工程制圖-第三章點-直線、平面

第三章點、直線、平面的投影本章教學目的與要求

1、掌握點的投影規(guī)律；

熟悉點的投影與該點坐標間關(guān)系；（重點）

熟悉兩點的相對位置及重影點；（難點）

2、熟練掌握各種空間位置直線的投影特征；（重點）*掌握一般位置直線求實長（直角三角形法）；（難點）

熟練掌握直線上的點和直線的關(guān)系；

熟練掌握兩直線的相對位置：平行、相交、交叉；（難點）

3、熟悉平面的投影表示法和各種位置平面的投影特征；（重點）

熟練掌握平面上如何取點和線；（重點）

熟練掌握直線與平面、兩平面相對位置：平行、相交下一頁2024/1/21機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌任何立體都可以看作是點的集合。點是基本幾何要素，研究點的投影性質(zhì)和規(guī)律是掌握其他幾何要素投影的基礎(chǔ)。如左圖所示，過空間點A向投影面作投射線（即垂線），A點在投影面上的投影為a。反之，若已知投影a，不能唯一確定點A的空間位置。確定一個空間點至少需要兩個投影。上一頁下一頁回章節(jié)目錄第一節(jié)點的投影2024/1/22機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌

V面投影，標記a′稱正面投影A

點

與ox軸交點ax

H面投影，標記a，稱正面投影分析：ox⊥Aa、ox⊥a′ax、ox⊥aax投影平面展開連線得aa′

⊥ox

Aa′=aax

a′ax

=Aa上一頁下一頁回章節(jié)目錄1．點的兩面投影2024/1/23機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌（1）點的投影連線垂直于投影軸，即aa′⊥OX。（2）點的投影到投影軸的距離，反映該點到相鄰投影面的距離，即aax＝A

a′、a′ax＝Aa。

點在兩投影面體系中的投影規(guī)律上一頁下一頁回章節(jié)目錄2024/1/24機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌1.三投影面體系的建立

A

（空間點）到W面投影，標記a“,稱側(cè)面投影得a‘a(chǎn)“

⊥oz展開W、HOY軸一分為二OYh、OYw點三面投影動畫演示上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、點在三投影面體系中的投影點三面投影展開動畫演示2024/1/25機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌（1）點的投影連線⊥相應(yīng)的投影軸。即a′a⊥OX、a′a″⊥OZ

（2）空間點到投影面的距離=該點在另外兩投影面的投影到相應(yīng)投影軸的距離。az

a″=a

ax=Aa′(寬y相等）作圖要求：作圖線用細實線，點用黑點標出。上一頁下一頁回章節(jié)目錄2.點在三投影面體系中的投影規(guī)律：2024/1/26機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌分析：由于已知點A的正面投影和水平投影，則A點的空間位置可以確定，因此可作出其側(cè)面投影。作圖：過a作OYH的垂線與45o輔助線相交，過交點作OYW的垂線與過a′的水平線相交，交點即為

a″。a′aYwYhxoa″z上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例一】已知點A的正面投影a′和水平投影a，求A的側(cè)面投影a″。

思考：點A到哪個投影面距離近動畫演示2024/1/27機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌1.點A（xA、yA、zA）的投影與坐標關(guān)系：

xA＝aZ

a′＝aYHa＝a″A（點到W面的距離）

yA＝＝aXa＝aZa″＝a′A（點到V面的距離）

zA＝aX

a′＝aYW

a″＝aA（點到H面的距離）

點的投影坐標表示：a′（x,o,z)、a″（o,y,z)、a（x,y,o)三、點的投影與直角坐標的關(guān)系下一頁上一頁回章節(jié)目錄2024/1/28機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌投影面上點的投影特性：1）點的一個投影與空間點本身重合；2）點的另兩個投影在相應(yīng)的坐標軸上；投影軸上的點的投影特性：1）點的兩個投影與空間點本身重合；2）點的另一個投影在原點；2.特殊位置點：下一頁上一頁回章節(jié)目錄2024/1/29機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌分析：由于yA＝0，則點A在V面上，而zB＝0，點B在H面上，又由于yC=0，

zC=0，點COX軸上。作圖：（見下圖）YwxoYHza′aa″bb′b″c′c(c″)上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例二】已知點A的坐標（20，0，10），點B的坐標（30，10，0）；點C的坐標（15，0，0），求作各點的三面投影圖。2024/1/210機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌1.空間方位的約定：x坐標增大的方向為向左的方向

；y坐標增大的方向為向前的方向；z坐標增大的方向為向上的方向2.點的相對位置的判別：x坐標→判別左右的方向；y坐標→判別前后的方向z坐標→判別前后的方向上一頁下一頁回章節(jié)目錄三、兩點的相對位置兩點的相對位置動畫演示2024/1/211機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌【例三】已知點A的三面投影，并知B點在A點的左邊5mm,下邊10mm，后邊5mm，求B點的三面投影zxywyhoa′a″ab′b″b上一頁下一頁回章節(jié)目錄2024/1/212機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌當兩點的某兩個坐標相同時，該兩點將處于同一投射線上，因而在由相同兩坐標確定的投影面上具有重合的投影，則這兩投影稱為對該投影面的重影點。重影點要判別可見性：由兩點不同的坐標的大小判別，坐標大的可見，反之不可見。不可見點加括號。上一頁下一頁回章節(jié)目錄四、重影點重影點動畫演示2024/1/213機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌上一頁下一頁回章節(jié)目錄第二節(jié)直線的投影一、概述一般位置直線（∠投影面，不反映實長）1.直線的分類投影面平行線（∥投影面、反映實長）特殊位置直線投影面垂直線（⊥投影面、積聚為一點）2.直線的投影特性

:直線的投影一般仍為直線（特殊為點）；直線的投影可連接線段兩個端點的同面投影來確定；直線的投影有類似性、真實性、積聚性等三個特性2024/1/214機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌與水平投影面的傾角用α表示正面投影面的傾角用β表示側(cè)面投影面的傾角用γ表示

上一頁下一頁回章節(jié)目錄退回總目錄3.直線與投影面夾角的約定2024/1/215機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌1．投影面平行線：(∥一個投影面而，∠另外兩個投影面)正平線(∥V面；∠H、W面）水平線(∥H面；∠V、W面）側(cè)平線(∥W面；∠V、H面）正平線動畫演示上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、特殊位置直線水平線動畫演示側(cè)平線動畫演示2024/1/216機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌上一頁下一頁回章節(jié)目錄正平線、水平線和側(cè)平線投影圖及投影特性

（1）a′b′反映實長，

反映角α、γ。（2）ab∥OX，

a″b″∥OZ均小于實長。（1）a″b″反映實長，反映角α、β

（2）a′b′∥OZ

ab∥OYW均小于實長投影特性投影圖

正平線（AB∥V面）

水平線（AB∥H面）（1）ab反映實長，反映角β、γ。（2）a′b′∥OX

a″b″∥OYH均小于實長。側(cè)平線（AB∥W面）名稱2024/1/217機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌投影面平行線的投影特性如下：1）∥投影面上的投影，反映實長；夾角分別反映直線對另兩投影面的真實傾角。2）另外兩個投影面上的投影∥相應(yīng)的投影軸，長度縮短。投影面平行線實例動畫下一頁上一頁回章節(jié)目錄2024/1/218機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌(⊥一個投影面而，∥另外兩個投影面)正垂線(⊥V面；∥H、W面）鉛垂線(⊥H面；∥V、W面）側(cè)垂線(⊥W面；∥V、H面）正垂線鉛垂線側(cè)垂線上一頁下一頁回章節(jié)目錄2．投影面垂直線2024/1/219機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌上一頁下一頁回章節(jié)目錄正垂線（AB⊥V面）鉛垂線（AB⊥H面）側(cè)垂線（AB⊥W面）（1）ab積聚為一點（2）a′b′⊥OX，

a″b″⊥OYW，

a′b′、a″b″均反映實長。1）a″b″積聚為一點2）a′b′⊥OZ，

ab⊥OYH，ab、

a′b′均反映實長1）a′b′積聚為一點2）

ab⊥OX，a″b″⊥OZ，ab,a″b″均反映實長名稱投影圖投影特性正垂線、鉛垂線和側(cè)垂線的投影及投影特性2024/1/220機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌投影面垂直線的投影特性如下：（1）⊥投影面上的投影，積聚成一點。（2）另外兩個投影面上的投影，⊥相應(yīng)的投影軸，且反映實長。下一頁上一頁回章節(jié)目錄投影面垂直線實例動畫2024/1/221機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌（與三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線）1.一般位置直線的投影特性為：（1）三個投影都與投影軸傾斜，長度都小于實長；（2）與投影軸的夾角都不反映直線對投影面的傾角。上一頁下一頁回章節(jié)目錄三、一般位置直線一般位置直線動畫演示2024/1/222機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌上一頁下一頁回章節(jié)目錄

*2.直角三角形法求直線實長及對投影面的傾角（1）求AB的實長和對水平投影面的傾角α（2）求AB的實長和對正投影面的傾角β（3）求AB的實長和對側(cè)投影面的傾角γ2024/1/223機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌

|zA-zB

|AB1．求直線的實長及對水平投影面的夾角

角

|zA-zB|

ABab|zA-zB||zA-zB|2024/1/224機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌2．求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|yA-yB|a

Xab

bAB

a

b

|yA-yB||yA-yB|AB

|yA-yB|

2024/1/225機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌3．求直線的實長及對側(cè)面投影面的夾角

角ABbb

a

b

aa

|xA-xB||xA-xB|

2024/1/226機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌規(guī)律：用一般位置線的一個投影及對該面的坐標差為二直角邊求作其實長和傾角的方法俗稱為直角三角形法。aa兩解30°aa兩解上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例四】：已知線段的實長AB,求它的水平投影ab。

（思考：已知β=30°，求它的水平投影ab）2024/1/227機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌1.從屬性：點在線上，則點的各個投影必定在該直線的同面投影上，反之,點的各個投影在線的同面投影上,則該點一定在直線上。

利用這一特性可在線上找點或判斷已知點是否在線上。

2.定比性：點分線段長度比等于其投影分線段投影長度之比。(定比定則AC：CB＝ac：cb＝a′c′：c′b′＝a″c″：c″b″利用這一特性在不作出側(cè)面投影的情況下，在線上找點或判斷已知點是否在線上。上一頁下一頁回章節(jié)目錄五、直線上的點（線上找點）直線上點的投影動畫2024/1/228機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌cc

[例題五]已知線段AB的投影圖，試將AB分成2﹕1兩段，求分點C的投影c、c

。2024/1/229機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌[例題六]已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。cc

cabc2024/1/230機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌上一頁下一頁回章節(jié)目錄（變化：已知m、m′判斷點M是否在AB上）思考：不求側(cè)面投影，用定比性來判斷點M是不是直線AB上的點。

2024/1/231機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌空間兩直線的相對位置有三種情況：平行、相交（亦稱共面直線）交叉（亦稱異面直線）

1．兩直線平行若空間兩直線平行，則三個面同面投影必定互相平行。反之，若直線同面投影都（三面）互相平行，則兩直線在空間必定互相平行。上一頁下一頁回章節(jié)目錄五、兩直線的相對位置兩直線平行動畫2024/1/232機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌【例七】判斷兩側(cè)平線AB、CD的相對位置（如下圖

）AB、CD平行上一頁下一頁回章節(jié)目錄注意：1)對于一般位置直線，有兩組同面投影相互平行，即可判斷空間兩直線相互平行。2)若直線為投影面的平行線，則要根據(jù)直線所平行的投影面上投影是否平行來斷定它們在空間是否平行。(即畫出第三面投影判斷)2024/1/233機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌【例八】判斷兩側(cè)平線AB、CD的相對位置（如下圖

）AB、CD交叉上一頁下一頁回章節(jié)目錄1″(2″)1′2′2024/1/234機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌注意：1)對兩一般位置線，若兩組同面投影都相交，且兩投影交點符合點的投影規(guī)律，則空間兩直線相交。2)若兩直線有一直線為投影面平行面時，則兩組同面投影中必須包括直線所平行的投影面上的投影。(即畫出第三面投影判斷)上一頁下一頁回章節(jié)目錄2．相交兩直線：

空間兩直線若相交，它們的同面投影必定相交，且交點必定符合點的投影規(guī)律。相交兩直線動畫2024/1/235機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌c″d″a″b″1′1′d′c′1′ZyHyw方法二：定比定則（如右下圖）上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例九】判斷兩直線AB、CD的相對位置方法一：求第三投影2024/1/236機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌（1）交叉兩直線在同一投影面上的交點為對該投影面的一對重影點，可從另一投影中用前遮后、上遮下、左遮右的原則來判別它們的可見性。

重影點重影點ⅡⅠ上一頁下一頁回章節(jié)目錄3．交叉兩直線：

既不平行又不相交的兩直線稱為交叉兩直線。2024/1/237機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌（2）交叉兩直線的投影可能會有一組或二組是互相平行，但決不會三組同面投影都互相平行，（3）交叉兩直線的投影也可能是相交的，但各個投影的交點一定不符合同一點的投影規(guī)律。1″(2″)1′2′上一頁下一頁回章節(jié)目錄2024/1/238機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌e′f′f上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十】已知直線AB、CD的兩面投影和點E的水平投影e，求作直線EF與CD平行，并與AB相交于點F。2024/1/239機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌空間垂直相交的兩直線，若其中一直線為投影面平行線，則兩直線在該投影面上的投影互相垂直。也稱為直角投影定理。反之，相交兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，若其中有一直線為該投影面的平行線，則這兩直線是空間互相垂直的兩直線。

此投影特性也適用于交叉垂直的兩直線。如上圖當CB直線不動，水平線AB平行上移時，ab與cb仍互相垂直。

上一頁下一頁回章節(jié)目錄四、一邊平行于投影面的直角投影

（直角投影定理）2024/1/240機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌[例十一]過點C作線段CD與線段AB垂直相交。思考：上題改為求點C到線段AB的距離，如何作圖。

回章節(jié)目錄下一頁上一頁d′d2024/1/241機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌分析：直線AB是鉛垂線，CD是一般位置直線，所以它們的公垂線是一條水平線，則公垂線的水平投影必垂直于cd（直角投影定理）,側(cè)面投影平行OX軸。作圖：由直線AB的水平投影ab向cd作垂線交于k，由此求出k′；由k′向a′b′作垂線交于e′，e′k′和ek即為公垂線EK的兩投影，且ek=EK為兩交叉直線AB、CD的距離。

k′e′k(e)上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十二】求AB、CD兩直線的公垂線

2024/1/242機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌一、平面的表示法1．用幾何元素表示平面由初等幾何學可知，下列幾何元素組都可以決定平面在空間的位置。1）不在同一直線上的三點；2）一直線和該直線外一點；3）相交兩直線；4）平行兩直線；5）任意平面圖形。(五種可相互轉(zhuǎn)化)上一頁下一頁回章節(jié)目錄第三節(jié)平面的投影2024/1/243機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌分類：投影面垂直面（⊥一投影面，∠另兩投影面）

特殊位置平面投影面平行面（∥一投影面，⊥另兩投影面）

一般位置平面（∠三個投影面）約定：平面與投影面H、V、W的兩面角，分別用α、β、γ表示。1．投影面垂直面（⊥一投影面，∠另兩投影面）鉛垂面（⊥H面，∠V、W面）分類正垂面（⊥V面，∠H、W面）側(cè)垂面（⊥W面，∠H、V面）上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、平面對投影面的各種相對位置2024/1/244機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌（1）⊥投影面上的投影，積聚成直線；（積聚性）積聚性投影與投影軸夾角，分別反映面對另兩投影面的傾角。（2）在另外兩投影面上的投影均為類似形。（類似性）

鉛垂面動畫上一頁下一頁回章節(jié)目錄以鉛垂面為例分析其投影特性為：注：類似形的投影特性：邊數(shù)不變，各頂點符合投影規(guī)律；原來邊平行，仍平行；成比例，仍成比例；直線邊對應(yīng)直線邊，曲線邊對應(yīng)曲線邊。鉛垂面的投影圖2024/1/245機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌上一頁下一頁回章節(jié)目錄正垂面的投影正垂面投影圖正垂面投影動畫2024/1/246機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌側(cè)垂面的投影上一頁下一頁回章節(jié)目錄側(cè)垂面投影圖側(cè)垂面投影動畫投影面垂直面投影實例動畫2024/1/247機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌水平面（∥H面，⊥V、W面）分類正平面（∥V面，⊥H、W面）側(cè)平面（∥W面，⊥H、V面）上一頁下一頁回章節(jié)目錄2．投影面平行面（∥一投影面，⊥另兩投影面）以水平面為例分析其投影特性為：（1）在平行的投影面上的投影，反映實形。（實形性）（2）在另外兩投影面上的投影，積聚成直線，（積聚性）

分別平行于相應(yīng)的投影軸。2024/1/248機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌水平面投影圖上一頁下一頁回章節(jié)目錄水平面的投影

2024/1/249機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌正平面的投影上一頁下一頁回章節(jié)目錄正平面投影圖2024/1/250機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌上一頁下一頁回章節(jié)目錄側(cè)平面的投影側(cè)平面投影圖投影面平行面投影實例動畫2024/1/251機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌一般位置面的三個投影△abc、△a′b′c′、△a″b″c″均為類似形。上一頁下一頁回章節(jié)目錄3．一般位置平面（∠三個投影面）

其投影特性為：三個投影均是類似形，而且面積比實際??；投影圖上不直接反映平面對投影面的傾角。一般位置平面投影實例動畫2024/1/252機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌1．幾何條件：（1）若點位于面內(nèi)直線上，則點在該面內(nèi)。（2）直線過平面上的兩點，線必在該平面內(nèi)（3）線過面上一點且平行面內(nèi)另一直線，則線在該面內(nèi)。2．求取方法：①求點，先找線；②作線，先找點。上一頁下一頁回章節(jié)目錄三、平面上取點和線

2024/1/253機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌①一般位置面上作水平線（用水平面與△ABC相交，交線無數(shù)條)(條件：過A點作水平線屬于△ABC）②一般位置面上作正平線

（用水平面與△ABC相交，交線無數(shù)條）（條件：作正平線距V面25mm）

*③作含直線的垂直面或平行面（跡線表示）

1′1323′2′上一頁下一頁回章節(jié)目錄3．面上取線

2024/1/254機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌分析：判別點是否在面上和求平面上點的投影，利用點在面上，點定在面內(nèi)一條線上這一投影特性。作圖：注意：判斷點是否在面內(nèi)，不能只看點的投影是否在面的投影輪廓線內(nèi)，一定要用幾何條件和投影特性來判斷。

1′12′n′2上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十三】判別點M是否在面△ABC內(nèi)，并作出△ABC面上點N的正投影。2024/1/255機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌分析：由于水平線的正面投影投影平行OX軸，故可先求AD的正面投影，而正平線的水平投影平行OX軸，故可先求CE的水平投影。作圖：e′ed′d上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十四】已知△ABC平面的兩面投影，作出平面上水平線AD和正平線CE的兩面投影。2024/1/256機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌分析：已知A、B、C三點的正投影和水平投影，面的空間位置已確定，E、D兩點應(yīng)在△ABC面上，故利用點在面上的原理作出點的投影即可。作圖：d′e′121′2′上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十五】完成平面圖形ABCDE的正面投影。2024/1/257機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌第五節(jié)直線與平面及兩平面的相對位置

（平行、相交、垂直相交）上一頁下一頁回章節(jié)目錄一、平行問題1．直線與平面平行幾何條件：若線平行某面內(nèi)一直線，則線與該面平行

兩平行線各組同面投影均平行（利用它來解題）2024/1/258機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌幾何條件：（1）一對相交直線對應(yīng)地平行，則這兩個平面互相平行。

(兩一般位置面相互平行)（2）兩特殊位置面相互平行，有積聚性的那組同面投影平行

上一頁下一頁回章節(jié)目錄

2．平面與平面平行2024/1/259機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌【例十六】判斷AB與△CDE是否平行。（不平行）g′f′fg上一頁下一頁回章節(jié)目錄分析：在正投影面內(nèi)作e′f′∥a′b′，檢驗ef

與ab是否平行。2024/1/260機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌分析：在△CDE面內(nèi)作水平線EF，過k點作ef∥

ab，過k′點作e′f′∥a′b′。b′a′abf′f上一頁下一頁回章節(jié)目錄【例十七】試過點K作水平線AB平行于△CDE平面。2024/1/261機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌【例十八】試判斷兩平面是否平行。（平行）g′gh′hm′mn′n上一頁下一頁回章節(jié)目錄分析：在兩平面內(nèi)分別作水平線、正平線，檢驗是否相互平行。2024/1/262機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌線與面、面與面不平行，一定相交。線與面的交點是線與面的共有點；面與面的交線是兩面的共有線。求取方法：交點的一個投影位于面或線有積聚性的投影交點，另一投影用線上點的投影特性求得。上一頁下一頁回章節(jié)目錄二、相交問題（只研究面或線為特殊位置時的交點）線與面相交動畫面與面相交動畫2024/1/263機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌（1）線與特殊位置面相交（交點是共有點）（求交點并判別可見性）判別可見性方法：目測法、重影點法可見性判別：k′b′是可見的，應(yīng)畫成粗實線；a′k′在

e′f′g′h′內(nèi)的部分不可見的，畫成虛線。kk′1′(2′)1(2)上一頁下一頁回章節(jié)目錄1．直線與平面相交2024/1/264機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌分析：AB是正垂線，其正面投影有積聚性，交點K是直線AB上的一個點，所以K點的正面投影k′和a′（b′）重影，又因交點K也在三角形平面上，故可利用平面上取點的方法，作出交點K的水平投影k。(k′)m′mk1(2)2′(1′)(2)1ⅠⅡ上一頁下一頁回章節(jié)目錄（2）投影面垂直線與一般位置平面相交2024/1/265機械制圖安徽工業(yè)大學仝基斌求交線的方法：求出交線上任意兩點連接而得，也可求出其中一點，然后由交線的方向確定。交線是可見與不可見的分界線。（1）兩特殊位置平面相交

【例十九】求鉛垂面△ABC與鉛垂面△DEF的交線MN，并判別正面投影的可見性。分析：這兩三角形都是鉛垂面，所以交線為鉛垂線，且交線的水平投影積聚為一點，