5.1.1變化率問(wèn)題及其幾何意義公開(kāi)課

過(guò)山車(chē)是一項(xiàng)富有刺激性的娛樂(lè)工具。那種風(fēng)馳電掣、有驚無(wú)險(xiǎn)的快感令不少人著迷。

問(wèn)題情境1oxy容易看出點(diǎn)B,C之間的曲線較點(diǎn)A,B之間的曲線更加“陡峭”.●B●A●C數(shù)學(xué)建模函數(shù)變化的快與慢

問(wèn)題情境2:函數(shù)變化的快與慢在必修第一冊(cè)中，我們研究了基本初等函數(shù)，定性知道“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”是越來(lái)越慢，“指數(shù)爆炸”比“直線上升”快得多，那么能否精確定量地刻畫(huà)變化速度的快慢呢？1.隨著對(duì)函數(shù)的深入研究產(chǎn)生了微積分,它是數(shù)學(xué)發(fā)展史上繼歐氏幾何后的又一個(gè)具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑.2.微積分的創(chuàng)立者是牛頓和萊布尼茨.他們都是著名的科學(xué)家.牛頓（1642-1727)是英國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是世界上出類(lèi)拔萃的科學(xué)家。

萊布尼茨(1646--1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人.第五章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過(guò)程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對(duì)函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類(lèi)問(wèn)題的處理直接相關(guān)：用什么量精確刻畫(huà)變量變化的快與慢？一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù),求物體在

任意時(shí)刻的速度與加速度等;

二、求曲線的切線;

三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;

四、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐?wèn)題最一般、最有效的工具。導(dǎo)數(shù)研究的問(wèn)題即變化率問(wèn)題：研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度．5.1.1變化率問(wèn)題oxy容易看出點(diǎn)B,C之間的曲線較點(diǎn)A,B之間的曲線更加“陡峭”.如何量化陡峭程度呢？該比值近似量化B,C之間這一段曲線的陡峭程度.●B●A●C情境1：t1t2S(t1)S(t2)A（21,70）B（24,100）O（0,0）問(wèn)：為什么0---t1圖像比t1---t2“平緩”？21-0=21(s)70-0=70(m)慢快路程隨時(shí)間變化關(guān)系S=S（t）時(shí)間的改變量

Δt=t2-t1路程的改變量Δs=S2-S1路程差/時(shí)間差(Δs/Δt)速度變化快慢24-21=3(s)100-70=30(m)30/3=10(m/s)70/21=3.3(m/s)<如何量化圖象“平緩（變化慢）”“陡峭（變化快）”？情境2：路程隨時(shí)間變化曲線：路程在［t1,t2］變化率(快慢)：

hto在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+4.8t+11.如何描述運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過(guò)程中的快慢程度呢？情境3：高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度平均速度請(qǐng)計(jì)算：hto你有什么發(fā)現(xiàn)？在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng),就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度．我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度如何求物體在t=1s的瞬時(shí)速度呢？Δt<0Δt>0-0.01-4.9510.01-5.049-0.001-4.99510.001-5.0049-0.0001-4.999510.0001-5.00049-0.00001-4.9999510.00001-5.000049-0.000001-4.99999510.000001-5.0000049解:

(1)思考：思考：解:

(2)平均速度及瞬時(shí)速度思考：你覺(jué)得平均速度及瞬時(shí)速度的幾何意義是什么呢？hto思考1:Poxyy=f(x)割線切線T

請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)沿著曲線逐漸向點(diǎn)接近時(shí),割線繞著點(diǎn)P逐