第06講-函數(shù)的奇偶性與周期性(解析版)

第06講-函數(shù)的奇偶性與周期性考情分析1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義；2.結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義.知識(shí)梳理1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)奇函數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)偶函數(shù)設(shè)函數(shù)y＝g(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.[微點(diǎn)提醒]1.(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.3.函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).4.對(duì)稱(chēng)性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).(2)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱(chēng).經(jīng)典例題考點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性【例1-1】(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝eq\f(lg(1－x2),|x－2|－2)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.))【解析】(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－eq\r(3)，eq\r(3)}，從而f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得定義域?yàn)?－1，0)∪(0，1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq\f(lg(1－x2),－x).又∵f(－x)＝eq\f(lg[1－(－x)2],x)＝－eq\f(lg(1－x2),－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).∵當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).【例1-2】（2020·棗莊市第三中學(xué)高二月考）設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，，，故函數(shù)是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤，為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，是奇函數(shù)，故正確．為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，故選：．規(guī)律方法判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.考點(diǎn)二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用【例2-1】(1)(2020·南充一模)設(shè)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1＋x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))＝()A.－eq\f(3,4) B.－eq\f(1,4) C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)(2)(2019·山東期末)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2).若當(dāng)x[－3，0]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝________.【解析】(1)∵f(x)是周期為4的奇函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))又0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1＋x)故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝－eq\f(3,4).(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函數(shù)，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.規(guī)律方法1.根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時(shí)，應(yīng)根據(jù)周期性或奇偶性，由待求區(qū)間轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間.2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.第(1)題法二是利用周期性構(gòu)造一個(gè)特殊函數(shù)，優(yōu)化了解題過(guò)程.考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【例3－1】（2020·四川省瀘縣第四中學(xué)高三三模（理））定義運(yùn)算，則函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】圖象題應(yīng)用排除法比較簡(jiǎn)單，先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)排除、；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意得，且函數(shù)為奇函數(shù)，排除、；；當(dāng)時(shí)，，令，令，函數(shù)在上是先遞減再遞增的，排除選項(xiàng)；故選：．【例3－2】（2020·湖北省武漢二中高二期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增.設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)為增函數(shù)，對(duì)分類(lèi)討論，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，所以，在上為增函數(shù)，由題意得，，否則不成立，當(dāng)時(shí)，，，且，，即時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，，且，，故當(dāng)時(shí)，不成立.綜上所述，【例3－3】（2020·湖南省雅禮中學(xué)高三月考（理））定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，則____________.【答案】【分析】，令，則，進(jìn)一步可得函數(shù)的周期為4，，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，令，則，所以故函數(shù)的周期為4，所以，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則為偶函數(shù)，又因?yàn)椋?，即，解得，又，即，?故答案為：規(guī)律方法1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性.2.本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的討論，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.規(guī)律方法周期性與奇偶性結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類(lèi)問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.[方法技巧]1.判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.2.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問(wèn)題：(1)求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫(huà)函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性.3.在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.[易錯(cuò)防范]1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件.2.函數(shù)f(x)滿(mǎn)足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)f(x)滿(mǎn)足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.課時(shí)作業(yè)1．函數(shù)()A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．是非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)．2．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．是奇函數(shù) B．是周期函數(shù)C．有零點(diǎn) D．在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)?，且，則為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，若是周期函數(shù)，設(shè)其最小正周期為，則，即，變形得，，對(duì)任意恒成立，令，可得，，設(shè)，而，，所以只有唯一的解，故由，由此可知它不是周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋谏嫌辛泓c(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，由于，故在上單調(diào)遞增，故D正確.3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由基本函數(shù)的性質(zhì)得：為偶函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.4．函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在為奇函數(shù)．若，滿(mǎn)足則：函數(shù)在單調(diào)遞減即：5．已知函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則()A．-2 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，故選A.6．已知是定義在上的偶函數(shù)，且，如果當(dāng)時(shí)，，則（）A．3 B．-3 C．2 D．-2【答案】C【解析】由，得，所以是周期為8的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，又是定義在R上的偶函數(shù)所以.7．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：，當(dāng)時(shí)，有，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，則，，則，則，即；故選：B8．已知函數(shù)的定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且，，則A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以函?shù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)因?yàn)榈亩x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以函數(shù)的周期為T(mén)=4所以因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)所以所以選B9．（多選）已知函數(shù)，則下列對(duì)于的性質(zhì)表述正確的是（）A．為偶函數(shù)B．C．在上的最大值為D．在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)【答案】ABCD【解析】因?yàn)?，所以其的定義域?yàn)?，A選項(xiàng)，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，因此，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?，即，由零點(diǎn)存在性定理可得：在區(qū)間上存在零點(diǎn)，故D正確；10．（多選）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對(duì)于任意，都有成立，當(dāng)時(shí)，，給出下列結(jié)論，其中正確的是()A．B．點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【解析】在中，令，得，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，，故是一個(gè)周期為4的奇函數(shù)，因是的對(duì)稱(chēng)中心，所以也是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故A、B正確；作出函數(shù)的部分圖象如圖所示，易知函數(shù)在上不具單調(diào)性，故C不正確；函數(shù)在上有7個(gè)零點(diǎn)，故D不正確.11．（多選）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)都有成立，當(dāng)且時(shí)，有.則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．在上有5個(gè)零點(diǎn)C． D．直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)【答案】ABC【解析】對(duì)都有成立,則是以2為周期的周期函數(shù).當(dāng)且時(shí)，有，則在上單調(diào)遞減.由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)有………①，又是以2為周期的周期函數(shù)，有…………②，所以①②可得，所以A正確.由，則，為奇函數(shù)，則，又是以2為周期的周期函數(shù)，則.又在上單調(diào)遞減且，則時(shí).由為奇函數(shù)，所以則時(shí).根據(jù)是以2為周期的周期函數(shù)，則時(shí)，時(shí)所以在上有，有5個(gè)零點(diǎn),故B正確由是以2為周期的周期函數(shù)有，故C正確.由上可知，當(dāng)時(shí)，時(shí)，則其圖象不可能關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故D不正確.12．（多選）已知是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，若，則()A． B．C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，故可得，則，故選項(xiàng)正確；由上述推導(dǎo)可知，故錯(cuò)誤；又因?yàn)?，故選項(xiàng)正確.又因?yàn)?，故錯(cuò)誤.故選：AD.13．已知分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則___________.【答案】1【解析】∵，∴，又∵，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，∴，，∴，∴．14．若函數(shù)為偶函數(shù)，則．【答案】1【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，．15．已知奇函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)一切，且時(shí)，，則__________.【答案】【解析】由題可知：因?yàn)閷?duì)一切，，故關(guān)于對(duì)稱(chēng)；又因?yàn)槭?/p>