半徑為5,

?.?△ACB中，ZC=90°,

???N3+NA=90°,

兩圓中陰影扇形的面積之和為：幺X三X'+/CX2X§2=_口口義（NB+

360360360

ZC）義25=生死

4

故選：A.

二.填空題（共7小題）

9.（2020?浙江自主招生）已知線段A8的中點為C,以點A為圓心，AB的長為半徑作圓,

在線段A8的延長線上取點O,使得BO=AC；再以點。為圓心，OA的長為半徑作圓,

與OA分別相交于RG兩點，連接FG交AB于點”，則旭的值為_2_.

【解答】解：如圖，延長A拉與。。交于點E,連接AREF.

??,線段A8的中點為C,

：.AC=BCf

9：BD=AC,

：.BD=AC=BCf

?1

??A—AD，

'：AC=1AB,AD=1AE,

22

.1

??AB-yAE(

o

在△FH4和△片用中，

ZEFA=ZFHA=()O°,ZFAH=ZEAF,

?AHAF

,?而R

"：AF=AB,

?旭=迪=2

*'ABAE~3

故答案為：1.

10.（2020?浙江自主招生）在單位正三角形中，將其內切圓及三個角切圓（與角兩邊及三角

形內切圓都相切的圓）的內部挖去，則三角形剩下部分的面積為_

由題意知AC=工，NBAC=30°,

2

解得8。=返，

6

設小圓半徑為，，

sin30°=DE=-yJ—=1,

ADy[3_2

6-r

解得r=返，

18

二三角形剩下部分的面積5哼-3Xn嚕）2-哈之哼-2L.

11.（2018?青羊區(qū)校級自主招生）矩形ABCZ）的相鄰兩邊長AB=7,8c=10.在同一平面

內，以頂點4為圓心，以5為半徑作圓A,在48邊上取一點E,使得BE=2,以點E為

圓心，r為半徑作圓E,求使OE與OA有公共點，且點8在OE內，點。在OE外的r

的取值范圍是2<，<10.

【解答】解：如圖，

?.?點8在。E內，

r>2,

與。A有公共點，

...rW5X2=10,

...點。在OE外的r的取值范圍是2<rW10.

12.（2018?包河區(qū)校級自主招生）當兩個圓有兩個公共點，且其中一個圓的圓心在另一圓的

圓內時，我們稱此兩圓的位置關系為“內相交”.如果。0卜半徑分別3和1,且兩

圓“內相交”，那么兩圓的圓心距4的取值范圍是2V4V3.

【解答】解：：。01、。。2半徑分別3和1,

.?.當兩圓相交時，2Vd<4,

:其中一個圓的圓心在另一圓的圓內，

：.2<d<3,

故答案為：2<d<3.

13.（2017?李滄區(qū)校級自主招生）OM與ON的半徑分別為3和4,線段的長度為5,

設這兩個圓的交點為A，B,線段MN與兩圓的交點為C,D,則以A、B、C、。四個點

圍成的四邊形的面積為24.

一5一

【解答】解：如圖，與。N的交點為4,B,

線段與兩圓的交點為C,D,

連接AB交MN于點、E,

:相交兩圓的連心線垂直平分公共弦,

即MN垂直平分AB,

：.AE=BE,

連接AMAM,

由題意可知：

AM=M￡>=3,NA=NC=4,MN=5,

V32+42=52,

即AM2+AM=MM,

.?.△AMN是直角三角形，

：.SMBC=^AM-AN=^MN-AE

22

即3X4=54E,

：.AE=H,

5

，A8=2AE="

5

,:MC=MN-NC=\,

：.CD=MD-MC=2,

四邊形ACB。的面積為：

X,AB-CD=1-x坐X2=Z1

2255

故答案為：2支

5

14.（2017?楊浦區(qū)校級自主招生）如圖，半徑分別為1和2的兩個圓外切，且兩圓與等腰三

角形△ABC的兩腰AB和AC都相切，則△ABC的面積為16、萬.

【解答】解：作OE_LAC于E,O'FJ_AC于凡OMVO,尸于例，連接40,作直線

OO,交8c于N經過點A,且N是切點.

二ZOEF=ZEFM=ZOMF=90°,

二四邊形OEFM是矩形，

：.FM=OE=\,O'M=\,

OM=q§2_]2=2"\/"^,

"：OE=O'M,NAEO=NOMO',/AOE=/OO'M,

：.△AOE^AOO，M,

：.AO=OO'=3,

，AN=8,

?；ANLBC,tanZNAC=tanZOAE=—L=,

2V2

.CN=1

"AN272'

:.CN=2近,

:.BC=2CN=4M，

SAABC=AX4A/2X8=l6近,

故答案為16?

15.（2017?鎮(zhèn)海區(qū)校級自主招生）設G,C2,C3,…為一群圓，其作法如下：。是半徑為

a的圓，在。的圓內作四個相等的圓C2（如圖），每個圓C2和圓。都內切，且相鄰的

兩個圓C2均外切，再在每一個圓C2中，用同樣的方法作四個相等的圓C3,依此類推作

出C4,C5,C6,…，貝IJ

（1）圓C2的半徑長等于a_（用a表示）；

（2）圓Ck的半徑為（6-1）卜。（X為正整數,用。表示，不必證明）

【解答】（1）解：連接48、BC、CD、AD,AC,

設小圓的半徑是r,

根據圓與圓相切，

,\AC=2a-2r,

四邊形488是正方形，

：.AB=BC,ZB=90°,

由勾股定理得：AC=2yf2r>

.'.2a-2r=2y[2r,

解得：r=（5/2-1）a,

故答案為：（&-1）a.

（2）解：由（1）得：r=-1）a,

同理圓C3的半徑是/3=（料-1）r=（加-1）2。，

C4的半徑是八4=（加-1）3,

圓Ck的半徑為“=（V2-1）k-1a,

16.（2020?浙江自主招生）如圖，。。|與。。相交于點4和8,經過A作直線與。Oi相交

于D,與。02相交于C,設弧BC的中點為M,弧BD的中點為N,線段CD的中點為K.求

【解答】證明：將△K￡W繞點K順時針旋轉180°得aGCK,連接MC,MB,GC,NB,

ND,MN,延長AB交MV于S.…（3分）

則CG=DN,ZGCK=ZKDN,

?.?弧8c的中點為M,弧8。的中點為N,

：.DN=BN,MC=MB,…（6分）

：.CG=BN,

又NKCM=NMBS,NGCK=NKDN=ZSBN,

:.NGCM=NMBN,…（9分）

在△GCM與△%加%中，

，CG=NB

<ZGCM=ZMBN-

MC=MB

：./\GCM^/\NBM（SAS）,…（10分）

：.GM=MN.

又GK=KN,

:*MK1KN…(12分)

G

17.（2020?浙江自主招生）設點。（0,0）、點A（2,0）,分別以0、A為圓心，半徑為2八

r作圓，兩圓在第一象限的交點為P.

（1）當/*=1時，求點尸的坐標；

（2）當2<=<2時，能否找到一定點Q，使PQ為定值？若能找到，請求出Q點的坐

3

標及定值；若不能找到，請說明理由.

由勾股定理，得Jx+y=2

.（2-x）2+y2=l2

'_7_

解得《「（舍去負值）

《限

(2)設P(x,y),

由題意,得/+)?=4[(%-2)2+y2]

化簡，得/+/-J13+」旦=0

33

即(X-旦)2+)2=^^

39

...定點為(.1,0)，定值為全

33

18.(2017?金牛區(qū)校級自主招生)如圖：兩個同心圓的圓心是。，AB是大圓的直徑，大圓

的弦AC與小圓相切于點。，連接。。并延長交大圓于點￡連接BE交AC于點F.

(1)已知tanNB=坐，且大、小兩圓半徑差2,求大圓的半徑.

(2)試判斷EC與過以F、C三點的圓的位置關系，并證明.

(3)在(1)的條件下，延長EC、A8交于G,求sin/G.

2>

【解答】解：(1)VZABE^ZACE,tanZB=y

；.tan/ACE=?

2

而ODLAC,

?.?大、小兩圓半徑差為2,

：.DE=2,

故AO=￡)C=2點,在RtZXA。。中，可求得。。=1,

半徑4。=3；

(2)EC是過3、F、C三點的切線.

證明：連接BC,

設過B、F、C三點的圓的圓心為0',則的直徑為B尸，連接O'C,

則O'C=O'F,

/O'FC=O'CF,

"：AE=CE,

NECF=NCBF,

而N。'FC+NCBF=90°,

NO'CF+ZECF=90°,

即NECO'=90°,

故EC是00'的切線.

(3)過C作CM〃A8交。E于M過N作HNLEC,

"JBC//DO,

四邊形ONCB為平行四邊形，

：.ON=BC=2,

：.NE=l,又中，

可求得NH=Y&,

3

'：NC=0B=3,

在Rt/\NCH中,

sinNG=sinNHCN=&.

9

19.(2016?徐匯區(qū)校級自主招生)如圖，已知ABLBC于B,DCLBC^C,AC、DB交于

點P.

(1)當以A3為直徑作。。1與以8為直徑的。。2相切于點F時，判斷aABC和△O8C

之間的關系，說明理由，并直接寫出切點F到P之間的距離：

(2)若BC=AB+CD,以點P為圓心作G)P,使OP與直線BC相切，判斷G)P與以BC

為直徑的。。之間的位置關系，并說明理由.

D

如圖1中，連接AF、BF、CF、OF,作兩圓的公切線交BC于M.

"：AB±BC,DC1BC,

...8C是兩圓的公切線，

：.MB=MF=MC,

.,?ZBFC=90°,

,：AB,CO是直徑，

:.NAFB=NCFD=90°,

...NAFC=/BF￡)=180°,

；.A、F、C共線，B、F、。共線，

■:AC交BD于P,

尸與尸公點,

：.PF=0.

ZBAC+ZABF=90°,ZZDBC=90°,

:.NBAC=NDBC,,:NABC=NDCB=90°,

：./\ABCS/\BCD.

(2)連接OP.0P與直線BC相切于H,連接PH.設AB=a,CD=b,BC=a+b.

,D

：.AB//PH//CD,

?#PH=CH>PH=BH(

AB而'CDBC"

??---------?-----------------1,

ABCDBC

：.PH=-^-,BH=a,

a+b

:OB=^-,

2

2

.________2.,2

在Rl/\POH中，。尸百福=且「鼻，

YPH-KJH2(a+b)

22

圓心距且-ab=a+b=OP,

2a+b2(a+b)

二兩圓內切.

20.(2015?永春縣自主招生)如圖，在平面直角坐標系中，A,B兩點的坐標分別為(0,-

2),(0,8),以A8為一邊作正方形ABCD,再以C。為直徑的半圓P.設x軸交半圓P

于點E,交邊CD于點F.

(1)求線段EF的長：

(2)連接BE,試判斷直線BE與OP的位置關系，并說明你的理由；

(3)直線BE上是否存在著點Q,使得以。為圓心、r為半徑的圓，既與y軸相切又與

。尸外切？若存在，試求r的值；若不存在，請說明理由.

以A8為一邊作正方形ABC。，再以CO為直徑的半圓P.

：.AB=CD=[0,

：.PE=5,PF=3,

^=VPE2-PF2,

=752-32,

=4；

證明：總

(2)=2,EO10-4=2，NBOE=NEFP,

EF4PF3

.".RtABOE^RtAEFP,

；.NOBE=/FEP,

NOBE+/OEB=90°,

=NFEP+NOEB=9Q°,

=NBEP=90°,

相切；

(3)連接P。，過0作QMJ_y軸于M,交.CD千N,

；OQ與。尸外切，

：.PQ=r+5,

與y軸相切