初中數(shù)學正弦綜合強化練習1

初中數(shù)學正弦綜合強化練習1

學校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.如圖，AMC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinB的值為（）

3

2.在放AABC中，/C=90o,AB=2,BC=-,貝UsinB的值是（）.

2

n4將

L.----\-）?---

4.如圖，在心AACB中，NC=90°,sinB=0.5,若AC=6,則8c的長為（）

A.8B.12C.6方D.126

5.如圖，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（）

Vio

B.rVz*----

510

6.如圖，在4x5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,△A8C的頂點都在這

些小正方形的頂點上，那么sin/ACB的值為（）.

7.在RAABC中，zC=90°,〃、b、c分別是乙4、乙B、4c的對邊，貝U（）

.Aa一4a八.門b—八a

A.sinA=—B.cosA=—C.sinn=—D.tann=—

bccb

8.如圖，在R/A45C中，CD是斜邊AB上的高，ZAr45。，則下列比值中不等于

sinA的是（）

A,0BDCBcCD

nB.----C.D.----

ACCB~ABCB

二、填空題

9.如圖，點C在線段AB上，且AC=2BC,分別以AC、8c為邊在線段AB的同側(cè)

作正方形ACDE、BCFG,連接EC、EG,貝ljsin/CEG=

10.如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，AD1AC,ZBAD=ZC,BD=2,CD=

6,那么tanC=

11.如圖1,鄰邊長為2和6的矩形分割成①，②，③，④四塊后，拼接成如圖2不

重疊、無縫隙的正方形A8CQ,則圖2中cosa的值為,圖1中EF的長為

圖1

圖2

12.如圖，若點A的坐標為(1,6)，則sin/1

13.如圖，在矩形ABCO中，點E在邊上，△8EC與AFEC關于直線EC對稱，點

B的對稱點尸在邊AO上，G為CD中點，連結BG分別與CE,b交于M,N兩點，若

BM=BE,MG=1,則BN的長為,sinNAFE的值為.

aFD

14.如圖，已知在MAABC中，ZACB=90°,AC=1,AB=2,貝iJsinB的值是

15.如圖，RhABC中，ZACB=90°,。是AC上一點，連接BO,將AABC沿BD翻

4

折，點C落在A3邊的點C'處，連接CC'.若45=15,sinA=-,則CC長.

A

D

B

16.在AABC中，ZC=90°,若tanA=g,則sinB=

三、解答題

17.如圖，四邊形A8CC中，對角線AC,8。有交點，且/4BC+NAOC=90。.點、E

與點C在B。同側(cè)，連接BE,CE,DE,若△ABDsACBE.

⑴求證：DC1CE；

(2)若若=[8。=20,5/8=怖5.8￡'

求ABDE的面積

oCo10

18.如圖1,四邊形ABCO內(nèi)接于OO,BD為直徑,人。上存在點E,滿足

AE=CD，連結BE并延長交C。的延長線于點F,BE與AD交于點G.

圖1

（1）若NDBC=a,請用含a的代數(shù)式表列4GB.

(2)如圖2,連結C￡,CE=BG.求證；EF=DG.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結CG,AD=2.

①若tan/A￡>8=3,求/GO的周長.

2

②求CG的最小值.

3

19.如圖，在Rtz^ABC中，ABAC=90°,4力是BC邊上的局，若sinNC4D=g,

BC=25,求AC的長.

20.如圖，AA8C中，AC=BC,點/是AABC的內(nèi)心，點。在邊8c上，以點。為圓

心，。8長為半徑的圓恰好經(jīng)過點/,連接C/,BI.

(1)求證：C7是。。的切線；

⑵若AC=BC=5,AB=6,求sinNAB/值.

21.如圖，點。是AABC的邊AB上一點，。。與邊AC相切于點E,與邊BC、48分

別相交于點。、F,且DE=EF.

(1)求證：ZC=9O°；

(2)當BC=3,sinA=|時，求AF的長.

22.在RtZXABC中，NC=90。，ZB=25°,6=10,解這個直角三角形（結果保留小

數(shù)點后一位）.（參考數(shù)據(jù)：sin25°=0.42,cos25°=0.91,tan25°=0.47）

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理列式求出AB,再根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解.

【詳解】

解：由勾股定理得，AB=yj32+32=3\[2>

故選：B.

【點睛】

本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦

為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

2.C

【解析】

【分析】

首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，然后根據(jù)正弦的定義即可求解.

【詳解】

解：根據(jù)勾股定理可得：4C=〃層-BC?=J?-（尹=?，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了求一個角的正弦值，求出AC的長，正確理解正弦的定義是解題關鍵.

3.B

【解析】

【分析】

根據(jù)網(wǎng)格的特點，找到8點所在網(wǎng)格的頂點。，連接30,通過勾股定理的逆定理判斷

是直角三角形，進而根據(jù)正弦的定義求得sinA的值.

【詳解】

答案第1頁，共22頁

如圖，連接B。,

c

根據(jù)網(wǎng)格的特點可知：

AD=飛聯(lián)+展=2垃,AB=y)f4號=M,BD=S+f=叵，

:.AD2+BD2=\O,AB2=10,

■■■△ABO是直角三角形,

.-.ZA￡>B=90o,

BD拉方

/.sinA=

710-5

故選B

【點睛】

本題考查了求一角的正弦，網(wǎng)格中證明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆

定理的應用，證明是△43。是直角三角形解題的關鍵.

4.C

【解析】

【分析】

利用正弦的定義得出AB的長，再用勾股定理求出BC.

【詳解】

AC

W：VsinB==0.5,

AB

AAB=2AC,

VAC=6,

答案第2頁，共22頁

.".AB=12,

BC=-JAB2-AC2~6-\/3,

故選C.

【點睛】

本題考查了正弦的定義，以及勾股定理，解題的關鍵是先求出AB的長.

5.B

【解析】

【分析】

先利用勾股定理得出DC,AC、AD的長，根據(jù)勾股定理的逆定理可得NCDA=90。，再利

用銳角三角函數(shù)關系求出答案.

【詳解】

解：如圖所示，取格點D,連接DC,

由網(wǎng)格可得出DC=-y2<AC—\f]Q，AD=25/2>

:?詆2+（262=（?J）2,

，DC2+AD2=AC2,

則：ZCDA=90°,

好.ADCV2V5

故sinA=----=—?==——.

ACV105

本題考查了網(wǎng)格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、銳角的三角函數(shù)，根據(jù)網(wǎng)格特點

構造直角三角形是關鍵.

6.D

【解析】

【分析】

答案第3頁，共22頁

過點A作于點￡>,在RtZXACD中，利用勾股定理求得線段AC的長，再按照正弦

函數(shù)的定義計算即可.

【詳解】

解：如圖，過點A作AD-LBC于點。，則NADC=90。，

AC=ylAD2+CD2=5>

??sinNAC5=——,

AC5

故選：D.

【點睛】

本題考查了勾股定理的運用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關鍵.

7.C

【解析】

【分析】

根據(jù)Rt^ABC中，cosB,tanB,sinA的定義，進行判斷.

【詳解】

,.,Rt^ABC中，sinA=—,cosA=—,sinB=—,tanB=—,

ccca

.,.選項C正確，選項A、B、D錯誤，

故選C.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義.關鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義及其變形.

8.D

【解析】

【分析】

利用銳角三角函數(shù)定義判斷即可.

答案第4頁，共22頁

【詳解】

在MAA8C中，sinA=—,

AB

CD

在Rt^ACD中，sinA=——,

AC

?/ZA+ZB=90°,ZB+ZBCD=90°,

:.ZA=ZBCD,

在RtABCD中，sin/BCD=sinA=,

BC

故選：D.

【點睛】

此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關鍵.

9.旦

5

【解析】

【分析】

連接CG,設BC=〃?，由正方形的性質(zhì)可以求得/ECG=90。，及CE、CG的長；然后由勾

股定理求出EG的長，便可解答：

【詳解】

解：連接CG,如圖：

???四邊形ACE?E、8C/G是正方形，

:.ZDCE=NFCG=45。,

.-.ZECG=90°,

由AC=28C,設BC=m,則AC=2〃z,

:.CE=&AC=2近m，CG=&BC=Om，

：.EG=>JCE2+CG2=yfidm，

CG_yflm_

AsinZCEG=

EGyflOm5

答案第5頁，共22頁

故答案為：

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，正弦三角函數(shù)：結合正方形的性質(zhì)添加輔助線構造

直角三角形是解題關鍵.

10.g

【解析】

【分析】

證明AABDs^CBA,得出空=黑=當，求出AB=4,由三角函數(shù)定義即可得出答

ACBCAB

案.

【詳解】

解：???BD=2,CD=6,

???BC=BD+CD=8,

VZB=ZB,ZBAD=ZC,

AAABD^ACBA,

.ADABBD

??瓦一拓―A8，

/.AB2=BDXBC=2X8=16,

，AB=4,

VAD±AC,

.ADAB4\

..tanC===-=—

ACBCS2

故答案為：

【點睛】

本題考查銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)為解題

關鍵.

11.乎6-372

【解析】

【分析】

由等積法解得正方形的邊長，再利用勾股定理解得圖④的直角邊F"的長，在圖2中，利

答案第6頁，共22頁

用正弦的定義解得sinNQOC=苓|=乎，接著利用勾股定理解得QC=次,QD=30,據(jù)

此解得cosa的值，最后利用跖=6-HQ-EW解答即可.

【詳解】

解：矩形的面積為：2x6=12

正方形的邊長DC=>/12=273

如圖I,

FG=26

QHG=2

：.FH=y/FG2-HG2=J(2A/3)2-22=2及

如圖2,

HC9

:.sinZHDC=—=—f=

DC26

Qsin/QOC=^|=手

答案第7頁，共22頁

設QC=7IX,￡>Q=3X

QC2+DC2=DQ2

.?.3/+12=9/

，欠=&或％=-血（舍去）

QC=#3=3應

QC瓜_6

coscr=

QD^^/2~~

:.HQ=DQ-DH=3近一DH=30-FH=3叵-2叵=&

EF=6-^2-FH=6-y/2-2y/2=6-3y/2

故答案為：］叵，6—35/2.

【點睛】

本題考查正方形與矩形、圖形的拼接，涉及勾股定理、正弦、余弦等知識，是重要考點,

掌握相關知識是解題關鍵.

12.2

2

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理，可得OA的長，根據(jù)正弦是對邊比斜邊，可得答案.

【詳解】

如圖，由勾股定理，得：0A=而再壽=2.sinZl=—=^,故答案為也.

OA22

【解析】

【分析】

由△8EC與AFEC關于直線EC對稱，矩形48CD,證明ABEC名AFEC,再證明

答案第8頁，共22頁

△BCN%CFD,可得BN=CD,再求解CD=2,即可得BN的長；先證明AAFESACBG,

ApPP

可得：—,設8M=x,則BE=BM=EE=x,8G=x+l,AE=2-x,再列方程，求解

CGBG

x，即可得到答案.

【詳解】

解：=△BEC與△FEC關于直線EC對稱，矩形A8CR

“BEC%FEC,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,

?.NEBC=/EFC=90°,/BEC=ZFEC,BE=FE,BC=FC,

???BM=BE,

/BEM=/BME,

??.NFEC=/BME,

???EFHMN,

/BNC=NEFC=90。,

.?.NBNC=NFDC=90。,

vZBCD=90°,

??.ZNBC+ZBCN=90°=4BCN+/DCF,

.?./NBC=/DCF,

:ABCNACFD,

:.BN=CD,

?.?矩形ABC。，

AB"CD,AD//BC,

/BEM=/GCM,

???/BEM=ZBME=/CMG,MG=1,G為CD的中點，

???4GMe=4GCM、

.\CG=MG=\,CD=2,

:.BN=2.

如圖，?.BM=BE=FE,MN〃EF,四邊形ABC。都是矩形，

??.AB=CD,AD//BC,ZA=/BCG=90°,ZAEF=ZABG,

???ZAFE+ZAEF=90°=ZABG+NCBG,

ZAFE=ZCBG,

答案第9頁，共22頁

.,.△AFESACBG,

.AEEF

'~CG~~BG"

設BM=%則BE=BM=FE=x,BG=x+l,4E=2—x,

.2-x_x

1x+1

解得：x=±V2,

經(jīng)檢驗：x=±0是原方程的根，但x=-&不合題意，舍去,

AE=2-立,EF=0,

,-.sinZAFE=—=^^?=V2-1.

EF0

故答案為：2,y/2—\.

【點睛】

本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三

角函數(shù)的應用，分式方程的解法，掌握以上知識是解題的關鍵.

14-4

【解析】

【分析】

在直角三角形中，銳角8的正弦=銳角8的對邊：直角三角形的斜邊，根據(jù)定義直接可得答

案.

【詳解】

解：ZAC3=9O0,AC=1,A8=2,

??.sinU,

AB2

故答案為：y

答案第10頁，共22頁

【點睛】

本題考查的是銳角的正弦的含義，掌握銳角的正弦的定義是解題的關鍵.

"12而

13.-----

5

【解析】

【分析】

先利用正弦值、勾股定理求出3c=12,AC=9,再根據(jù)翻折的性質(zhì)、勾股定理求出A。、

CD、BO的長，然后根據(jù)等面積法求出。C的長，由此即可得出答案.

【詳解】

如圖，設8。與CC的交點為點0,

4

?.?在RhABC中，ZACB=90°,AB=\5,sinA=-,

BC4,BC4

——=-,n即r一=一,

AB5155

解得3c=12,

/.AC=^AB2-BC2=9-

由翻折的性質(zhì)得：BC'=BC=n,C'D=CD,ZBC'D=ZACB=9()。，

.?.AC=AB-BC'=15-12=3,

設A￡)=x,則C'￡)=C￡>=AC-A￡)=9-x,

在中，AC'2+CD2=AD2,即3?+(9-x)2=/,

解得x=5,

AD=5,CD=4,

在MABC。中，BD=4BC、C￡>2=4屈，

又；BC'=BC,C'D=CD,

是CC'的垂直平分線，

:.BD1CC',CC'=2OC,

;.SR38=；BCCD=；BDOC,Bp|xl2x4=1x4V10OC,

解得oc=5叵，

5

:.CC'=2OC=^^-,

5

答案第II頁，共22頁

故答案為：喑,

BC

【點睛】

本題考查了正弦三角函數(shù)、勾股定理、翻折的性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識點,

熟練掌握翻折的性質(zhì)和等面積法是解題關鍵.

16.邁

5

【解析】

【詳解】

分析：直接根據(jù)題意表示出三角形的各邊，進而利用銳角三角函數(shù)關系得出答案.

ZC=90°,tanA=—,

2

"BOx,則AC=2x,故AB二逐x,

.RAC2x275

則sinB=——=-j=-=---.

AB6*5

故答案為偵.

5

點睛：此題主要考查了銳角三角函數(shù)關系，正確表示各邊長是解題關鍵.

17.(1)見解析

⑵160百

【解析】

【分析】

答案第12頁，共22頁

(1)由△ABDsACBE得NBCE=NBAD,由四邊形內(nèi)角和為360。及周角為360°,即可

求得ZOCE=90°,從而可得結論成立；

(2)過點A作AFLCD于點尸，過點。作。G,BE于點G.由△ABOs^CBE,可求得

BE的長，及黑j由S”二SQE可得。=/從而可得*=；，進而可得

Cno1oCrioAD2

ZADC=30°,故可得/Q8G=NABC=60°,在吊AQBG中，利用三角函數(shù)知識即可求得

OG的長，從而可求得ABOE的面積.

(1)

AABDs^CBE

：.NBCE=NBAD

?四邊形ABC。的內(nèi)角和為360°,ZABC+ZADC=90°

AZBAD+ZBCD=360°-(/A8C+NAOC)=270°

:.NBCE+NBCD=270°

VZBCE+ZBCD+ZDCE=360°

/.ZDCE=90°

即DCVCE

⑵

過點A作AFLCQ于點F,過點。作OGLBE于點G,如圖

；△ABDsMBE

.ABBDAD5

ZABD=ZCBE

ooCE_8

Z.B￡=-BD=-x20=32

55~AD~5

c—』s

乙AC。一770^CDE

16

C-CD.AF

\ACD_25

S<DELCD.CE16

2

.5

*CE~16

.AFCE58

>.-——x-

CEAD165

即竺=J

AD2

U：AF.LCD

答案第13頁，共22頁

??sinN/ADC=--二一

AD2

???NAOC=30°

ZABC+ZADC=90°

：.ZABC=60°

???ZABD=ZCBE

：.ZABD+ZDBC=ZDBC+ZCBE

即/O8G=NA8C=60°

在/?/△DBG中，DG=BD.sinNDBG=20x

，S研=工BE.DG=-x32xloV3=16()73

22

【點睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，四邊形內(nèi)角和，圖形的面積等知識，根據(jù)

面積作垂線、熟練應用這些知識是關鍵.

18.(1)ZAGB=90°-a；(2)見解析：(3)①之幼；②石

2

【解析】

【分析】

(1)利用圓周角定理求得/84。=90。，再根據(jù)4E=CO，求得NA8G=NO8C=a,即

可得到答案；

(2)由/BEC=ZB￡)C=90°-a,得至UN3EC=NAGB,從而推出NCEF=N8GD,證得

答案第14頁，共22頁

^CFE^BDG(ASA),由此得到結論；

(3)①連結DE.利用已知求出==證得D4=CE，得到BG=AO=2,

2

利用MAABG中，根據(jù)正弦求出NAGB=60o,AG=g8G=l,求出EF的長，再利用

RrZXDEG中，NEGD=60°,求出EG及OE,再利用勾股定理求出OF即可得到答案；

②過點C作C//L8尸于4,證明A8A￡＞四ACH/(A4S),得至ljm=4),證明

△BHCs^CHF,得至1」名=駕，設GH=x,得至ljC”：=2(2—x),利用勾股定理得到

CHFH

CG2=GH2+CH2,求得CG2=d+2(27)=(x—lf+3,利用函數(shù)的最值解答即可.

【詳解】

解：(1)???8。為00的直徑，

???ZBAD=90°,

???AE=CD，

:.ZABG=NDBC=a,

ZAGB=90°-a.

(2)???8。為O。的直徑，

???ZBCD=90°,

JZBEC=ZBDC=90。-a,

:.NBEC=ZAGB,

ZCEF=180。一/BEC/BGD=180。一ZAGB,

/.ZCEF=ZBGD.

又,:CE=BG/ECF=ZGBD,

J△CFE%BDG(ASA),

.??EF=DG.

(3)①如圖，連結OE.

答案第15頁，共22頁

:8。為的直徑，

???ZA=ZBED=90°.

在R&BO中，tanZADB=—AD=2,

2f

AB=—AD=>/3.

2

;AE=C。，

：?AE+DE=CD+DEf

即D4=CE，

:.AD=CE.

?：CE=BG,

：.BG=AD=2.

???在放"6G中，sinZAGB=—=—,

BG2

：.ZAGB=60°,AG=-BG=\,

2

:.EF=DG=AD-AG=\,

???在MZXOEG中，ZEGD=60°,

.??EG=-DG=-,DE=—DG=—.

2222

在及VFEO中，DF=ylEF2+DE2,

2

:.FG+DG+DF=^^~,

2

??.△PGL>的周長為豆史.

2

②如圖，過點C作C”_L8/于H.

答案第16頁，共22頁

Y^BDG^CFE,

:.BD=CF,ZCFH=ABDA.

VZ5A￡>=ZCWF=90°,

??..BAZ涇△"尸(A4S).

:.FH=AD,

?：AD=BG,

：.FH=BG.

*/ZBCF=90°,

:?/BCH+/HCF=900.

YNBCH+ZHBC=90°,

:.NHCF=4HBC,

■:ZBHC=NCHF=9Q0,

：?J3HCs/HF,

.BHCH

設G〃=x,

:.BH=2-x,

AC/72=2(2-x).

在&△GHC中，CG2=GH、CH2,

???CG2=f+2(2-x)=(x-+3,

當x=l時，CG?的最小值為3,

，CG的最小值為6.

答案第17頁，共22頁

【點睛】

此題考查圓周角的定理，弧、弦和圓心角定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三

角函數(shù)，相似三角形的判定，函數(shù)的最值問題，是一道綜合的幾何題型，綜合掌握各知識

點是解題的關鍵.

19.AC=15

【解析】

【分析】

由題意，根據(jù)等角的余角相等得到NC4D=N3,則sinNB=g===,即可求出AC的長

度.

【詳解】

解：根據(jù)題意，

VZBAC=90°,是邊上的高，

AZBA￡)+ZC4￡>=90°,ZBA￡)+ZB=90°,

:.ZCAD=ZB,

3

/.sinZB=sinZ.CAD=—,

在RtZVIBC中，Z&4C=90°,

..“ACAC3

..sinZn===—,

BC255

???AC=15.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)，等角的余角相等，解題的關鍵是掌握所學的知識，正確的得到

ZC4D=ZB,從而進行解題.

20.(1)證明見解析

(2)sinNAB/=t

【解析】

【分析】

(1)連接O/,延長C7交AB于點O.由三角形內(nèi)心為角平分線的交點結合等腰三角形“三

線合一，，的性質(zhì)可知8/平分/ABC,CDLAB.從而可得出ZA8/=NOW,再根據(jù)等邊對

等角，得出NO/B=NOB/,即ZAB/=NO/B,由此可證明A8//O/,即得出C￡>_LO/,即

答案第18頁，共22頁

可判斷C7是。。的切線；

(2)由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知">=80==3.在RsBCD中,利用勾股

2

定理可求出8=4.設O8=x,則O/=x,OC=BC-OB=5-x.易證VCO/:VC3O,

即得出旦=婆，代入數(shù)據(jù)，即可求出x的值.從而可得。/和0C的長，進而在RrVOC/

BDBC

中，利用勾股定理可求出C/的長，得出￡>/的長.最后在即V8Z力中，再次利用勾股定理

可求出8/的長，再利用正弦的定義計算即可解答.

(1)

如圖，連接0/,延長C/交A8于點D

,點/是4ABC的內(nèi)心，AC=BC,

二8/平分ZA8C,CDA.AB,

：.NABI=ZOBI.

：0B=01,

：.ZOIB=ZOBI,

：.ZABI=NOIB,

，AB//OI,

，CDrOI,

是。。的切線；

(2)

,點/是小ABC的內(nèi)心，AC=BC,

Z.AD^BD=-AB=3.

2

.?.在R/A8C￡>中，CD=>jBC2-BD2=4-

設O8=x,則O/=x,OC=BC-OB=5-x.

答案第19頁，共22頁

,/AB//OI,

/.VCOZ:NCBD,

.01OCx5-x

??=，Ran|J=，

BDBC35

解得：x=

O

.?15。1525

..(//=—,C7G=5-----=

88

.?.在RVOC/中，CI=>]OC2-OI2=5

2

53

???DI=CD-CI=4--=-