空間向量與空間距離

空間向量與空間距離（45分鐘100分）一、選擇題(每小題6分,共30分) 1.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-1,0,1),B(1,3,5),C(-1,-1,1),則BC邊上的中線AD的長為()A.6 B.6 C.3 D.32.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點(diǎn),則點(diǎn)A1到平面MBD的距離是()A.66a B.36a C.343.(2013·開封高二檢測)四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F分別為PB,PD的中點(diǎn),則P到直線EF的距離為()A.1 B.22 C.324.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,E為CD的中點(diǎn),則點(diǎn)D1到平面AEC1的距離為()A.6 B.3 C.2 D.15.(2013·石家莊高二檢測)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則直線A1C1到平面ACD1的距離為()A.1 B.33 C.63二、填空題(每小題8分,共24分)6.(2013·東莞高二檢測)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,則AC1的長為.7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面為直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中點(diǎn),則A1B1到平面ABE的距離是.8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,則平面A1BC1與平面ACD1的距離是.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.正方形ABCD的邊長為2,E,F分別是AB和CD的中點(diǎn),將正方形沿EF折成直二面角(如圖所示),M是矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn),如果∠MB'E=∠MB'C',MB'和平面B'C'FE所成的角的正切值為12,求點(diǎn)M到直線EF的距離.10.(2013·濟(jì)南高二檢測)如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求|BF(2)求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離.11.(能力挑戰(zhàn)題)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分別為CC1,B1C1,A1C1的中點(diǎn),EF與B1D相交于點(diǎn)H.(1)求證:B1D⊥平面ABD.(2)求證:平面EGF∥平面ABD.(3)求平面EGF與平面ABD的距離.答案解析1.【解析】選A.易知D(0,1,3),∴AD→=(1,1,2),∴|AD2.【解析】選A.如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(a,0,a),M(a,0,a2),B(a,a,0),D(0,0,0)∴MA1→=(0,0,a2),DM→=(a,0,QUOTEn·DM→=ax+a2z=0,n·∴點(diǎn)A1到平面MBD的距離為QUOTE|n·MA1→||n|【一題多解】由于M是AA1的中點(diǎn),故A1與A到平面MBD的距離相等.又VA-MBD=VB-AMD,即13×12×2a×32a×h=13×12×a2×a3.【解析】選D.建系如圖,即P(0,0,2),E(1,0,1),F(0,1,1),∴EP→=(-1,0,1),∴EP→在EF→上的投影為|EP∴點(diǎn)P到直線EF的距離為|EP→|4.【解題指南】先求平面AEC1的法向量,代入點(diǎn)面距公式求解.【解析】選A.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(3,0,0),D1(0,0,3),E(0,32,0),C1AE→=(-3,AC1→設(shè)n=(x,y,z)為平面AEC1的法向量,則令x=1,得y=2,z=-1,∴n=(1,2,-1).∴D1到平面AEC1的距離為QUOTE|D1C1→·n||n|=|(5.【解析】選B.易知A1C1∥平面ACD1,則點(diǎn)A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離.建系如圖,易知AA1平面ACD1的一個(gè)法向量為n=(1,1,1),故所求的距離為QUOTE|AA1→·n||n|=6.【解析】AC1→=AB→∴|AC1→|2=(AB→+=|AB→|2+|AD→|2+|AA1→|2+2AB→·=1+22+32+2|AB→|·|AD→|·cos<AB→,AD→>+2|AB→|2|AD→|·|AA1→|·cos<AD→,AA1→>=14+2×1×2cos90°+2×1∴|AC1→|=23,即AC1答案:237.【解析】以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,23,0),E(0,3,1),A1(1,0,2),∴AB→=(0,23,0),BE設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z),則解得x=zy=0取z=1,則n=(1,0,1).又易證A1B1∥平面ABE,所以A1B1到平面ABE的距離等于點(diǎn)A1到平面ABE的距離,又AA∴點(diǎn)A1到平面ABE的距離為QUOTE|AA1→·n||n|=22答案:28.【解析】由AD1∥BC1,A1B∥D1C可證得平面A1BC1∥平面ACD1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,∵AB=4,BC=3,CC1=2,則A1(3,0,2),B(3,4,0),C1(0,4,2),A(3,0,0).∴A1B→=(0,4,-2),BC1→=(-3,0,2).設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z),則n⊥解得x=2取z=6,則n=(4,3,6),又AB則平面A1BC1與平面ACD1的距離為QUOTE|AB→·n||n|=1242+答案:129.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,作MN⊥EF,垂足為N,則MN⊥平面B'C'FE,連接B'N,則∠MB'N即為MB'與平面B'C'FE所成的角,∴tan∠MB'N=12設(shè)M(0,y,z),0<y<2,0<z<1,則由題意可知N(0,y,0),而E(0,0,0),B'(1,0,0),C'(1,2,0),∴B'E→=(-1,0,0),B'C'→=(0,2,0),B'M∴cos∠MB'E=B'M→·cos∠MB'C'=B'M→·B'C'→|B'M→||B'C'→|=∵∠MB'E=∠MB'C',∴y=1,z=22因此點(diǎn)M到直線EF的距離為2210.【解析】以D為原點(diǎn),DA,DC,DF所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).(1)設(shè)F(0,0,a),由AF→=E∴a=2.∴F(0,0,2),BF∴|BF→|=2(2)設(shè)n=(x,y,z)為平面AEC1F的法向量,由QUOTEn·AE→=0,n·AF→取z=1,則n=(1,-14,1),又C∴C到平面AEC1F的距離d=QUOTE|CC1→·n||n|=11.【解題指南】尋找條件中的三線兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系,正確地求出圖中各點(diǎn)坐標(biāo),然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明、求解.【解析】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)A1(a,0,0),則B1(0,0,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G(a2(1)B1D→=(0,2,2),A∴B1D→·AB→∴B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.(2)∵AB→=(-a,0,0),GF→=(-a2∴GF→=12AB→,EF→=1又GF∩EF=F,AB∩BD=B,∴平面EGF∥平面ABD.(3)方法一:由(1)(2)知DH為平面EFG與平面ABD的公垂線段.設(shè)B1H→=λB1D→=(0,2λ,2λ),則EH∵EH→與EF→共線,∴2λ1=∴B1H→=(0,12,12),