高二數(shù)學(xué)回歸分析

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用高二數(shù)學(xué)選修2-3

第三章統(tǒng)計案例

比《數(shù)學(xué)3》中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應(yīng)用問題選修2-3——統(tǒng)計案例引入線性回歸模型y＝bx＋a＋e了解模型中隨機誤差項e產(chǎn)生的原因了解相關(guān)指數(shù)R2

和模型擬合的效果之間的關(guān)系了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結(jié)果復(fù)習(xí)回顧1、線性回歸模型：y=bx+a+e，

(3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=

(4)

2、數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異是隨機誤差的效應(yīng)，稱為殘差。3、對每名女大學(xué)生計算這個差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號表示為：稱為殘差平方和，它代表了隨機誤差的效應(yīng)。4、兩個指標(biāo)：（1）類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用作為的估計量，越小，預(yù)報精度越高。（2）我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是：

R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差。

在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。5、殘差分析與殘差圖的定義：

然后，我們可以通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。

我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。案例2

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測溫度為28oC時產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325非線性回歸問題假設(shè)線性回歸方程為：?=bx+a選模型由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73

相關(guān)指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464估計參數(shù)

解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù)為預(yù)報變量y。選變量所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。探索新知畫散點圖050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和預(yù)測當(dāng)x=28時，y=19.87×28-463.73≈93一元線性模型奇怪？93>66?模型不好？

y=bx2+a變換y=bt+a非線性關(guān)系線性關(guān)系方案2問題１選用y=bx2+a，還是y=bx2+cx+a？問題3

產(chǎn)卵數(shù)氣溫問題2如何求a、b？合作探究

t=x2二次函數(shù)模型方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關(guān)指數(shù)R2=0.802將t=x2代入線性回歸方程得：

y=0.367x2-202.543當(dāng)x=28時，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。t問題２

變換y=bx+a非線性關(guān)系線性關(guān)系問題１如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產(chǎn)卵數(shù)氣溫指數(shù)函數(shù)模型方案3合作探究對數(shù)方案3解答溫度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325xz當(dāng)x=28oC時，y≈44，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化由計算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程為

對數(shù)變換：在中兩邊取常用對數(shù)得令，則就轉(zhuǎn)換為z=bx+a.相關(guān)指數(shù)R2=0.98最好的模型是哪個?

產(chǎn)卵數(shù)氣溫產(chǎn)卵數(shù)氣溫線性模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型比一比函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型0.80指數(shù)函數(shù)模型0.98最好的模型是哪個?回歸分析（二）則回歸方程的殘差計算公式分別為：由計算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的擬合效果遠遠優(yōu)于模型（2）。總結(jié)

對于給定的樣本點兩個含有未知參數(shù)的模型：其中a和b都是未知參數(shù)。擬合效果比較的步驟為：（1）分別建立對應(yīng)于兩個模型的回歸方程與其中和分別是參數(shù)a和b的估計值；（2）分別計算兩個回歸方程的殘差平方和與（3）若則的效果比的好；反之，的效果不如的好。練習(xí)：為了研究某種細菌隨時間x變化，繁殖的個數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x/天

1

2

34

56繁殖個數(shù)y/個

6

12

25

49

95190

（1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個數(shù)作預(yù)報變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；

（2）

描述解釋變量與預(yù)報變量之間的關(guān)系；（3）

計算殘差、相關(guān)指數(shù)R2.天數(shù)繁殖個數(shù)解：（1）散點圖如右所示

（2）由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)y=的周圍，于是令Z=lny,則x123456Z1.792.483.223.894.555.25由計數(shù)器算得則有6.0612.0924.0948.0495.77190.9y612254995190（3）即解釋變量天數(shù)對預(yù)報變量繁殖細菌得個數(shù)解釋了99.99%.練習(xí)假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料。使用年限x23456維修費用y2.23.85.56.57.0若由資料知,y對x呈線性相關(guān)關(guān)系。試求：（1）線性回歸方程的回歸系數(shù)；（2）求殘差平方和；（3）求相關(guān)系數(shù)；（4）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？解：（1）由已知數(shù)據(jù)制成表格。12345合計23456202.23.85.56.57.0254.411.422.032.542.0112.34916253690所以有；/daopiancisheng/7.html刀片刺網(wǎng)uxd30vzu后退著擺著手說：“小青姐，你，你聽我說，這，這絕對不可以的！”一瞬間，小青徹底呆了！耿正眼看著小青遞手帕的手就好像凝固了一樣一動不動地伸著，而兩行熱淚卻撲簌簌滾落下來，嘴里夢囈般地念叨著：“這是為什么？這是為什么?。俊贝饲榇司?，原本非常善良正直的耿正實在是于心不忍；但他又不可能，也不可以伸手接過來這塊兒滿含深情的鴛鴦手帕?。扇司瓦@樣僵持了片刻后，小青還一直保持這個姿勢不變，繼續(xù)反復(fù)念叨同一句話，滾落下更多的眼淚耿正終于撲上前來，彎下腰把小青伸著的手臂推回去，然后雙手抓住她的肩膀使勁地搖晃著，眼含淚水真誠地說：“小青姐，你是我的好姐姐。我從小沒有姐姐，你待我就像是親姐姐一樣！可是，你說的這事情實在是不行啊！我不能接受你繡的手帕，不是因為你人不好，更不是因為你大我一歲，而是因為我在故鄉(xiāng)已經(jīng)有心上人了??！”看到小青還是一言不發(fā)地呆坐在石頭上淌眼淚，耿正只好也從懷里掏出來離家前一夜秀兒送給他的那塊兒繡著一對燕子的乳白色絲綢手帕，對小青說：“她叫秀兒，我們從小一起長大，這塊兒手帕是我離家之前她送給我的。記得她當(dāng)時對我說，‘正哥哥你看，這一對燕子是俺背著娘繡的。你帶上她，就好像俺們還沒有分開！’。小青姐你說，我怎么可以辜負了她呢？”小青終于哭出了聲：“我明白了，你喜歡這棵大槐樹，喜歡坐在這塊兒石頭上，也是為了她？你剛才那樣高興，心里想的也全是她啊？”耿正點點頭說：“是的，我的故鄉(xiāng)也有這樣的一棵大槐樹，樹下也有這樣的幾塊兒大石頭，我們小的時候經(jīng)常坐在那些石頭上玩兒”耿正的話還沒有說完，小青突然站起來，跌跌撞撞地哭著向樹林外邊跑去了。“小青姐，你到哪里去?。俊惫⒄话褯]有能夠拉住她，吃驚地大喊一聲，拔腿往前追去！105第三十七回小青誤讀慈母淚|（小青誤讀慈母淚，耍小聰明巧遮掩；故找借口獨自行，要與耿正說分明。）喬氏的話還沒有說完，院門兒“咣當(dāng)”一聲被打開了。人還沒有進來，小青歡快的聲音就傳進屋里來了：“姆媽