安徽省2023中考數(shù)學(xué)題型7二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用習(xí)題

題型七二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

高分幫

類型1利潤最值問題

1.[2021山東濟(jì)寧]某商場購進(jìn)甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元,

乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元.

（1）求甲、乙兩種商品每箱分別盈利多少元.

（2）甲、乙兩種商品全部售完后,該商場又購進(jìn)一批甲商品,在原每箱盈利不變的前提下,平均

每天可賣出100箱.如調(diào)整價格,每箱降價1元,平均每天可以多賣出20箱,那么當(dāng)每箱降價

多少元時，該商場獲得的利潤最大?最大利潤是多少？

解：（1）設(shè)乙商品每箱盈利x元,則甲商品每箱盈利（x伶）元，

根據(jù)題意，得岑型二100,解得x=10.

+b

檢驗(yàn)：當(dāng)x=10時，x（x⑸WO,x玷=15.

答：甲、乙兩種商品每箱盈利分別為15元，10元.

（2）設(shè)每箱降價加元,該商場獲得的利潤為1元，

根據(jù)題意,得/勺（15-4（100+20加=-20蘇+200皿+1500=-20（必-5）2+2000,

當(dāng)始5時，/取最大值,最大值為2000.

答:當(dāng)每箱降價5元時,該商場獲得的利潤最大,最大利潤為2000元.

2.[2021遼寧營口]某商家正在熱銷一種商品，其成本為30元/牛,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)隨著售

價增加,銷售量在減少.商家決定當(dāng)售價為60元/（牛時,改變銷售策略,此時售價每增加1元需

支付由此產(chǎn)生的額外費(fèi)用150元.該商品銷售量y（件）與售價x（元/牛）滿足如圖所示的函數(shù)

關(guān)系.（其中40<xW70,且“為整數(shù)）

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)售價為多少時,商家所獲利潤最大,最大利潤是多少？

-10+700(40<

解：⑴y

5-200(60<<70).

解法提示：當(dāng)40WxW60時，設(shè)y=k、x+b\,

將(40,300),(60,100)分別代入,可得

4o+-

得

30解

6O+；：標(biāo)即尸T0"700.

00,

當(dāng)60WxW70時，設(shè)y=k2x-f-bi)

將(70,150),(60,100)分別代入,可得

t*t'I愕解得(2二5，即-00.

(bU2+2—1UU,12——NUU,

.(-10+700(40<<60),

"y{5-200(60<<70).

⑵設(shè)銷售利潤為叼當(dāng)40WxW60時，

)^(^-30)=-10/+1000x-21000—10(%-50)2M000,

,:當(dāng)產(chǎn)50時,曠取最大值,為4000;

當(dāng)60GW70時，

/可(x-30)-150(x-60)=5/-500^^15000=5(X-50)2+2500.

:?該二次函數(shù)的圖象開口向上,對稱軸為直線x%0,

.:當(dāng)604W70時，，/隨x的增大而增大，

.:當(dāng)x=70時,此取最大值，為4500.

：*4500>4000,

?:當(dāng)售價為70元/牛時,商家所獲利潤最大,最大利潤是4500元.

3.[2021淮南一模]老王種植了優(yōu)質(zhì)藍(lán)莓,經(jīng)核算,種植成本為18元/kg.通過30天的試銷發(fā)

現(xiàn):第1天賣出20kg,以后每天比前一天多賣4例■.銷售價格y(元/kg)與時間x(天)之間滿足

的關(guān)系如下表：

20WA<3

時間x/天lWx<20

0

銷售價格〃(元

-0.5x+3825

/kg)

(其中,均為整數(shù))

(1)試銷中每天的銷售量p(kg)與時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式為pNx+16.

(2)銷售藍(lán)莓第幾天時，當(dāng)天的利潤曠最大,最大利潤是多少元？

(3)求試銷的30天中，當(dāng)天利潤曠不低于870元的天數(shù)共有幾天.

解：⑴pNx+16

解法提示:根據(jù)題意可得分20M(x-DNx+16.

(2)謂lWx<20時，%(4).5x+38T8)(4戶16)=-2(『18)2對68,

.:當(dāng)x=18時,w取最大值,最大值為968.

備當(dāng)20W*W30時，%(25-18)(4戶16)之8戶112,

:28萬，

.：當(dāng)戶30時,w取最大值,最大值為952.

綜上可知，第18天時，當(dāng)天的利潤最大,最大利潤為968元.

⑶媽l<x<20時，

令片870,即-2(xT8)2月68370,

解得加=11,用之5.

易知當(dāng)lWx<18時，”隨x的增大而增大,當(dāng)18W*<20時，曠隨x的增大而減小,

.:當(dāng)llWx<20時，當(dāng)天利潤，『不低于870元.

翦20<xW30時，

令28x+l123870,

解得后271，

14

?:X的整數(shù)解為28,29,30.

綜上可知,試銷的30天中，當(dāng)天利潤，『不低于870元的天數(shù)共有12天.

4.[2021湖北荊門]某公司電商平臺，在2021年五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經(jīng)

市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),某種商品的周銷售量y(件)是關(guān)于售價x(元舉)的一次函數(shù),如表僅列出了

該商品的售價x,周銷售量%周銷售利潤及(元)的三組對應(yīng)值數(shù)據(jù).

X407090

y1809030

W360045002100

(注:周銷售利潤調(diào)銷售量X(售價-進(jìn)價))

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍).

(2)若該商品進(jìn)價a元/件,售價x為多少時,周銷售利潤(最大?并求出此時的最大利潤.

(3)因疫情原因，該商品進(jìn)價提高了小元/件加并)，公司為回饋消費(fèi)者,規(guī)定該商品售價不得

超過55元為牛,且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價仍然滿足(1)中的函數(shù)關(guān)系,若周

銷售最大利潤是4050元,求加的值.

解：(1)設(shè)y=kx+b,由題意有

(70：常解得｛=300.

?:y關(guān)于x的函數(shù)解析式為片-3x+300.

(2)由(1)得春(-3x+300)(x-a),又由表可得

3600=(-3X40+300)(40-a),之0,

勺(-3x，300)(x-20)=-3x，360x-6000=-3(x-60)2掰800.

售價為60元琳時,周銷售利潤W最大,最大利潤為4800元.

⑶由題意得心-3(x-100)(x-20-必)(x<55),

該函數(shù)圖象的對稱軸為直線》與0.并0,.：06W55時上述函數(shù)單調(diào)遞增，

.：只有產(chǎn)55時周銷售利潤最大，.：4050=-3(55TOO)(55-20").

.:如=5.

5.[2021江蘇揚(yáng)州]甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租,下面是兩公司經(jīng)理的一

段對話：

)

甲公司經(jīng)理:如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000

元，那么50輛汽軍可以全部租出.如果每輛汽乍的

月租費(fèi)每增加50元,那么將少租出1輛汽仁另外,

公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元.

乙公司經(jīng)理:我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元,

無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)

G共計(jì)1850元.

說明：班車數(shù)量為整數(shù)；

②月利潤=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；

③兩公司月利潤差二月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤.

在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下,根據(jù)上述信息,解決下列問題：

(1)當(dāng)每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是48000元；當(dāng)每個公司租出的汽

車為37輛時,兩公司的月利潤相等；

(2)求兩公司月利潤差的最大值；

(3)甲公司熱心公益事業(yè),每租出1輛汽車捐出a元(a>0)給慈善機(jī)構(gòu),如果捐款后甲公司剩余

的月利潤仍高于乙公司月利潤,且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時，甲公司剩余的月利潤與

乙公司月利潤之差最大,求a的取值范圍.

解：(1)4800037

解法提示：[(50TO)X50+3000]X10-200X10-48000(x1),

當(dāng)每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是48000元.

設(shè)每個公司租出的汽車為6輛時,兩公司的月利潤相等，

由題意可得[(50-6)X50+3000]6-2003=35000-1850,

解得爐37或6=-1(不合題意,舍去).

⑵設(shè)兩公司的月利潤分別為y單,y乙,月利潤差為%每個公司租出的汽車為x輛，

貝IJ八二[(50-x)X50+3000]x-200x=-50x2拈300x,

y乙書500xT850,

結(jié)合兩函數(shù)圖象和(1)可知，當(dāng)甲公司的利潤大于乙公司時,0<Y<37.

y號甲丁乙母300X-(3500X-1850)=-50X2+1800X+1850,

當(dāng)時,利潤差最大,最大值為18050.

當(dāng)乙公司的利潤大于甲公司時,37CW50.

y=y乙-y中4500xT850-(-50x抬300x)=50%-1800xT850.

「拋物線的對稱軸為直線產(chǎn)螳=18,

.:當(dāng)"50時,利潤差最大,最大值為33150.

：*33150?18050,

.：兩公司月利潤差的最大值為33150.

(3):?捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，

.:利潤差為y=-50/+1800x+1850-ax=-50r+(1800-a)x+1850,

.：對稱軸為直線x號一.

「x只能取整數(shù),且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時，月利潤之差最大,

.：16.5型—<17.5,

解得500450.

類型2拋物線形問題

6.[2021廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)]2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運(yùn)動的極大熱

情.如圖是某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖,取某一位置的水平線為x軸,過跳臺終點(diǎn)力作

水平線的垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線Cc.y=^x^X+\近似表示滑雪場

地上的一座小山坡,某運(yùn)動員從點(diǎn)。正上方4米處的A點(diǎn)滑出,滑出后沿一段拋物線

Ci\y=-^x+bx+c運(yùn)動.

8

(1)當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到離A處的水平距離為4米時,離水平線的高度為8米,求拋物線G的函數(shù)

解析式(不要求寫出自變量x的取值范圍).

(2)在(1)的條件下，當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動的水平距離為多少米時，運(yùn)動員與小山坡的豎直距離為1

米？

(3)當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到坡頂正上方,且與坡頂距離超過3米時,求b的取值范圍.

解：(1)由題意可將/f(0,4),(4,8)代入拋物線C的解析式,得

f=x41,6+4+=8,得｛(=4,

.：拋物線C的函數(shù)解析式為尸掰.

(2)設(shè)當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動的水平距離為t米時，運(yùn)動員與小山坡的豎直距離為1米，

則號方⑷-(工，

oZ1Zo

解得￡1=12,6『(舍去).

答:當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動的水平距離為12米時，運(yùn)動員與小山坡的豎直距離為1米.

(3)G:y-^x%+1(x-14^*49)號+1T(x-7”梏，

12O1414lz12

故拋物線a的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(7,9.

由題意可得TX7,7X6M>3欄，

o12

解得喈.

類型3面積問題

7.李師傅想在自家院子里利用夾角為135°的兩面墻修建一個儲物間，即四邊形ABCD,如圖，

其中BC〃似NCR00,現(xiàn)欲在新建的墻比1上預(yù)留一個寬為2m的門￡方已知李師傅家現(xiàn)有的

磚只能修建16m長的墻，設(shè)CD=x^,四邊形/比。的面積是加L

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并注明自變量x的取值范圍.

(2)當(dāng)x取何值時,p取得最大值,最大值是多少？

解：⑴如圖，過點(diǎn)力作4G，0于點(diǎn)G則N胡GN50.

VAD//BC,ZC=90°,

?：N〃=NC-90°,

，四邊形1G切是矩形，

?：BG=AG=CD二尚,

.\AD=CG=\6+2-才一x=(18-2x)(m).

?*S四邊形ABCD=S1ABG+S矩形AGCDy

.：y^x+x(18-2x)=、+18x,其中0<Y<9.

⑵「y='￥+18x=*x~6)2傷4,

.:當(dāng)時,y取得最大值,最大值為54.

8.有一段長為30m的墻MN,用100m長的籬笆圍成如圖所示的圖形(靠墻的一邊不用籬笆,籬

笆的厚度忽略不計(jì))，其中四邊形4破/和四邊形CDHC是矩形,四邊形EBGF是邊長為10m的正

方形，設(shè)CD=xm.

(1)若矩形CW的面積為125m；求切的長;

(2)當(dāng)切長為多少時,矩形46四的面積最大,最大面積是多少？

解：(1)由題意得,3x+20+GC=100,

.：GC=80-3x,

.：BC=BG+GC=\0+80-3x=90-3x.

:,O07W3O,.：0e0-3xW30,解得20Wx<30.

S*加.=GC?3(80-3x)x=125,解得xH5,舍去)，

.:0的長為25m.

(2)設(shè)矩形4町的面積為S,則S=BJ切玄(90-3x)=-3/%0x=-3(xT5)2抬75,

.:當(dāng)x>15時,S