不等式知識點及題型總結(jié)

不等式

一、知識點:

1.實數(shù)的性質(zhì)：

a>boa—b>0;a<ba—h<0;a=h<^>a—h=O.

2.不等式的性質(zhì)：

質(zhì)容

稱性a>b<^>b<a,a<b<^>h>a.

遞性a>力且Z?>c=>a>c?

法性質(zhì)a>〃=a+c>〃+c;a>b且c>d=a+c>b+d.

法性質(zhì)a>b,c>0=>ac>be;a>h>0,且c>d>0=>ac>仇/>0?

方、開方性質(zhì)>。>0,〃wN*=>。〃>。"；a>b>0,neN*=>\[a>y/b.

>/,?,?/?,>0八=>—1<—1.

倒數(shù)性質(zhì)ab

3.常用基本不等式:

件論的條件

=Ra?>0a=0

72、C7i//a+b、）cr+b~a-^-b2a

eR,b^Ra-+b>lab,ab<（―^—）',--->（^^）~-b

::本不等式：a-vb>2\[ab

>0,Z?>0-b

見變式：-+->2;a+->2"

aba

\a2+b2

>0,ft>0i~T~a-b

+

ab

4.利用重要不等式求最值的兩個命題：

命題1：已知a,b都是正數(shù)，若ab是實值P,則當a=b=不時，和a+b有最小

值2萬.

命題2：已知a,b都是正數(shù)，若a+b是實值S,則當a=b=1時，積ab有最大

值二

旦4

注意：運用重要不等式求值時，要注意三個條件：一“正”二“定”三“等”,

即各項均為正數(shù)，和或積為定值，取最值時等號能成立，以上三個條件缺一不可.

5.一元二次不等式的解法：設(shè)a>0,X1X2是方程ax2+bx+c=0的兩個實根，且Xi

WX2,則有

>0二0<0

J,Q、

象\\o

L

AAx0X1x—

xi2----------?x

:2+bx+c=0的解:Xi或X—X2：Xi=X2=—b/2a實數(shù)解

2

+bx+c>0解集IX<X1或x>x2}x=Axi}

2

:+bx+c<0解集IX1<X<X2}

2a<

結(jié)論：ax2+bx+c>0<^|?>o或”0檢驗；ax+bx+c<0<^><^或a=0檢驗

\b~-4ac<0b2-4ac<0

6.絕對值不等式

(1)IxI<a(a>0)的解集為：｛x|—a<x<a)；

Ix|>a(a>0)的解集為：｛x|x>a或xV—a｝。

(2)\\a\-\b\\<\a+b\^a\+\b\

7.不等式證明方法：

基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法

輔助方法：換元法(三角換元、均值換元等)、放縮法、構(gòu)造法、判別式法

特別提醒：不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答

題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，最常用的思路是用分析法探求證明途徑，再用綜

合法加以敘述。我們在利用不等式的性質(zhì)或基本不等式時要注意等號、不等號成立

的條件。

例：解下列不等式：

(1)%2-7x+12>0;(2)-X2-2^+3>0;

(3)x2—2x+l<0;(4)x2-2x+2<0.

解：(1)方程7x+12=0的解為辦=3,々=4.根據(jù)y=/—7x+12的圖象,可得原

不等式%2-7%+12>0的解集是｛x|x<3或x>4｝.

(2)不等式兩邊同乘以一1,原不等式可化為M+2x-3<0.

方程爐+2工一3=0的角星為％=—3,%2=1.

根據(jù)y=x2+2x-3的圖象，可得原不等式-%2-2%+320的解集是｛x|-3KxWl｝.

(3)方程/-2%+1=0有兩個相同的解％=尤2=1.

根據(jù)y=f-2x+l的圖象，可得原不等式-2x+l<0的解集為0.

⑷因為△<(),所以方程f—2x+2=0無實數(shù)解，根據(jù)y=f一2x+2的圖象，可得

原不等式%2-2x+2<0的解集為0.

練習1.(D解不等式=<0；(若改為土040呢？)

x+7x+7

（2）解不等式生口<1；

x+7

解：⑴原不等式或f+7<x<3}

[x-3<0[x-3>0

（該題后的答案：{x|-7<x<3}）.

（2）士竺<0即.?.{x|—7<x<10}.

x+7

8、線性規(guī)劃問題的解題方法和步驟

解決簡單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，即借助直線（線性目標函數(shù)看作斜率

確定的一族平行直線）與平面區(qū)域（可行域）有交點時，直線在y軸上的截距的最

大值或最小值求解。它的步驟如下：

（1）設(shè)出未知數(shù)，確定目標函數(shù)。

（2）確定線性約束條件，并在直角坐標系中畫出對應的平面區(qū)域，即可行域。

（3）由目標函數(shù)z=ax+by變形為y=—qx+Z,所以，求z的最值可看成是

bb

求直線y=-3x+]在y軸上截距的最值（其中a、b是常數(shù)，Z隨X,y的變化而

bb

變化）。

（4）作平行線：將直線ax+by=0平移（即作ax+by=0的平行線），使直線

與可行域有交點，且觀察在可行域中使：最大（或最?。r所經(jīng)過的點，求出該點

的坐標。

（5）求出最優(yōu)解：將（4）中求出的坐標代入目標函數(shù)，從而求出z的最大（或

最?。┲怠?/p>

9、在平面直角坐標系中，已知直線—+8.丫+。=0,坐標平面內(nèi)的點PG”％）.

①若B>0,Axo+Byo+C>O,則點「（工,%）在直線Ax+By+C=0的上方.

②若B>0,Axo+Bjo+C<O,則點P（Xo，y。）在直線Ax+By+C=0的下方.

10'在平面直角坐標系中，已知直線人+8丁+。=0.

①若B>0,貝l]'+By+C>°表示直線Ax+B），+C=°上方的區(qū)域；Ax+B），+C<°表

示直線Ar+B），+C=0下方的區(qū)域.

②若B<0,貝|jAr+By+C>0表示直線Ar+B），+C=。下方的區(qū)域；Ar+B），+C<0表

示直線Ar+By+C=0上方的區(qū)域.

11、最值定理

設(shè)X'y都為正數(shù)，則有

⑴若x+y=s(和為定值)，貝I］當x=)時積q取得最大值?

(2)若所p(積為定值)，則當x=〃寸,和x+y取得最小值歷.

即：“積定，和有最小值；和定，積有最大值”

注意：一正、二定、三相等

幾種常見解不等式的解法

重難點歸納

解不等式對學生的運算化簡等價轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向

能力立意的進一步轉(zhuǎn)化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面

幾個問題

(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法

(2)掌握用零點分段法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方

法

(3)掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數(shù)和對數(shù)不等式的幾種基本類

型的解法

(4)掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法

(5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉(zhuǎn)

化為易解的不等式

(6)對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論

典型題例示范講解

例1：如果多項式/(X)可分解為〃個一次式的積，則一元高次不等式/。)>0(或

/UXO)可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況.

當分式不等式化為緇〈。域三。)時，要注意它的等價變形

①爵。

②爵。叱或符0=…期”)<°

用“穿根法”解不等式時應注意：①各一次項中x的系數(shù)必為正；②對于偶次

或奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶

不穿”，其法如下圖.

不等式左右兩邊都是含有X的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0

再解.

例：解不等式：(1)2X3-x2-15x>0;(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0.

解：(1)原不等式可化為

x(2x+5)(x—3)>0

把方程x(2x+5)(x-3)=0的三個根玉=0,超=-1,芻=3順次標上數(shù)軸.然后從右上

開始畫線順次經(jīng)過三個根，其解集如下圖的陰影部分.

.，原不等式解集為［x|--1<x<>31

(2)原不等式等價于

(x+4)(x+5)2(x—2)3>0

x+5w0

0(x+4)(x-2)〉0ox<-4^cx>2

原不等式解集為{小<-5或-5cx<-4或r>2}

解下列分式不等式：

尸一4x+1

———:------<1

3X2-7X+2

(1)解：原不等式等價于

------<-------0-----------------<0

x—2x+2x—2x+2

03(x+2)-x(x■-2)<00-X、+5x+6<0

(x-2)(x+2)(x-2)(%+2)

(九一6)(x+1)-6)(x+l)(x-2)(x+2)>0

(x-2)(x+2)[(x+2)(x-2)w0

用“穿根法”

「.原不等式解集為(―,-2)D[-1,2)D[6,+0°)°

(2)解法一：原不等式等價于fRo

3/—7X+2

<?(2x2-3x+l)(3x2-7x+2)>0

2X2-3X+1>02X2-3X+1<0

3X2-7X+2>03d-7尤+2<0

=*<一或一<*<1或%>2

32

...原不等式解集為(-8,；)D(g,l)U(2,+oo)。

解法二：原不等式等價于萼里口>0

(3x-l)(x-2)

o(2x-l)(x-l)(3x-1)?(x—2)>0

用“穿根法”

原不等式解集為(-oo,g)5g1)c(2,+oo)

例2：絕對值不等式，解此題的關(guān)鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有兩種

方法：一是根據(jù)絕對值的意義時=°)

［―a(a<0)

二是根據(jù)絕對值的性質(zhì)：Wv〃。<%<。,曲2=因此本題有如下

兩種解法.

例：解不等式,-4|<%+2

解：原不等式等價于一(x+2)<-4<x+2

口門—4<x+2.—2<x<3,,

即《，?/一故l<x<3.

x-4>-(x+2)［x>iMx<-2

例3:已知尸(x)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，且尸⑴=1,若勿、佗［-1,

1］,一〃?。時/(⑼+/(")>0

m+n

(1)用定義證明Hx)在［-1,1］上是增函數(shù)；

(2)解不等式f(A+l)<f(-L)；

2x—1

⑶若大(x)WF—2at+1對所有［—1,1］恒成立，求實

數(shù)七的取值范圍

命題意圖本題是一道函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目，考查學生的分析能力與化

歸能力

知識依托本題主要涉及函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，而單調(diào)性貫穿始終，把所求

問題分解轉(zhuǎn)化，是函數(shù)中的熱點問題；問題的要求的都是變量的取值范圍，不等式

的思想起到了關(guān)鍵作用

錯解分析(2)問中利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式時，X1-1G［-1,1］,-Le［-

2x-1

1,1]必不可少，這恰好是容易忽略的地方

技巧與方法(1)問單調(diào)性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式

是關(guān)鍵，(3)問利用單調(diào)性把H*)轉(zhuǎn)化成“1”是點睛之筆

(1)證明任取Xi〈X2,且X?e[—1,1],貝I]HM)—F(X2)=尸(M)+尸(一

及)=/(內(nèi))+'(-々).(必一及)

x{-x2

-1WM,

:.x+(—X2)HO,由已知八占)+/(-巧)>0,又對一X2<0,

X]-X2

：.f(x)—f(x3V0,即Hx)在[-1,門上為增函數(shù)

⑵解.."(x)在[—1,1]上為增函數(shù)，

-I<x+-<1

2

<__!_<]解得{x|——1,x￡R}

x—12

(3)解由⑴可知人(x)在[-1,1]上為增函數(shù)，且尸(1)=1,

故對[-1,1],恒有尸(x)W1,

所以要尸(x)WF—2at+1對所有x￡[―1,1],ae[-1,1]恒成立，即要

t2-2at+121成立，

故2餐20,記g(a)=F—2a七，對[―1,1],g(a)20,

只需g(a)在[—1,1]上的最小值大于等于0,g(—1)20,g(1)N0,

解得，反一2或夕0或2，2

的取值范圍是{2"W—2或片0或t^2]

例4：設(shè)不等式2a//2W0的解集為肌如果牝[1,4],求實數(shù)a的取

值范圍。

命題意圖考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系

知識依托本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間

的關(guān)系，以及分類討論的數(shù)學思想

錯解分析歸。是符合題設(shè)條件的情況之一，出發(fā)點是集合之間的關(guān)系考慮是

否全面，易遺漏；構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面'合理，易出錯

技巧與方法該題實質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次

不等式'二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在；數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗

解論[1,4]有硼情況其一是游0,此時/V0;其二是股0,此時

4=0或/>0,分三種情況計算a的取值范圍

設(shè)尸(x)=x?—有/=(-2a)2—(4a+2)=4(a2—a—2)

(1)當/V0時，-1VaV2,佐00[1,4]

(2)當』=0時，平一1或2

當廣一1時生{一1}a[1,4]；當廣2時，燈⑵0[1,4]

(3)當/>0時，aV—1或a>2

設(shè)方程Hx)=O的兩根X,X2,且XVX2,

那么游[必,X2]，牝[1,4]=1WXVX2W4=]⑴〉：,素4)：()

[1<6f<4,HA>0

-。+3〉0

即卜8-74>0解得2VaV竺，

a>07

。<一1或。>2

...牝[1,4]時，a的取值范圍是(一1,畢

例5:解關(guān)于x的不等式小心

x—2

解原不等式可化為ST）x+（2i）>0,

x—2

①當a>1時，原不等式與（x—*）（x—2）>0同解

a-\

_J_TQ-2{1./

由于---=1-----<1<2

a-\a-1

.，原不等式的解為（-8,匕）U（2,+OO）

。一1

②當a<1時，原不等式與（x—巴必?）（x—2）V0同解

a-\

由于巴N=i--一，

。-1a-\

若aVO,空工=1-一匚<2,解集為（匕，2）；

a-\a-\a-1

若A0時，竺2=1一」_=2,解集為0;

a-ia-1

若0VaV1,竺2=1_」->2,解集為（2,佇2）

a-\。一1。一1

綜上所述當a>1時解集為（一8,匕）U（2,+8）；當0<a<1時，解集

a-1

為（2,?。划擪0時，解集為0;當aVO時，解集為（佇工，2）

a-1a-1

例6設(shè)機CR,解關(guān)于X的不等式m2x2+2fnx—3<0.

分析：進行分類討論求解.

解：當帆=。時，因-3<0一定成立，故原不等式的解集為R.

當wwO時，原不等式化為（如+3）（如-1）<0;

當機>0時，解得-』<冗<，；

mm

當相<0時，解得工<x<~—-

mm

..?當機>0時，原不等式的解集為1

當相<0時，原不等式的解集為［x

mm

說明：解不等式時，由于機eR,因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因

為當機=0時，原不等式化為-3<0,此時不等式的解集為R,所以解題時應分帆=0與

“#0兩種情況來討論.

在解出-3=0的兩根為X[=-』，x,=’后，認為-』<工，這也是易出現(xiàn)

tnmmm

的錯誤之處.這時也應分情況來討論：當機>()時，-aj；當,"0時，

mmmm

例7解關(guān)于K的不等式底工a1>1-x(tz>0).

分析：先按無理不等式的解法化為兩個不等式組，然后分類討論求解.

2ax-a2>0,「

解：原不等式0(1),1720,或⑵]2*一°-0,

0、1—x<0.

2ax-a~>(1-x)2;

a

x>—,

2>a_

由a>0,得：⑴=,x41,⑵。「一2，

x2-2(a+\)x+a2+\<0;5>1.

由判別式A=4(a+1)2-4(a2+1)=8(7>0,故不等式x2-2(。+l)x+/+1<0的解是

a+]-42a<x<a+]+y[2a.

當0<aW2時，—<a+\-41a<1,a+\+42a>1,不等式組⑴的解是a+l-V^<xWl,

2

不等式組⑵的解是x>l.

當心2時，不等式組⑴無解，(2)的解是幺.

2

綜上可知，當0“42時，原不等式的解集是[。+1-而,+8)；當a>2時，原不等

式的解集是[呈+oo)

說明：本題分類討論標準“0<a<2,a>2”是依據(jù)“已知a>0及⑴中、>會

x<l\⑵中Y，x>l'”確定的.解含有參數(shù)的不等式是不等式問題中的難點,

也是近幾年高考的熱點.一般地，分類討論標準(解不等式)大多數(shù)情況下依“不

等式組中的各不等式的解所對應的區(qū)間的端點”去確定.

本題易誤把原不等式等價于不等式2公-a2>（.x）.糾正錯誤的辦法是熟練掌握

無理不等式基本類型的解法.

例8解關(guān)于x的不等式%2-（a+a2）x+a3>o.

分析：不等式中含有字母“，故需分類討論.但解題思路與一般的一元二次不

等式的解法完全一樣：求出方程――（〃+/）%+/=0的根，然后寫出不等式的解，但

由于方程的根含有字母“，故需比較兩根的大小，從而引出討論.

解：原不等式可化為（》-4）（3-/）>0.

⑴當（即。>1或0<0）時,不等式的解集為：

^A-|x<axSx>a2};

（2）當〃>/（即o<"i）時，不等式的解集為：

{x|x<a2或x>a};

⑶當“=/（即。=0或1）時，不等式的解集為：

說明：對參數(shù)進行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開始就對

參數(shù)加以分類、討論.比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根玉=",

因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根.但°與/兩根的大小不能確定，因此

需要討論a>a2,4=/三種情況.

例9不等式ax2+bx-2<0的解集為{x\-l<x<2},求“與〃的值.

分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為{x|-1<X<2},不等式

蘇+區(qū)一2<0需滿足條件,A>0,ax2+Zzx-2=0的兩根為玉=-1,々=2.

解法一：設(shè)加+陵-2=0的兩根為玉，x2,由韋達定理得:

bb[.

X|+%2=------一=-1+2

a由題意:a

2

x-x=——-=-1x2

}2aa

a=l,b=-1,此時滿足a>0,△=〃_4"(—2)>0.

解法二：構(gòu)造解集為｛x|-1<X<2｝的一元二次不等式：

(x+l)(x-2)<0,即—x—2<0,此不等式與原不等式欠2+反一2<0應為同解不等式,

故需滿足:

ab-2

T??a=\,b=—\.

說明：本題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關(guān)系，同時還考查逆向

思維的能力.對有關(guān)字母抽象問題，同學往往掌握得不好.

例10解關(guān)于.I的不等式CIX^一(。+1)X4-1<0.

分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式的解法，因為含有字母系數(shù),

所以還考查分類思想.

解：分以下情況討論

(1)當4=0時，原不等式變?yōu)椋骸獂+l<09x>\

⑵當“0時，原不等式變?yōu)椋?1)<0①

①當々<0時，①式變?yōu)?%-—)(x-l)>0，.二不等式的解為了>1或

aa

②當a>0時，①式變?yōu)?x」)(x-1)<0.②

a

1=上衛(wèi)，...當0<a<l時，工>1,此時②的解為1<X<L當0=1時，1=1,此

aaaaa

時②的解為,<X<1.

a

說明：解本題要注意分類討論思想的運用，關(guān)鍵是要找到分類的標準，就本題

來說有三級分類:

(7=0

a<0

aeR<0<tz<l

。工0<

a>0<a=\

a>1

分類應做到使所給參數(shù)。的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不

漏.另外，解本題還要注意在討論”0時，解一元二次不等式--（a+l）x+l<0應首選

做到將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解.

例11解不等式y(tǒng)lx2-3A-10>8-x.

分析：無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件,

一般情況下，"而wg（x）可轉(zhuǎn)化為773>g（x）或77B=g（x）,而V7面>g（x）等價于:

/U)>0

/?>0

或<g(x)>0

g(x)<0

解：原不等式等價于下面兩個不等式組:

8-x>0

8—x<0

②'X2-3X-10>0

X2-3X-10>0

X2-3X-10>(8-X)2

x>8

由①得x>8

x25或x4-2

x<8

由②得二x>5Wcx<-2上9

13

74

x>—

13.

所以原不等式的解集為［x|^<xW8或x>8},即為卜

說明：本題也可以轉(zhuǎn)化為"而飛㈤型的不等式求解，注意:

[/(x)>0

"(X)4g(x)=,g(x)2o

/(x)<[g(x)]2

例12.已知關(guān)于X的不等式x2-nvc+n〈0的解集是｛幻-54x41｝,求實數(shù)之值.

解：?.?不等式%2-如c+〃W0的解集是｛x|-5KxWl｝

x]=-5,X2=1是*一如+〃=0的兩個實數(shù)根,

—5+1=m[m=-4

???由韋達定理知:

—5xl=〃[T?=-5

練習.已知不等式方之+bx+c>o的解集為｛工|2〈]〈3｝求不等式52-區(qū)+。>0的解

集.

b=-5a

解：由題意2x3--,即(c=6a.

a

a<0

a<0

代入不等式ex2一灰+a>0得：6ox2+5ox+。>0（。<0）.

BP6x2+5x4-1<0,?.?所求不等式的角星集為｛x|-g<x<-g｝.

不等式練習

(x+l)2(x<-l)

1設(shè)函數(shù)f(x)=.2x+2(-l<x<l)已知Ha)>1,則a的取值范圍是()

A(—8,—2)U(--,+8)B(-1,1)

222

C(—8,-2)U(-1,1)D(-2,-1)U(1,+8)

22

2已知尸(x)、g(x)都是奇函數(shù)，Hx)>0的解集是(a?,6),g(x)>0的解集

是弓，霜則Hx)-g(x)>。的解集是----------

3已知關(guān)于x的方程sin?**2cosA+a=O有解，則a的取值范圍是

4已知適合不等式|x?—4A+Q|+|X—3|W5的x的最大值為3

⑴求「的值；

⑵若Hx):反二1,解關(guān)于x的不等式尸(x)>1嗚,但(AGR*)

p+11k

5設(shè)尸(x)=ax^+bA+c,若尸(1)=1,問是否存在a、b、cGR,使得不等式:

2

f+_LwHx)W2x?+2/3對一切實數(shù)x都成立，證明你的結(jié)論

22

6已知函數(shù)尸(x)=x2+℃+q,對于任意6￡R,有五(sin6)WO,且Hsin8+2)

22

⑴求P、q之間的關(guān)系式；

⑵求夕的取值范圍；

(3)如果/'(sin6+2)的最大值是14,求。的值并求此時尸(sin6)的最小值

7解不等式IOga(x—■L>1

X

8設(shè)函數(shù)/Xx)=才滿足條件當x￡(—8,0)時，尸(*)>1；當x￡(0,11時,

不等式f(3mx—1)>f^+mx—x)>尸(/2)恒成立，求實數(shù)勿的取值范圍

參考答案

1解析由/U)及Ha)>1可得

a>\

a<-l①或信:吃

②或1③

(a+l)2>1——1>1

4

解①得eV—2,解②得一；VaV1,解③得x￡0

二.a的取值范圍是(一8,-2)U(-1,1)

答案C

2解析由已知6>a2；Hx）,g（x）均為奇函數(shù)，

.2

.."（X）VO的解集是（一九一才），3（X）〈0的解集是（一*《）

由尸（X）-g（x）>0可得

a1<x<b-b<x<-a1

/(x)>0J/(x)<0

g(x)>0,[g(x)<0'，即a~b或ba2

——<x<———<x<------

2222

”r，一力

答案（才，|）U（-|,-a2）

3解析原方程可化為cos)—2cosx—a—1-0,令t=cosx,得t2—21—a—

仁0,原問題轉(zhuǎn)化為方程F—22一a—1=0在［—1,1］上至少有一個實根

令fS="2La—1,對稱軸￡1,

畫圖象分析可得解得E-2,2］

答案[-2,2]

4解(1).?.適合不等式|>2—4對Q|+|X—3|W5的x的最大值為3,

---x—3W0,|x—31-3—x

若4對夕|=-f+4x—.則原不等式為寸一3戶62N0,

其解集不可能為｛x|x43｝的子集，.二|x—4A+P\-X—4A+P

「?原不等式為x—4A77^3—xWO,即x—5x+p—2W0,

令x—5/P一2-(x—3)(x—ni),可得/ZF2,后8

1

(2)f(x)=^l,f-(x)=log8i^(-1<%<1),

8+11-x

,有Iog8巨式>Iog8±Hlog8(1~x)<logs/r,1~x<k,'.x>\~k

1-xk

—1<x<1,〃￡R*,.■.當0V6V2時,原不等式解集為｛x|1—〃VxV1｝；當

時，原不等式的解集為｛x|-1VxV1｝

5解由尸(1)=g得的什c=g,令必4=2*2+2**==-1,

由尸(x)W2x?+2對。推得

22

由尸(x)》必》推得f(—1)^―,f(—1)--,.,.a—b^cF—,

2222

故2(a+c)=5,且ZJ=1,f(x)-ax+x+(-—a)

22

依題意ax+x+(.--a)^x2+-M一切x￡R成立，

22

aW1且/=1—4(a—1)(2—a)WO,得(2a—3)?W0,

2

易驗證.-x+x+1W2X?+2A+。對x￡R都成立

22

.，存在實數(shù)k］,后1,c-1,

2

使得不等式X。!WHx)W2X42A+3對一切x￡R都成立

22

6解(1)—1W