2022年山東省聊城市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）（一模）（附答案詳解）

2022年山東省聊城市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）（一模）

一、單選題（本大題共8小題，共40.（）分）

1.設(shè)集合4={%|久=2人一1,卜62},8={加04芯<6},則4。8=()

A.{1,3}B.{-1,1,3}C.{-14,3,5)D.{1,3,5}

2.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1+2i)z=3—i,則|z|=()

A.V2B.V3C.2D.V5

3.已知向量五，石滿(mǎn)足|為|=1,|1|=2，且0+B）lZ，則向量五與方的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.根據(jù)分類(lèi)變量x與y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到*2=6.147.依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢

驗(yàn)（殉.01=6.635）,結(jié)論為（）

A.變量x與y不獨(dú)立

B.變量x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

C.變量x與y獨(dú)立

D.變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

5.“阿基米德多面體”也稱(chēng)半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正

多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.如圖是以一正

方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正

三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體

的棱長(zhǎng)為1，則經(jīng)過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的體積為（）

A.“B.』

C.47rD.8TT

33

6.設(shè)0=5譏7,則()

2aa2

A.a<2<log2|a|B.log2\cc\<2<a

2a2a

C.a<log21al<2D.log2\a\<a<2

7.“環(huán)境就是民生,青山就是美麗，藍(lán)天也是幸福”，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步,

人們的環(huán)保意識(shí)日益增強(qiáng).某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/sn3,排

放前每過(guò)濾一次，該污染物的含量都會(huì)減少20%,當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門(mén)要求廢氣中該污染

物的含量不能超過(guò)0.2M"巾3,若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么在排放前需要

過(guò)濾的次數(shù)至少為（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3,句3ko.477）

A.5B.7C.8D.9

8,已知正數(shù)x,y滿(mǎn)足yZnx+ylny=e*,則xy-2尤的最小值為（）

A.-In2B.2-2ln2C.--In2D.2+2ln2

22

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.設(shè)0<a<b,且a+b=2,則（）

A.l<b<2B.2a-b>1C.ab<lD.-+7>3

ab

10.已知雙曲線(xiàn)C：—+^-=1（0<fc<1）,則（）

A.雙曲線(xiàn)。的焦點(diǎn)在久軸上

B.雙曲線(xiàn)C的焦距等于4魚(yú)

C.雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離等于仍力

D.雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為（1,爭(zhēng)

11.已知函數(shù)/（%）=2sin（3%+0）+Q,co>0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若對(duì)于任意的％WR,都有/（工）工1成立，則。工一1

B.若對(duì)于任意的都有/（x+兀）=/（%）成立，則3=2

C.當(dāng)3=m時(shí)，若在⑼g上單調(diào)遞增，則3的取值范圍為（0,m

D.當(dāng)a=—V5時(shí)，若對(duì)于任意的8WR,函數(shù)f（x）在［0,§上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則3

的取值范圍為［4,+8）

12.在數(shù)列｛時(shí)｝中，對(duì)于任意的n€N*都有與>0,且成+1-冊(cè)+1=〃，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.對(duì)于任意的n>2,都有即>1

B.對(duì)于任意的%>0,數(shù)列｛a"不可能為常數(shù)列

C.若0<%<2,則數(shù)列｛即｝為遞增數(shù)列

D.若%>2,則當(dāng)n22時(shí)，2<an<的

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若/'（x）=2sin（x+<p）-cosx為奇函數(shù)，則尹=.（填寫(xiě)符合要求的一個(gè)值）

14.第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，中國(guó)郵政陸續(xù)發(fā)行了

多款紀(jì)念郵票，其圖案包括“冬夢(mèng)”“飛躍”“冰墩墩”“雪容融”等，小明現(xiàn)有

“冬夢(mèng)”，，飛躍”，，冰墩墩”“雪容融”郵票各2張，他打算從這8張郵票中任選3

第2頁(yè)，共18頁(yè)

張贈(zèng)送給同學(xué)小紅，則在選中的3張郵票中既有“冰墩墩”郵票又有“雪容融”郵

票的概率為.

15.&,尸2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，/是APF/2的內(nèi)切圓圓

心，若△P&F2的面積等于的面積的3倍，則橢圓C的離心率為.

16.在矩形力BCD中，E是4B的中點(diǎn)，4。=1,48=2,將△ADE沿DE折起得到△ADE,

設(shè)AC的中點(diǎn)為M,若將△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)90。，則在此過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)M形成的軌跡長(zhǎng)

度為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前律項(xiàng)和為右，對(duì)于任意的n€N*都有時(shí)+1=冊(cè)+2,且56=4。5.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足匕=SJ1cosmr,求數(shù)列｛%｝的前2兀項(xiàng)和72tl.

18.如圖，在四邊形4BCC中,BD<AD,sing-N4)COS/+乙4)=；.

(1)求立力；

(2)若4B=b，AD=3,CD=1,ZC=2/.CBD,求四邊形4BCD的面積.

D

BC

19.如圖，在三棱柱48。-41當(dāng)。1中，48=4,/.BAC=30°,

側(cè)面BCCiBi是正方形，E是BBi的中點(diǎn)，CE=正,CE1

AC.

(1)求證：CG14C；

(2)F是線(xiàn)段4cl上的點(diǎn)，若平面4BC與平面CEF的夾角為

45°,求4尸的長(zhǎng).

20.為了解某車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢員從該車(chē)間一天生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，隨機(jī)不

放回地抽取了20件產(chǎn)品作為樣本，并一一進(jìn)行檢測(cè).假設(shè)這100件產(chǎn)品中有40件次

品，60件正品，用X表示樣本中次品的件數(shù).

(1)求X的分布列(用式子表示)和均值；

(2)用樣本的次品率估計(jì)總體的次品率，求誤差不超過(guò)0.1的概率.

參考數(shù)據(jù)：設(shè)P(X=k)=Pk，k=0,1,2，…，20,則ps=0.06530,p6=0.12422,

p7=0.17972,PQ=0.20078,p9=0.17483,p10=0.11924,=0.06376,p12=

0.02667.

第4頁(yè)，共18頁(yè)

21.已知拋物線(xiàn)E：y2=2Px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)為2,點(diǎn)P(xo,6)在E上，且P到1的距離與P到

原點(diǎn)。的距離相等.

(1)求E的方程；

(2)4,8,C,。是E上異于原點(diǎn)0的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且萬(wàn)？.話(huà)=靈.而=-4,若OM_L

AB,ON1CD,垂足分別為M,N,求|MN|的最大值.

22.已知函數(shù)/'(x)=ax—bix,g(x}=x2—nx+m.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)0<a<；時(shí)，若對(duì)于任意的x>0.都有/'(%)g(無(wú))>0,求證：2<Inm<%

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={x\x=2k-l,k&z}為奇數(shù)集，

B-{x|0<x<6},

則力CB=[1,3,5}.

故選：D.

根據(jù)交集的定義寫(xiě)出AnB,即可求得答案.

本題主要考查了交集的運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：???(l+2i)z=3-i,

.?.z=-=.Q——"

l+2i(l+2i)(l-2i)55

|z|=J(1)2+(~|)2=V2.

故選：A.

根據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模的公式，需要學(xué)生熟練掌握公式,

屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：由已知條件得04-K)-a=a24-1fe11a|cos<a,b>=1+2cos<a,b>=

0；

???cos<a,b>=—J；

.響量方與石的夾角為120。.

故選：C,

由@+9)便得到@+尤)?方=0，而根據(jù)已知|有|=1,西|=2，即可求得@

a=14-2cos<a,b>=0，求出cos<afb>^從而得到向量五花的夾角.

第6頁(yè)，共18頁(yè)

考查兩非零向量垂直的充要條件，以及數(shù)量積的運(yùn)算，向量夾角的概念.

4.【答案】D

【解析】解：v%2<6.635,

???由獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義可知，變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.0L

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，即可求解.

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：將該多面體放入正方體中，如圖所示.

由于多面體的棱長(zhǎng)為1，所以正方體的棱長(zhǎng)為近，

因?yàn)樵摱嗝骟w是由棱長(zhǎng)為迎的正方體連接各棱中點(diǎn)所得，

所以該多面體外接球的球心為正方體體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，其外接球直徑等于正方體的面對(duì)

角線(xiàn)長(zhǎng)，即2R=&xVI，

所以R=1,

所以該多面體外接球的體積U=］兀/?3=費(fèi).

故選：A.

將該多面體放入正方體中，可以間接確定該多面體外接球的球心，從而求出其外接球的

體積.

本題考查了多面體外接球的體積，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解:a=sin7=sin(7—2TT),

W<7-2TT<%；.|<sin(7-2n)<號(hào):.a2<\,

y=2”在R上為增函數(shù)，...V2=22<2a<29，

y=log2%在(0,+8)上為增函數(shù)，且，<|a|<y,

1i?10g2\<log21al<log2g二T<log21al<T，

ZZ4

2a

SPlog2|a|<a<29

故選：D.

利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到工<a<烏，再利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷

22

各選項(xiàng)即可.

本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：設(shè)該污染物排放前過(guò)濾的次數(shù)為n(n6N*),

由題意1.2X0.8n<0.2,即(J)11>6,

兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)可得Ig?)”>lg6,

即加g(爭(zhēng)202+加3,

所以n2詈需，

l—3lg2

因?yàn)樨?ao.3,2g3,0.477,

所以舞"魯怒=7刀，

l-3lg21-3x03

所以n>7.77,

又?iGN*,

所以rim譏=8,即該污染物排放前需要過(guò)濾的次數(shù)至少為8次.

故選：C.

設(shè)該污染物排放前過(guò)濾的次數(shù)為n(n€N*),由題意1.2x0.8"W0.2,兩邊取以10為底

的對(duì)數(shù)可得凡>黑署，根據(jù)參考數(shù)據(jù)即可求解.

i-sigz

本題考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，求出關(guān)系式1.2x0.84W0.2是解答本題的關(guān)鍵，屬于中

第8頁(yè)，共18頁(yè)

檔題.

8.【答案】B

【解析】解：正數(shù)％,y滿(mǎn)足ylnx+ylny=ex,

xx

所以ym(xy)=efBPxyZn(xy)=xe,

所以In(孫)?e皿。)=xeXf

令9(x)=xex,(x>0),則g'(%)=(%+l)ex>0,

所以g。)在％>o時(shí)單調(diào)遞增，

故x=ln(xy),即xy=ex,

所以町—2x=ex—2x,

令f(%)=ex—2x,(%>0),

則廣(%)=靖一2,

當(dāng)"2時(shí)，/'(%)=e"—2>0,/(%)單調(diào)遞增，當(dāng)％V》2時(shí)，ff(x)=ex-2<0,

/(%)單調(diào)遞減，

故當(dāng)％=仇2時(shí)，/(乃取得最小值f(仇2)=2-21n2,

所以孫-2%的最小值為2-2ln2.

故選：B.

由已知結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行變形，然后進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而可求

最值.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式合理的

進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于40<QVb,月.a+b=2,0V2-bVb,解得lvb<2,故

A正確，

對(duì)于B,,??QVb,即a—bV0,.??2°一。<2。=1,故3錯(cuò)誤，

對(duì)于C,0<aVd且a+b=2,ab<=1,當(dāng)且僅當(dāng)Q=b=l時(shí)，等號(hào)成

4

立，??,abV1,故。正確，

對(duì)于D,v0<a<b,且a+6=2,

???；+t=(；+，a+b)x；q+^+3)x；/2&+3),當(dāng)且僅當(dāng)a=2企一2,

b=4-2a時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

對(duì)于4結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解，對(duì)于B,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解，對(duì)于CD,

結(jié)合基本不等式公式即可求解.

本題主要主要考查了不等式的性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：雙曲線(xiàn)C：—+^-=1(0<fc<1),

可得9-k>0,/c-1<0,所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)在久軸，所以A正確；

雙曲線(xiàn)的焦距為：2,9-k+1-k=200-23所以B不正確：

雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離等于b=QI，所以C正確；

雙曲線(xiàn)的離心率為：=12-六e(1,半).所以D正確;

故選：ACD.

通過(guò)k的范圍，判斷雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置，焦距的長(zhǎng)，焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離，離心率的

范圍，判斷選項(xiàng)的正誤即可.

本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于4對(duì)于任意的x6R,都有成立，

所以a<1-2sin(a)x+尹)恒成立，又sin(3x+<jp)6[-1,1]>1-2sin(a)x+<p)e[-1,3],

?1?a<-1,故A正確；

對(duì)于B,由題可得兀是函數(shù)的周期，但不能推出函數(shù)的最小正周期為兀，故8錯(cuò)誤：

對(duì)于C,當(dāng)中=^時(shí)，當(dāng)x€[0(]時(shí)，+學(xué)+§,

則詈+g<1,3>0,故0<3W故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)。=-舊時(shí)，當(dāng)工€[0,自時(shí)，3X+06即，等+w]，

由/'(x)=2sin(a)x+(p)—6在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，

第10頁(yè)，共18頁(yè)

則a+9—922”,即324,故。正確.

故選：ACD.

由題可得a4l-2sin(3x+w)恒成立，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷4,利用函數(shù)的周

期的含義可判斷8,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C,由題可得詈+2兀，進(jìn)而

可判斷D.

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)4,在數(shù)列｛an｝中，a?+1-art+1=an,則。?+1((1?+1-1)=%,

又對(duì)于任意的nGN*都有an>0,則冊(cè)+i-1>0,即即+i>1，即對(duì)于任意的n>2,

都有曲>1,即選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,不妨設(shè)數(shù)列｛%>｝可能為常數(shù)列，則冊(cè)=an+1,又a"1-a“+i=an,則W-

an—cin)則dn—2,

即的=2時(shí)，數(shù)列｛an｝為常數(shù)列，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

—

對(duì)寸選項(xiàng)C>Cln+idn=2dn+j—a"1—Cln+i(2—Cln+1),

又0<%<2,則0(送一。2<2,即1<。2<2,同理，當(dāng)nN2,都有的<2,

即即+i-廝=2與+1-a"1=即+式2-a*+i)>0,即冊(cè)+i>a”，即數(shù)列｛a"為遞增

數(shù)列，即選項(xiàng)C正確：

對(duì)于選項(xiàng)。，%>2,則度一a?>2,即a2>2,同理，當(dāng)nN2,都有即>2,

又即+1~an=2<ln+l-an+l=an+l(2—即+1)<°，

即數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，即當(dāng)nN2時(shí)，2<與<%,即選項(xiàng)。正確，

故選：ACD.

結(jié)合數(shù)列遞推式研究數(shù)列的單調(diào)性，然后逐一判斷即可得解.

本題考查了數(shù)列遞推式，重點(diǎn)考查了數(shù)列的單調(diào)性，屬中檔題.

13.【答案】；

【解析】解:因?yàn)?1(%)=2sin(x+<p)-cosx為奇函數(shù)，

由奇函數(shù)性質(zhì)可得，/(0)=2sin<p-1=0.

所以sintp=

則W=7o.

故答案為：式答案不唯一）.

由已知結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)/（0）=0,代入即可求解.

本題主要考查了奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】《

14

【解析】解：在選中的3張郵票中既有“冰墩墩”郵票又有“雪容融”郵票的概率為

c|c+c|c

1212Cl5

-Cl-~14

故答案為：14

選3張郵票中既有“冰墩墩”郵票又有“雪容融”的組合數(shù)除以從8張郵票中任選3張的

組合數(shù)可得答案.

本題考查組合數(shù)應(yīng)用及古典概型應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及抽象能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案嗎

【解析】解：由于橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，

設(shè)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為片，點(diǎn)/縱坐標(biāo)為外,內(nèi)切圓半徑為r,橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,焦距為2c,

則SAPF/Z=尸。,I&F2I=3SA；P1F2=3x5%,因劃，得=3力，

又S^PFFZ=SZFFZ+S&F\p+SAIPF?,Bp|yP-\FXF2\=，r,IF/2I+|r-\PF-i\+■

*，

又乃=r，化簡(jiǎn)得?「?|尸1尸21=力（1招尸2|+仍尸1|+壯尸21），即3x2c=2c+2a,

解得a=2c,可得離心率為￡=￡

a2

故答案為：

先由SAPFFZ=3SA/Fif-2,求得yp=3y〃再利用〃「尸比=+SA/&P+^A/PF2,求得

a=2c,即可求出離心率.

本題主要橢圓的性質(zhì)，考查三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

第12頁(yè)，共18頁(yè)

16.【答案】等

【解析】解：如圖，設(shè)4C的中點(diǎn)為%，AADE繞DE旋

轉(zhuǎn)90。，此時(shí)平面4OE_1_平面48c0,

取CO中點(diǎn)P,CE中點(diǎn)Q,PQ中點(diǎn)N,連接PQ,MP,MQ,

MN,M0P,M0Q,MQN,

MP=M0P=1AD=1,MQ=M0Q=^AE=PQ=

=與,ZiMPQ和是等腰直角三角形,

且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持形狀大小不變，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以N為圓心，^PQ為半徑的一段

圓弧,

又MP//AD,MPC面4DE,A'Dc^A'DE,MP//面4'DE,同理MQ//面4'DE,

又因?yàn)镸Pn"Q=M,所以平面MPQ_L平面ADE,又平面4'DE_L平面4BCD,

故平面MPQ1面力BCD,又平面MPQD平面ABCD=PQ,MN1PQ,故M/V1平面2BCD,

又M（）Nu面ABCD,所以MN1MoN,

故動(dòng)點(diǎn)M形成的軌跡長(zhǎng)度為37r-PQ=亙.

4y8

故答案為：包.

8

先通過(guò)△MPQ始終是等腰直角三角形確定動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一段圓弧，再結(jié)合垂直關(guān)系證

明圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為90*,即可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度.

本題主要考查空間位置關(guān)系與距離，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)對(duì)于任意的neN*都有與+1=an+2,

二數(shù)列｛%J是等差數(shù)列，公差為2,

vS6=4a5，，6al4-15x2=4(^+4x2),

解得%=1?

czn=1-F2(n-1)=2n—1.

(2)由冊(cè)=2n—1,可得S九==n2,

2

bn=Sncosmt=ncosnn,

2

???b2n-i=~(2n-l),b2n=(2n)2,

???^2n-i+b2n=—(2n—I)2+(2n)2=2九一1+2n,

2

數(shù)列｛bn｝的前2九項(xiàng)和72n=1+2+3+4+…+2n-l+2n=生等也=2n+n.

【解析】(1)對(duì)于任意的nGN*都有即+i=an+2,可得數(shù)列｛冊(cè)｝是等差數(shù)列，公差為2,

利用通項(xiàng)公式即可得出與.

2

(2)由an=2n-l,可得又二M，bn=Sncosnn=ncosnn,可得⑦“-1+與小通過(guò)分

組求和即可得出結(jié)論.

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、分組求和方法，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)因?yàn)?-乙1)+《+乙4)=今

所以sin?-44)=cos('+2),

所以sinG-乙4)COSG+乙旬=；，可化為sin2G-乙4)=

由二倍角公式可得：cos§—2乙4)=：,

因?yàn)?。＜40,所以乙46(0(),

所以《一2乙46(/晉一),

所以r一244=三，解得乙4=?

(2)在△48。中，AB=痘,AD=3,4人=，，

由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB-ADCOSAA,即B/)2=3+9—2XbX3X

3=3，

2

所以8D=遍，

在^BCD中，由正弦定理得sin：：=,=W,所以sinz_C=百sinz_C80,

sinzcoDCD

又因?yàn)?c=2乙CBD,所以cos/CBD=

2

又因?yàn)椤癇D6(0,兀)，所以NCBZ)=(從而“=2”8。=壬所以NBDC=(

因此四邊形4BCD的面積S=\AB-AD-sin乙4+^BD-CD=|xV3x3xj+|xV3x

1=-5V-3.

4

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【解析】（1）利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式得到cos舍一2乙4）=再判斷出號(hào)一2乙4G

（冶壽一），即可求出乙4；

（2）由余弦定理求出B。，由正弦定理得至bina=V3sinzCBD）從而求出cos/CBD=爭(zhēng)

得至IJNCB。和NBDC,進(jìn)而求出四邊形4BCD的面積.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查了

計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.【答案】⑴證明：???側(cè)面BCG4是正方形,E是叫的

中點(diǎn)，

?1?BE=^BC,???BE2+BC2=CE2,.-.SBE2=(V5)2=5,

:.BE=1,:.BC=2,

又AB=4,484c=30。，在△ABC中由余弦定理有BC?=

AC2+AB2-2AD-ABcosz.BAC,

二4=16+4。2_4屈。，解得a。=2b，.--AD2+BC2=AB2,：./.BCA=90°,

ACIBC,又CEJ.AC.CECBC=C,CE,BCu平面BCCiB「

???ACJ_平面BCC/i，又equ平面BCGBi，

ACCr1AC；

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CCi為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0),￡(0,2,1)，>1(273,0,0).Q(0,0,2),

設(shè)族=2宿=A(-2V3,0,2)=(一2次;1,0,24)，(0<A<1)

CF=CA+AF=(2V3,0,0)+(-290,22)=(273-2包0,24),

又卷=(0,2,1)，

設(shè)平面CFE的一個(gè)法向量為五=（x,y,z）,

則，？-CF=0即((2%—25/3A)x+2Az=0令y=l,則z=-2,X=石先,

'In-CF=0^2y+z=0

二平面CFE的一個(gè)法向量為為=（而|張,1,-2）,

由⑴易證CCi，平面4BC,鬲=（0,0,2）為平面ABC的一個(gè)法向量,

4V2

CQ>|=cos45°

|cos<nI4A2-，

fJE爐+1+4X22

解得a=|或/l=3（舍去）,

212

AF=-xAC=—.

55

【解析】(1)由CE=遍,可求得BC=2,進(jìn)而由余弦定理可得力0=2百，可證4c1BC,

結(jié)合CE14C.可證AC1平面BCG/，可證結(jié)論；

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),C4,CB,CCi為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，存=XACl，

可求平面CEF的一個(gè)法向量和平面4BC的一個(gè)法向量，利用向量法可得

________4________V2

T，求解即可.

J譚短+1+4X2

本題考查線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，以及利用面面角的大小求線(xiàn)段的長(zhǎng)，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)由于質(zhì)檢員是隨機(jī)不放回抽取20件產(chǎn)品，各次試驗(yàn)之間的結(jié)果不相

互獨(dú)立，

則隨機(jī)變量X服從超幾何分布，

故X的分布列為P(X)=典翼/=0,1,2,…,20,X的均值為E(X)=np=20x黑=8.

C100100

(2)樣本中次品率心o=亮是一個(gè)隨機(jī)變量，

所以P(l5o-0.4|<0,1)=P(6<X<10)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+

P(X=9)+P(X=10)=0.12422+0.17972+0.20078+0.17483+0.11924=

0.79879,

所以誤差不超過(guò)0.1的概率為0.79879.

【解析】(1)由題意可知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，從而即可求解.

(2)樣本中次品率/20=看是一個(gè)隨機(jī)變量，即可得P(|/20-0.4|<0.1)=P(6<X<

10),再結(jié)合參考數(shù)據(jù)，即可求解.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解，考查期望公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)設(shè)拋物線(xiàn)E的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P到/的距離為d,則|PF|=d,

由題可得|PO|=d=|PF|,

所以劭=今故(夜)2=2p(，p>0,

???p=2,

??.E的方程為y2=4%；

(2)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為％=my+n,

第16頁(yè)，共18頁(yè)

(X=my+nZl=t7

由。2=4%，得y2-4my-4n=0,

設(shè)4(xi，%)，8(X2，%)，

2

則y，2=-4n,xrx2-(%二)'-n>

16

2

???OA-OB=xrx2+=n—4n=-4>

解得71=2,

二直線(xiàn)4B的方程為x=my+2,故直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)Q(2,0),

當(dāng)時(shí)，NOMQ=90。，點(diǎn)M在以0Q為直徑的圓上，

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合，點(diǎn)M在以0Q為直徑的圓上，

綜上，點(diǎn)M總在以O(shè)Q為直徑的圓上，

同理，點(diǎn)N總在以O(shè)Q為直徑的圓上，

因此|MN|的最大值為圓的直徑2.

【解析】(1)由題可得殉=為進(jìn)而即得；

(2)由題可設(shè)48的方程為x=my+n,利用韋達(dá)定理及條件可得n=2,直線(xiàn)4B過(guò)定點(diǎn)

(2(2,0),進(jìn)而可得點(diǎn)M、N總在以O(shè)Q為直徑的圓上，即得.

本題考查了拋物線(xiàn)的方程和性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的問(wèn)題，難點(diǎn)在于得到點(diǎn)N、M在

以。Q為直徑的圓上，屬于中檔題.

22.【答案】⑴解：f(x)的定義域?yàn)?0,+8)/(%)=a-%

當(dāng)a40時(shí)，對(duì)于任意的x>0,都有/''(*)<0,所以/(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)