第1講-走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界

第一講走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界從蠻荒時(shí)代的結(jié)繩計(jì)數(shù)到現(xiàn)代通訊和信息時(shí)代神奇的數(shù)學(xué)，人類任何時(shí)候都受到數(shù)學(xué)的恩惠和影響，數(shù)學(xué)科學(xué)是人類長期以來研究數(shù)、量的關(guān)系和空間形式而形成的龐大科學(xué)體系．走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，我們將一起走進(jìn)嶄新的“代數(shù)”世界，不斷擴(kuò)充的數(shù)系、奇妙的字母表示數(shù)、威力巨大的方程、不等式模型、運(yùn)動(dòng)變化的函數(shù)觀念；走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，我們將一起走進(jìn)豐富的“圖形”世界，拼剪、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)，在操作與實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)這些圖形的奇妙的性質(zhì)，用它們?cè)O(shè)計(jì)精美的圖案；走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，我們將暢游在無邊的“數(shù)據(jù)”世界，從圖表中獲取信息，并選擇合適的圖表來表達(dá)數(shù)據(jù)和信息；走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，它將開闊我們的視野，它提醒我們有無形的靈魂，它改變我們的思維方式，它滌盡我們的蒙昧與無知．諾貝爾獎(jiǎng)獲得者、著名物理學(xué)家楊振寧說：“我贊美數(shù)學(xué)的優(yōu)美和力量，它有戰(zhàn)術(shù)的機(jī)巧與靈活，又有戰(zhàn)略上的雄才遠(yuǎn)慮，而且，奇跡的奇跡，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本結(jié)構(gòu)．”例題【例1】(1)我們平常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如2639＝2×103+6×102+3×10＋9，表示十進(jìn)制的數(shù)要用10個(gè)數(shù)的數(shù)碼(又叫數(shù)字)：0，1，2，3，……9，在電子計(jì)算機(jī)中用的是二進(jìn)制，只要兩個(gè)數(shù)碼0和1，如二進(jìn)制中101＝1×22+0×21+1等于十進(jìn)制的數(shù)5，那么二進(jìn)制中的1101等于十進(jìn)制的數(shù)．(浙江省金華市中考題)(2)探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大．吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再“爬”出來，無獨(dú)有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”．滿足某種條件的所有數(shù)，通過一種運(yùn)算，都能被它吸進(jìn)去，無一能逃脫它的魔掌，譬如：任意找一個(gè)3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個(gè)數(shù)的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都立方．再相加。得到一個(gè)新數(shù)，然后把這個(gè)新數(shù)的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字再立方、求和……．重復(fù)運(yùn)算下去，就能得到一個(gè)固定的數(shù)T＝，我們稱之為數(shù)字“黑洞”．(青島市中考題)思路點(diǎn)撥(1)從閱讀中可知，無論何種進(jìn)制的數(shù)都可表示與數(shù)位上的數(shù)字、進(jìn)制值有關(guān)聯(lián)的和的形式；(2)從一個(gè)具體的數(shù)操作，發(fā)豌規(guī)律．【例2】A、B、C、D、E、F六個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，當(dāng)比賽到某一天時(shí)．統(tǒng)計(jì)出A、B、C、D、E五隊(duì)已分別比賽了5、4、3、2、l場球，則還沒有與B隊(duì)比賽的球隊(duì)是()．(第18后江蘇茁競賽題)A．C隊(duì)B．D隊(duì)C．L，隊(duì)D．F隊(duì)思路點(diǎn)撥用算術(shù)或代數(shù)方法解，易陷入困境．用6個(gè)點(diǎn)表示A、B、C、D、E、F這6個(gè)足球隊(duì)，若兩隊(duì)已經(jīng)賽過一場，就在相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間連一條線。這樣用圖來輔助解題，形象而直觀．【例3】校教具制造車間有等腰直角三角形、正方形、平行四邊形三種廢塑料板若干，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)利用其中7塊，恰好拼成了一個(gè)矩形(如圖①．后來，又用它們分別拼出了X、Y、Z等字母模型(如圖②，圖③，圖④)，如果每塊塑料板保持圖①的標(biāo)號(hào)不變，請(qǐng)你參與：(1)將圖②中每塊塑料板對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)填上去；(2)圖③中，只畫出了標(biāo)號(hào)7的塑料板位置，請(qǐng)你適當(dāng)畫線，找出其他6塊塑料板，并填上標(biāo)號(hào)，(3)在圖④中，請(qǐng)你適當(dāng)畫線，找出7塊塑料板，并填上標(biāo)號(hào)．(2002年煙臺(tái)市中考題)思路點(diǎn)撥動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、操作．從對(duì)圖形分割人手．鏈接數(shù)與形，以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學(xué)研究的永恒主題，就解題而言，數(shù)與形的恰當(dāng)結(jié)合，常有助于問題的解決．【例4】根據(jù)圖①和圖②回答問題：(1)1997年與2000年相比，產(chǎn)值比重減少最多的是哪個(gè)產(chǎn)業(yè)?(2)假定2000年光機(jī)電一體化的產(chǎn)值是1997年的2倍，那么2000年高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工業(yè)總產(chǎn)值比1997年增長率是多少?(3)2000年與1997年相比高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)值總額增加最多的是哪個(gè)產(chǎn)業(yè)?(2003年中央國家機(jī)關(guān)公務(wù)員錄用考試行政職業(yè)能力傾向試卷試題)思路點(diǎn)撥從給定的扇形統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息，須注意的是扇形統(tǒng)計(jì)圖表示的是某一部分占總體的百分比(或稱某一部分的比重)，因此，需要引入字母表示某種產(chǎn)值的具體數(shù)額，【例5】一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和是1999，求這個(gè)四位數(shù)，并說明理由．(重慶市競賽題)思路點(diǎn)撥設(shè)所求的四位數(shù)為，由題意可得關(guān)于、、、的一個(gè)等式，運(yùn)用估算、討論、枚舉等方法，分別求出、、、的值．注：解與整數(shù)相關(guān)的問題，常常要用到“估算”這種重要方法．運(yùn)用估算是在解決問題的過程中，合理運(yùn)用縮放、近似等方法簡化計(jì)算的一種算法，運(yùn)用估算往往能使我們更迅速地接近正確目標(biāo)．鏈接閱讀是人們吸取知識(shí)的主要手段和認(rèn)識(shí)世界的重要途徑．現(xiàn)代及未來社會(huì)要求人們具有的閱讀能力已不再只是語文閱讀能力，而是一種以語文閱讀能力為基礎(chǔ)，包括外語閱讀能力、數(shù)學(xué)閱讀能力、科技閱讀能力在內(nèi)的綜合閱讀能力．讀數(shù)學(xué)書，要邊讀書邊思考．對(duì)于概念，要抓住關(guān)鍵詞句推敲，從概念間的相互聯(lián)系中去掌握概念；對(duì)于公式、法則、性質(zhì)等，要思考結(jié)論的準(zhǔn)確意思、公式成立的條件、適用的范圍；對(duì)于例題，要自己先動(dòng)手做一做，再與書上的解答對(duì)照，找出知識(shí)上的缺陷、錯(cuò)誤，并從中總結(jié)適用知識(shí)的規(guī)律．學(xué)力訓(xùn)練1．觀察下列順序排列的等式：9×0十1＝1，9×1+2=11，9×2+3＝21，9×3+4＝31，9×4+5=4l，猜想：第年n個(gè)等式應(yīng)為．(2003年北京市中考題)2．如圖，是用火柴棍擺出的一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當(dāng)每邊上擺20(即n=20)時(shí)，需要的火柴棍總數(shù)為根．(河北省中考題)3．世界杯中，中國男足與巴西、土耳其、哥斯達(dá)黎加隊(duì)同分在C組。賽前，50名球迷就C組哪支球隊(duì)將以小組第二名進(jìn)入十六強(qiáng)進(jìn)仃猜測(cè)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果則圖，認(rèn)為中國隊(duì)將以小組第二名的身份進(jìn)入十六強(qiáng)的人數(shù)占的百分比為．(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)4．自然數(shù)、、、、e都大于1，其乘積，則其和的最大值為，最小值為．5．若一個(gè)正整數(shù)被2，3，…，9這八個(gè)自然數(shù)除，所得的余數(shù)都為l，則的最小值是，的一般表達(dá)式為為．6．3個(gè)質(zhì)數(shù)、、滿足，且，那么等于()．A．2B．3C7D．13(第18后江蘇省競賽題)7．如果有2003名學(xué)生排成一列，按1，2，3，4，3，2，l，2，3，4，3，2，…的規(guī)律報(bào)數(shù)，那么第2003名學(xué)生所報(bào)的數(shù)是()．A．1B．2C．3D．48．如圖，有兩張形狀、大小完全相同的直角三角形紙片(同一個(gè)直角三角形的兩條直角邊不相等)，把兩個(gè)三角形相等的邊靠在一起(兩張紙片不重疊)，可以拼出若干種圖形，其中，形狀不同的四邊形有()．A．3種B．4種C．5種D．6種9．下面四個(gè)圖形每個(gè)均由六個(gè)相同的小正方形組成，折疊后能圍成正方體的是()．10．設(shè)“●”、“▲”、“曰”表示三種不同的物體，用天平比較它們質(zhì)量的大小，兩次情況如圖所示，那么●、▲、■這三種物體按質(zhì)量從大到小的順序排列應(yīng)為()．A．■、●、▲B．■、▲、●、C．▲、●、■D．▲、■、●(江西省中考題)│11．用一個(gè)兩位數(shù)去除2003，余數(shù)是8，這樣的兩位數(shù)有個(gè)，其中最大的兩位數(shù)是．12．如果是任意2個(gè)不等于零的數(shù)，定義運(yùn)算※如下(其余符號(hào)意義如常)：※=，那么[1※（2※3）]一[（1※2）※3]的值是．13．如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為的矩形，接著把面積為的矩形分成兩個(gè)面積為的矩形，再把面積為的矩形等分成兩個(gè)面積為的矩形，如此進(jìn)行下去．試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計(jì)算：．(南寧市中考題)14．觀察下圖，三棱柱有5個(gè)面6個(gè)頂點(diǎn)9條棱，四棱柱有6個(gè)面8個(gè)頂點(diǎn)12條棱，五棱柱有7個(gè)面10個(gè)頂點(diǎn)15條棱……由此可推測(cè)n棱柱有(n+2)個(gè)面?zhèn)€頂點(diǎn)條棱．15．某專賣店在統(tǒng)計(jì)2003年第一季度的銷售額時(shí)發(fā)現(xiàn)，二月份比一月份增加10％，三月份比二月份減少10％，那么三月份比一月份()．A．增加10％B．減少10％C．不增不減D．減少1％(河南省中考題)16．三進(jìn)位制數(shù)201可用十進(jìn)位制數(shù)表示為2×32+0×31+1＝2×9+0+1＝19；二進(jìn)位制數(shù)1011可用十進(jìn)位制數(shù)表示為1×23+0×22+1×2+1＝8+0+2+1=11．現(xiàn)有三進(jìn)位制數(shù)=221，二進(jìn)位制數(shù)＝10111，則與的大小關(guān)系為()．A．>B．=C．a(chǎn)<bn不能確定(重慶市競賽題)17．某學(xué)生騎白行車上學(xué)，開始以某一速度勻速行進(jìn)，中途由于自行車發(fā)生故障，停下修車耽誤了幾分鐘．為了按時(shí)到校，他加快了速度，但仍然保持勻速行進(jìn)，結(jié)果準(zhǔn)時(shí)到校．他騎自行車行進(jìn)的路程s與行進(jìn)的時(shí)間t的關(guān)系有如下四種示意圖，其中正確的是()．18．把14個(gè)棱長為1的正方體，在地面上堆疊成如圖所示的立體，然后將露出的表面部分染成紅色，那么紅色部分的面積為()．A．21B．24C．33D．3719．如圖，有兩個(gè)正方形的花壇，準(zhǔn)備把每個(gè)花壇都分成形狀相同的四塊，種不同的花草．下面左邊的兩個(gè)圖案是設(shè)計(jì)示例，請(qǐng)你在右邊的兩個(gè)正方形中再設(shè)計(jì)兩個(gè)不同的圖案．20．根據(jù)圖a和圖b回答問題：(1)1998年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值比1995年大約增加了多少?(2)1998年我國財(cái)政支出規(guī)模(財(cái)政支出／國內(nèi)生產(chǎn)總值)大約是多少?(3)已知1999年國內(nèi)生產(chǎn)總值為8．5萬億元，在這幾年中國內(nèi)生產(chǎn)總值增長最快的是哪一年度?(中央國家機(jī)關(guān)公務(wù)員錄用考試行政職業(yè)能力傾向試卷試題)21．有一批影碟機(jī)(VCD>原售價(jià)：800元，，臺(tái)．甲商場用如下辦法促銷：購買臺(tái)數(shù)1～5臺(tái)6—10臺(tái)11—15臺(tái)16～20臺(tái)20臺(tái)以上每臺(tái)價(jià)格760元720元680元640元600元乙商場用如下辦法促銷：每次購買1～8臺(tái)，每臺(tái)打九折；每次購買9～16臺(tái)，每臺(tái)打八五折；每次購買17～24臺(tái)，每臺(tái)打八折；每次購買24臺(tái)以上，每臺(tái)打七五折；(1)請(qǐng)仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買VCD的購買臺(tái)數(shù)與每臺(tái)價(jià)格的對(duì)照表；(2)現(xiàn)在有A、B、C三個(gè)單位，A單位要買10臺(tái)VCD，