北師大版初三數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

北師大版初三數(shù)學(xué)上冊知識點匯總

第一章證明（二）

※等腰三角形的“三線合一”：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

※等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形分成兩個全等的

直角三角形，其中一個銳角等于30。，這它所對的直角邊必然等于斜邊的一半。

※有一個角等于60o的等腰三角形是等邊三角形。

※如果知道一個三角形為直角三角形首先要想的定理有：

①勾股定理：a2+b2=c2（注意區(qū)分斜邊與直角邊）

②在直角三角形中，如有一個內(nèi)角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（此定理將在第三章出現(xiàn)）

※金直牛分庭是垂直于一條續(xù)皮并且平分這條線段的宣統(tǒng)。（注意著重號的意義）

〈直線與射線有垂線，但無垂直平分線,

※線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。

※線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

※三角形的三邊的垂直平分線交于一點，并且這個點到三個頂點的距離相等。（如圖1所示，AO=BO=CO）

※角平分線上的點到角兩邊的距A

※角平分線逆定理：在角內(nèi)部的,一點到角兩邊的距離相等，則它在必川平分線上。

角平分線是到角的兩邊距離相：占合。

※三角形三條角平分線交拓疝,11三邊距離相等，交點艮吸燼

（如圖2所示，OD=OHOF）

三簟一元二次方C

BB

※只含有一個未知數(shù)耀式方程,?都可加t為a%2+人x+c=0（a、樹2c為

常數(shù)，aWO）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

※把4產(chǎn)+/+。=0（a、b、c為常數(shù)，aWO）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項系數(shù)；b為一次

項系數(shù)；c為常數(shù)項。

※解一元二次方程的方法：①配方法〈即將其變?yōu)椋▁+〃z）2=0的形式＞

—+A/h——4Qc

②公式法.=7——（注意在找abc時須先把方程化為一般形式）

2a

③分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公

因式”和“十字相乘”）

※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②將二次項系數(shù)化成1；

③把常數(shù)項移到方程的右邊；

④兩邊加上一次項系數(shù)的一半的平方；

⑤把方程轉(zhuǎn)化成（x+m）2=0的形式；

⑥兩邊開方求其根。

※根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b'YacX）時，方程有兩個不等的實數(shù)根；

當(dāng)bJ4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

當(dāng)b-4ac〈0時，方程無實數(shù)根。

bQ

2

※如果一元二次方程ax+bx+c=O的兩根分別為xi、X2，則有：x,+x,=—xl-x2=—,,

aa

※一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：

（1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根XI、X2的對稱式的值，特別注意以下公式：

2%+A22

①X；+%；=（X1+x2）-2x,x2（2）—+—='--?（%（-x2）=（X1+x2）-6々

X]x2x,x2

2

④|芭一821=Ja⑤（|X|\+\x2I）=（XI+%2）2-2%工2+2|玉工2?

⑥X：+%2=（玉+%2）3—3%電（玉+龍2）⑦其他能用xl+犬2或X/2表達(dá)的代數(shù)式。

（3）已知方程的兩根修、X2,可以構(gòu)造一元二次方程：/一（為+々）％+工/2=。

（4）己知兩數(shù)X1、X2的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程

2

X—（X,+X2）X+X]X2=0的根

※在利用方程來解應(yīng)用題時，主要分為兩個步驟：①設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時，大多數(shù)情況只要設(shè)問題為

X;但也有時也須根據(jù)己知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）；②尋找等量關(guān)系（一般地，題目中會含有

一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。

※處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為：問題T方程者學(xué)T解答

抽象檢驗

第三章證明（三）

※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做?行血底法，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段

叫做它的病疳線。

※平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，對角相等，對角線互相平分。

※平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這個

距離稱為平行線之間的距離。

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且四條邊都相等，兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對

角。

菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對

稱軸）

※矩形的判定：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形（根據(jù)定義）。

對角線相等的平行四邊形是矩形。

四個角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱

軸）

※正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形;

鄰邊相等的矩形是正方形;

對角線相等的菱形是正方形;

對角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系（如圖3所示）:

※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。一個內(nèi)角為直角

愛形

※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。一組鄰邊相等

（或?qū)蔷€相等

※等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底夕次寸角線卻I版相等且一個內(nèi)角為直角

正方形

同一底上的兩個內(nèi)角相等的梯形是/平行四邊形（或?qū)蔷€互相垂直平分）

一鄰邊相等

※三角形的中位線平行于第三邊矩形

※夾在兩條平行線間的平行線段相等。一內(nèi)角為直南、

或?qū)蔷€垂直

※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

第四章視圖與投影鵬翔教圖3

※三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。

三視圖之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視圖要畫在正視圖

的右邊。

主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象

俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象

左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象

※視圖中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面（平面或曲面），而相連的兩個閉合線框一定不在一個平面

上。

※在一個外形線框內(nèi)所包括的各個小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個小的平面體（或曲

面體）。

※在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。

物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是接彭。

太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為年行報影。

探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為市4報感。

※區(qū)分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。

眼睛的位置稱為初春；由視點發(fā)出的線稱為題磨；眼睛看不到的地方稱為盲它。

※從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時的投影。

①點在一個平面上的投影仍是一個點；

②線段在一個面上的投影可分為三種情況：

線段垂直于投影面時，投影為一點；

線段平行于投影面時，投影長度等于線段的實際長度；

線段傾斜于投影面時，投影長度小于線段的實際長度。

③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：

平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實際形狀；

平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；

平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實際的形狀。

第五章反比例函數(shù)

k

※反比例函數(shù)的概念：一般地，>=一（k為常數(shù)，kKO）叫做反比例函數(shù)，即y是x的反比例函數(shù)。

x

（X為自變量，y為因變量，其中X不能為零）

※反比例函數(shù)的等價形式：y是x的反比例函數(shù)*--?y=—（k力0）--->y-kxH0）---?

x

xy=k*手0）--變量y與x成反比例，比例系數(shù)為k.

※判斷兩個變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：①按照反比例函數(shù)的定義判斷；②看兩個變量的乘積

是否為定值〈即xy=k>。（通常第二種方法更適用）

※反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線

※反比例函數(shù)的畫法的注意事項：①反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點法”是不能畫的；

②選取的點越多畫的圖越準(zhǔn)確；

③畫圖注意其美觀性（對稱性、延伸特征）。

※反比例函數(shù)性質(zhì)：

①當(dāng)k>0時，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?/p>

②當(dāng)k〈0時，雙曲線的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；

③雙曲線的兩支會無限接近坐標(biāo)軸（x軸和y軸），但不會與坐標(biāo)軸相交。

※反比例函數(shù)圖象的幾何特征：（如圖4所示）

點P（x,y）在雙曲線上都有S矩形QAPB=lwl=|Z|S.OB=gl.l=g|A|||

第六章頻率與概率B|\pP/JJ

※在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做窺數(shù)；一iorp~~?—

每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的顏范即：頻率===…都￥切

數(shù)據(jù)總數(shù)實驗次數(shù)I

在頻率分布直方圖中，由于各個小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于1。因此，各個

小長方形的面積的和等于1。

※頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀。

用一件事件發(fā)生的頻率來估計這一件事件發(fā)生的概率。

可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復(fù)雜情況。

※假設(shè)布袋內(nèi)有m個黑球，通過多次試驗，我們可以估計出布袋內(nèi)隨機(jī)摸出一球，它為白球的概率；

※要估算池塘里有多少條魚，我們可先從池塘里捉上100條魚做記號，再放回池塘，之后再從池塘中捉上

200條魚，如果其中有10條魚是有標(biāo)記的，再設(shè)池塘共有x條魚，則可依照=〃-估算出魚的條

x200

數(shù)。（注意估算出來的數(shù)據(jù)不是確切的，所以應(yīng)謂之“約是XX”）

※生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它能準(zhǔn)確地衡量出事件發(fā)生的可能

性的大小，并不表示一定會發(fā)生。

北師大版初三下冊數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

第一章直角三角形邊的關(guān)系

※一.正切：

??NA的對邊

定義：在放4ABe中，銳角NA的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作tanA,即tanA=—

................……NA的鄰邊

①tanA是一個完整的符號，它表示NA的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“N”；

②tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中NA的對邊與鄰邊的比；

③tanA不表示“tan”乘以“A”;

④初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，NA是銳角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，NA越大；NA越大，梯子越陡，tanA的值越大。

※二.4裁:

定義：在RMABC中，銳角NA的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,即

NA的對邊

sinA=

斜邊

※三.余弦:

定義：在放4ABe中，銳角NA的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦,記作.SA,即

ZA的鄰邊

cosA=

斜邊

※余切:

定義：在RMABC中,銳角NA的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切，記作CSA,即

.乙4的鄰邊

※一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

Oo30o45o60o90o

sina01

（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。cosa10

tana01—

同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可

cota—10

以概括為：一個銳角的三角函數(shù)等于它

的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若NA為銳角，則

①sinA=cos(90°-ZA);cosA=sin(90°-ZA)

②tanA=cot。Op-ZA);coM=tan(9(P-ZA)

※當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線

所成的銳角稱為疝扁

※當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成

的銳角稱為扁福

※利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，（1）當(dāng)

角度在0°?90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。挥嘞抑?、余切值隨

著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?。（2）0WsinaWl,OWcosaWl。視域

※同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：|

倒數(shù)關(guān)系：tga?ctga=l。鉛|

※在直角三角形中，除直角夕胸的莢雕勉口素工或膝邊彤！悻耀為直角海峻那靜外的且雙平線

元素，求出所有未知元素的填程，叫微解直角三角施，3nQ!線

軍方關(guān)菜：Sila+COS2a=1.

◎在aABC中，NC為直角，NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c|頊!|有、艇

⑴三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2;

（2）兩銳角的關(guān)系：ZA+ZB=90°;

（3）邊與角之間的關(guān)系:

⑷面積公式:SA=；ab=gchc（he為C邊上的高）;

a+h-c

（5）直角三角形的內(nèi)切圓半徑r=

2

1

（6）直角三角形的外接圓半徑R—c

2

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如F：

◎從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3,OA、0B、

0C的方位角分別為45°、135°、225°。

◎指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方回角。如圖4,OA、

OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°,南偏東45°（東南方向）、南偏西為60°,

北偏西60°。

第二章二次函數(shù)

※二次函數(shù)的概念：形如y=a幺+kr+c（a、、6、是常數(shù)a。0）的函數(shù)，叫做x的三次鹵數(shù)。自變量

的取值范圍是全體實數(shù)。y=a￡（aH0）是二次函數(shù)的特例，此時常數(shù)b=c=O.

※在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定由交

筌的取宿知國。

※二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條頂點在原點關(guān)于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做脈的殖。

描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線與x軸的交點

等方面來描述。

①函數(shù)的定義域是全體實數(shù)；

②拋物線的頂點在（0,0）,對稱軸是y軸（或稱直線x=0）。

③當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)aVO時，拋物線開口向下，

并且向下方無限伸展。

④函數(shù)的增減性：

A止c?（XWO0寸,V隨X增大而減小D也H寸,y隨X增大而增大

A、當(dāng)a>0時4B、當(dāng)a<0時4

時,y隨X增大而增大時,y隨X增大而減小

⑤當(dāng)Ia|越大，拋物線開口越小；當(dāng)|a|越小，拋物線的開口越大。

⑥最大值或最小值：當(dāng)a〉0,且x=0時函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a<0,且x=0時函數(shù)有最大值，最

大值是0.

※二次函數(shù)y=a%2+c的圖象是一條頂點在y軸上且與y軸對稱的拋物線

bh4/7A*—h~

※二次函數(shù)y=/+"+c的圖象是以工=-白為對稱軸，頂點在（-白，）的拋

2a2a4a

物線。（開口方向和大小由a來決定）

※間的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越

快；|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠(yuǎn)離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速

度越慢。

※二次函數(shù)y=+c的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線的開口程

度大小，c決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低。

※二次函數(shù)y=aW+bx+c的圖象與y=ax?的圖象的關(guān)系：

y=+0x+c的圖象可以由y=ax?的圖象平移得到，其步驟如下：

①將y=+bx+c配方成y=a（x-〃）2+%的形式；（其中卜=-二，kJ"：.）;

2a4a

②把拋物線y=向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個單位，得到y(tǒng)=a（x-h）2的圖象；

③再把拋物線y=a（x-〃了向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個單位，便得到y(tǒng)=a（x-〃）2+Z

的圖象。

※二次函數(shù)y=ax2+"x+c的性質(zhì)：

二次函數(shù)丁=?！?人工+。配方成>；=.（X+5）2+等盧則拋物線的

①對稱軸：x=-二②頂點坐標(biāo)：（,A,如士）

2a2a4a

③增減性：若a>0,貝！J當(dāng)x<-2時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>—2時，y隨x的增大

2a......2a-

而增木。.

若a<0,貝當(dāng)x<—2時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x〉-2時，y隨x的增

2a......2a'

大而減小。

④最值：若a>0,貝IJ當(dāng)x=_§時，>最小=當(dāng)心1；若a<0,貝I」當(dāng)x=3時，>="二匕

2a4。2a4a

※畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象:

我們可以利用它與函數(shù)y=的關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的描點

法--五點法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：

①先找出頂點（_2,,畫出對稱軸x=-2；

2a4a2a

②找出圖象上關(guān)于直線x=-2對稱的四個點（如與坐標(biāo)的交點等）；

2a

③把上述五點連成光滑的曲線。

。二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a（x-h）2+k的形式求得,也可以借助

圖象觀察。

。解決最大（?。┲祮栴}的基本思路是：

①理解問題；

②分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系；

③用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系；

④做數(shù)學(xué)求解；

⑤檢驗結(jié)果的合理性、拓展性等。

※二次函數(shù)y=+》x+c的圖象（拋物線）與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)xi,x2是對應(yīng)一元二

次方程a^+bx+c^O的兩個實數(shù)根

※拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

b--4ac>0<===>拋物線與x軸有2個交點；

4ac=0<===>拋物線與x軸有1個交點；

〃一4ac<0<===>拋物線與x軸有0個交點（無交點）；

※當(dāng)4ac>0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點為A、B,則這兩個點之間的距離：

化簡后即為：々"2一------這就是拋物線與x軸的兩交點之間的

1?|

距離公式。

第三章圓

一.車輪為什么做成圓形

XL圓的定義：

描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A

隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做畫；固定的端點。叫做網(wǎng)心；線段0A叫做

半餞；以點。為圓心的圓，記作。0,讀作“圓0”

集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做網(wǎng)心，定長叫

做阿的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓

叫做足網(wǎng)。

對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即

定長）。

派2.點與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：

如果圓的半徑為r,點到圓心的距離為d,則

①點在圓上<===>d=r;

②點在圓內(nèi)<===>d〈r;

③點在圓外〈===>d>r.

其中點在圓上的數(shù)量特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個

點與一個定點、的距離相等。

二.圓的對稱性：

XI.與圓相關(guān)的概念：

①弦和直徑：

弦：連接圓上任意兩點的線段叫做強(qiáng)。

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直在。

②弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧：

?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓班，簡稱就，用符號…表示，以CD為端點的弧記為

“CZ）”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。

半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做車面。

優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)疝。

劣弧：小于半圓的弧叫做務(wù)冰。（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。）

③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做官舷。

④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做向心血。

⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。

⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做窖械。

⑦圓心角：頂點在圓心的角叫做向公扁.

⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做我心隹.

派2.圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。

派3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧。

上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。

派4.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相

等。

推論:在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量

相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

三.圓周角和圓心角的關(guān)系：

派1.1°的弧的概念:把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的角都是1°的圓心角，

相應(yīng)的整個圓也被等分成360份，每一份同樣的弧叫1°弧.

派2.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.

這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等，而不是角與弧相等.即不能寫成NAOB=，豌錯誤

的.

派3.圓周角的定義：

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角.

派4.圓周角定理：

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

※推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也

相等；

※推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；

※四.確定圓的條件：

X1.理解確定一個圓必須的具備兩個條件：

圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.

經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓，經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分

線上.

派2.經(jīng)過三點作圓要分兩種情況：

(1)經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓.

(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點，能且僅能作一個圓.

※定理:不在同一直線上的三個點確定一個圓.

派3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形:經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外

接圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

(2)三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.

(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點的距離相等.

五.直線與圓的位置關(guān)系

XI.直線和圓相交、相切相離的定義：

⑴相交:直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線.

⑵相切:直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共

點做切點.

(3)相離:直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.

派2.直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：

設(shè)。0的半徑為r,圓心0到直線的距離為d;

①d<r<===>直線L和。O相交.

②d=r<===>直線L和0O相切.

③d>r<===>直線L和。O相離.

派3.切線的總判定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.

派4.切線的性質(zhì)定理：

圓的切線垂直于過切點的半徑.

※推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

※推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

※分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得如下結(jié)論：

如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個.

①垂直于切線;②過切點；③過圓心.

派5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角

形叫做圓的外切三角形.

派6.三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.

(2)過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線:連接內(nèi)心和三角形的頂點，該線平分三角形的這個內(nèi)角.

六.圓和圓的位置關(guān)系.

※上外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.

(1)外離:兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.

(2)外切:兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個

圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.

(3)相交:兩個圓有兩個公共點，此時叫做這個兩個圓相交.

(4)內(nèi)切:兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓

內(nèi)切.這個惟一的公共點叫做切點.

(5)內(nèi)含:兩個圓沒有公共點,并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)

的一個特例.

派2.兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定：

(1)兩圓外離<===>d>R+r

(2)兩圓外切<===>d=R+r

(3)兩圓相35<===>R-r<d<R+r(R^r)

(4)MI3IW<===>d=R-r(R>r)

(5)兩圓內(nèi)含<===>d<R-r(R>r)

派3.相切兩圓的性質(zhì)：

如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.

派4.相交兩圓的性質(zhì)：

相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

七.弧長及扇形的面積

派1.圓周長公式：

圓周長C=2%R(R表示圓的半徑)

派2.弧長公式：

弧長/=?變(R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù))

1o()

派3.扇形定義：

一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

派4.弓形定義：

由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.

派5.圓的面積公式.

圓的面積S=成？(R表示圓的半徑)

派6.扇形的面積公式：

—

扇形的面積S扇形-(R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù))

360

※弓形的面積公式:(如圖5)

(產(chǎn)嬴啊是劣弧三角形

(詈粉溶對是優(yōu)弧弓形金5扇形,三角形

(3)加額/弧是半圓時，/F輸2二s扇形

圖52

八.圓錐的有關(guān)概念：

XI.圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形，另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成

的面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.

派2.圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算：

圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心

是圓錐的頂點.

如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長（扇形半徑）是1,底面圓周長（扇形弧長）為c,那么它的側(cè)面積是：

S側(cè)=—cl=—?2ml=jrrl

22A

0九.與圓有關(guān)的輔助線

1.如圓中有弦的條件，常作弦心距，或過弦的一端作半徑為輔助線./y-

2.如圓中有直徑的條件，可作出直徑上的圓周角.|°_______）

3.如一個圓有切線的條件，常作過切點的半徑（或直徑）為輔助線.1

4.若條件交代了某點是切點時，連結(jié)圓心和切點是最常用的輔助線.

0十.圓內(nèi)接四邊形

若四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個圓叫做這個四邊卷的外接圓.

圓內(nèi)接四邊形的特征:①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；