相似三角形復(fù)習(xí)公開(kāi)課

如圖，在△ABC中，AB＞AC，D為AC邊上異于A、C的一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作一直線與AB相交于點(diǎn)E，使所得到的新三角形與原△ABC相似.問(wèn)：你能畫(huà)出符合條件的直線嗎？

DACB溫故知新(1)EE相似三角形的判定方法1、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似2、有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似A．B．C．D．ABC如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，那么以下圖中的三角形〔陰影局部〕與左圖中相似的是〔〕3、兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等的兩三角形相似4、三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似B相似三角形的判定方法溫故知新(1)1、根據(jù)以下條件能否判定△ABC與△A′B′C′相似？為什么？(1)∠A=40°,∠B=80°,∠A′=40°,∠C′=60°課堂搶答ABC40°80°60°40°A′B′C′1、根據(jù)以下條件能否判定△ABC與△A′B′C′相似？為什么？(2)∠A=40°，AB=3，AC=6∠A′=40°，A′B′=7，A′C′=14課堂搶答7ABC40°40°A′B′C′14361、根據(jù)以下條件能否判定△ABC與△A`B`C`相似？為什么？(3)AB=4，BC=6，AC=8A`B`=18，B`C`=12，A`C`=21課堂搶答18ABCA`B`C`21486122424如何改變△A`B`C`的其中一條邊使△ABC與△A`B`C`相似？1.找一找:(1)如圖1,:DE∥BC,EF∥AB,那么圖中共有_____對(duì)三角形相似.ABCDEF如圖(1)3(2)如圖3，∠1=∠2=∠3,那么圖中相似三角形的組數(shù)為_(kāi)_______.ADBEC132如圖(2)4漸入佳境(3):四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,連結(jié)AC和BD交于點(diǎn)E,那么圖中共有_____對(duì)三角形相似.·ABCDEO(4):四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,連結(jié)AC和BD交于點(diǎn)E,且AC平分∠BAD,那么圖中共有_____對(duì)三角形相似.·ABCDEO1234漸入佳境2.在平面直角坐標(biāo)系，B〔1，0〕,A〔3，－3〕,C〔3，0〕,點(diǎn)P在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，假設(shè)以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________________.y·ABCx··O漸入佳境3.如圖：在⊿ABC中，

∠C=90°,BC=8,AC=6.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B(niǎo)C向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CA向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，問(wèn)：AQPCBAQPCB經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好與⊿ABC相似？漸入佳境，D、E為△ABC中BC、AC上兩點(diǎn)，CE=3，CA=8，CB=6，假設(shè)∠CDE=∠A，那么：CD=_____，△CDE的周長(zhǎng):△CAB的周長(zhǎng)=_______,△CDE的面積:△CAB的面積=______.

溫故知新(2)EABCD41：21：4如圖，平行四邊形ABCD,CE=BCS△ADF=16,那么S△CEF=，平行四邊形ABCD的面積為？ACFEBD如圖，在□ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：CE=2：3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，那么S△DEF：S△EBF：S△ABF=FEBACDABCDEO·例1、如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB=AC.求證:AB2=AE·AD證明：連接BD∵AB=AC∴∠ADB=∠ABE又∵∠BAD=∠EAB∴△ABE∽△ADB∴AB2=AE·AD=∴∴AD漸入佳境EDCBA如圖，三角形ABC中，BE,CD是兩邊上的高，問(wèn)題1、圖中有相似三角形嗎？并說(shuō)明理由問(wèn)題2、說(shuō)明∠AED=∠ABC問(wèn)題1、圖中有相似三角形嗎？并說(shuō)明理由問(wèn)題2、說(shuō)明∠AED=∠ABC挑戰(zhàn)自我：如圖，D在△ABC的邊AC上，且DE∥BC，交AB于E，F(xiàn)在AE上，且AE2=AF×AB，求證：△AFD∽△AEC.FEBCAD嘗試練習(xí)例3、如圖,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合〕，在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=45°ABCDE〔1〕求證：△ABD∽△DCE〔2〕設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值時(shí)AE取得最小值〔3〕當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)1綜合運(yùn)用如圖,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合〕，在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=45°〔1〕求證：△ABD∽△DCE∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1〕21證明：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°又∵∠ADE=45°∴∠ADE=∠B∴∠1=∠2∴△ABD∽△DCEABCDE〔2〕設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值時(shí)AE取得最小值解：∵△ABD∽△DCE1∴∴∴當(dāng)時(shí)如圖,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合〕，在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=45°ABCDE〔3〕當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)AD=AEAE=DEDE=AD如圖,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合〕，在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=45°1ABCDE分類(lèi)討論(3)如圖，在△ABC中，DE∥AB，自D、C、E分別向AB作垂線，垂足分別為G、H、F，CH交DE于P，CH=6，AB=8.①假設(shè)EF=x,DE=y，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式.②設(shè)EF為x，S矩形DEFG=S,寫(xiě)出S與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量x的取值范圍？③當(dāng)x為何值時(shí)，矩形DEFG的面積最大，最大面積為多少？PGHFEABCD這節(jié)課你有什么收獲？應(yīng)用提高2.如圖，在△ABC中，CA=6，CB=4，AB=8，當(dāng)DE∥AB，D點(diǎn)在BC上〔與B、C不重合〕，E點(diǎn)在AC上.(1)當(dāng)△CED的面積與四邊形EABD的面積相等時(shí)，求CD的長(zhǎng).EABCD(2)當(dāng)△CED的周長(zhǎng)與四邊形EABD的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CD的長(zhǎng).EABCD自主探究

練習(xí)．如圖，先把一矩形紙片ABCD對(duì)折，設(shè)折痕為ＭＮ，再把Ｂ點(diǎn)疊在折痕線上，得到△ABE，過(guò)B點(diǎn)折紙片使D點(diǎn)疊在直線AD上，得折痕ＰＱ。1、求證:△PBE∽△QAB;

2、你認(rèn)為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似給出證明,如不相似請(qǐng)說(shuō)明理由;

3、如果沿直線EB折疊紙片,點(diǎn)A是否能疊在直線EC上？為什么？ＢＣＡＤＭＮＭＮＡＤＣＰＱＥＢ提示:1、PQ是折痕與AD、CE垂直嗎，∠ABE是什么角？2、要證△PBE和△BAE相似能用AA嗎，有成比例線段嗎？3、沿直線EB折疊紙片，點(diǎn)A要在EC上，只要什么成立？1.如圖，△PCD是等邊三角形，A、C、D、B在同一直線上，且∠APB=120°.求證：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2.

ABCDP例題講解例2、如圖，：AB⊥DB于點(diǎn)B，CD⊥DB于點(diǎn)D，AB=6，CD=4，BD=14.問(wèn)：在DB上是否存在P點(diǎn)，使以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似？如果存在，計(jì)算出點(diǎn)P的位置；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。4614ADCB解〔1〕假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使△ABP∽△CDP設(shè)PD=x，那么PB=14―x，∴6：4=〔14―x〕:x那么有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P6x14―x4ADCBP〔2〕假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,使△ABP∽△PDC,那么那么有AB:PD=PB:CD設(shè)PD=x，那么PB=14―x，∴6：x=〔14―x〕:4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似46x14―xDBCAp〔2〕如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)〔點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合〕，且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；②當(dāng)CE＝1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．〔1〕如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A．①求證；△ABP∽△DPC②求AP的長(zhǎng)．2.畫(huà)一畫(huà):如圖,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=700,∠B=500,∠E=300,畫(huà)直線a,把△ABC分成兩個(gè)三角形,畫(huà)直線b,把△DEF分成兩個(gè)三角形,使△ABC分成的兩個(gè)三角形和△DEF分成的兩個(gè)三角形分別相似.(要求標(biāo)注數(shù)據(jù))300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab2002001.如圖，△PCD是等邊三角形，A、C、D、B在同一直線上，且∠APB=120°.求證：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2.

ABCDP例題講解分析：〔1〕此題只有角和等邊三角形的條件，要證∽，可以從找兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等入手.〔2〕欲證，只須證，但圖中找不到能直接得出這個(gè)比例式的相似三角形.由于相比的兩條線段處在同一直線上，故可考慮通過(guò)等量代換，使相比的兩條線段不在同一直線上，然后利用第〔1〕小題結(jié)論來(lái)解決.評(píng)注：一道題有幾個(gè)小題時(shí)，或者后面小題的解決要用到前面小題的結(jié)論，或者這幾個(gè)小題解決方法類(lèi)似。此題的第⑴小題也可先證∽，同理可得∽，那么有∽。應(yīng)用提高1.如