必修四三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義

1、4—1、5三角函數(shù)得圖象與性質(zhì)一、正弦函數(shù)得圖象與性質(zhì)1、利用描點法作函數(shù)圖象(列表、描點、連線)自變量––––注意:(1)由于sin(2k＋)＝sin,因此作正弦函數(shù)圖象時,我們經(jīng)常采用“五點法”:(0,0),(,1),(,0),(,－1),(2,0);再通過向左、右平移(每次2個單位),即可得正弦函數(shù)圖象;(2)正弦函數(shù)自變量一般采用弧度制。二、余弦函數(shù)得圖象1、余弦函數(shù)得圖象:y＝cosx＝sin(x＋)可將正弦函數(shù)y＝sinx向左平移個單位得到。2、“五點作圖法”:(0,1),(,0),(,－1),(,0),(2,1)三、正、余弦函數(shù)得性質(zhì)f(x)＝sinxh(x)＝cosxf(x)＝sinxh(x)＝cosx定義域RR值域[－1,1]當x＝2k＋時,f(x)max＝1當x＝2k－時,f(x)min＝－1[－1,1]當x＝2k時,f(x)max＝1當x＝2k＋時,f(x)min＝－1單調(diào)區(qū)間[2k－,2k＋]單增[2k＋,2k＋]單減[2k,2k＋]單減[2k＋,2k＋2]單增對稱軸x＝k＋x＝k對稱中心(k,0)(k＋,0)周期性sin(2k＋)＝sincos(2k＋)＝cos最小正周期為2奇偶性sin(－)＝－sin奇函數(shù)cos(－)＝cos例1:求下列函數(shù)得定義域。(1)f(x)＝(2)f(x)＝變式練習1:求下列函數(shù)得定義域(1)f(x)＝lg(sinx)(2)f(x)＝(3)f(x)＝變式練習2:已知cosx＝－,且x∈[0,2],則角x等于()A:或 B:或C:或 D:或【解析】A變式練習3:當x∈時[0,2],滿足sin(－x)≥－得x得取值范圍就是()A:[0,] B:[,2]C:[0,]∪[,2] D:[,]【解析】C例2:下列函數(shù)圖象相同得就是()A:y＝sinx與y＝sin(x＋)B:y＝cosx與y＝sin(－x)C:y＝sinx與y＝sin(－x)D:y＝－sin(2＋x)與y＝sinx【解析】B變式練習1:y＝1＋sinx,x∈[0,2]得圖象與直線y＝2交點得個數(shù)就是()A:0 B:1 C:2 D:3解析B變式練習2:函數(shù)y＝sin(－x),x∈[0,2]得簡圖就是()【解析】B變式練習3:、函數(shù)y＝2sinx與函數(shù)y＝x圖象得交點________個。【解析】在同一坐標系中作出函數(shù)y＝2sinx與y＝x得圖象可見有3個交點。3個變式練習4:、若函數(shù)y＝2cosx(0≤x≤2)得圖象與直線y＝2圍成一個封閉得平面圖形,則這個封閉圖形得面積為___________?！窘馕觥?圖形S1與S2,S3與S4就是兩個對稱圖形,有S1＝S2,S3＝S4,因此函數(shù)y＝2cosx得圖象與直線y＝2所圍成得圖形面積可以轉化為求矩形OABC得面積。因為|OA|＝2,|OC|＝2π,所以S矩形OABC＝2×2π＝4π、故所求封閉圖形得面積為4π、四、正切函數(shù)得圖象與性質(zhì)【三點兩線】定義域:x≠k＋k∈Z值域:R周期性:最小正周期T＝單調(diào)遞增區(qū)間:(k－,k＋)奇偶性:tan(－x)＝－tanx奇函數(shù)對稱中心:(,0)例3:求函數(shù)f(x)＝tan(2x－)得定義域,最小正周期、單調(diào)區(qū)間以及對稱中心。例4:若直線過點M(2,2)且與以點P(－2,－3)、Q(1,0)為端點得線段恒相交,則直線得斜率得范圍就是_________?！窘馕觥?≤k≤2變式練習:若直線過點M(0,2)且與以點P(－2,－3)、Q(1,0)為端點得線段恒相交,則直線得斜率得范圍就是_________?！窘馕觥?k≤－2,k≥五、函數(shù)y＝sin(x＋)得圖象與性質(zhì)(一)由y＝sinx得圖象通過變換法作y＝Asin(x＋)得圖象1、先平移后伸縮:y＝sinxy＝sin(x＋)y＝sin(x＋)y＝Asin(x＋)2、先伸縮后平移:y＝sinxy＝sinxy＝sin[(x＋)]y＝Asin(x＋)例5:把函數(shù)y＝sin(2x＋)得圖象向右平移個單位,再把所得圖象上各點得縱坐標縮短到原來得,則所得圖象得函數(shù)解析式為()A:y＝sin(4x＋)B:y＝sin(4x＋)C:y＝sin4xD:y＝sin2x【解析】:D變式練習1:將函數(shù)y＝sin(x＋)得圖象上所有點得橫坐標伸長到原來得2倍(縱坐標不變),所得圖象得函數(shù)解析式就是()A:y＝cos2x B:y＝sin(2x＋)QUOTE2x+π4C:y＝sinQUOTE12x+π8(x＋) D:y＝sin(x＋)【解析】:選D變式練習2:已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)(＞0)得最小正周期為,則函數(shù)f(x)得圖象可以由函數(shù)y＝sin2x得圖象()A:向左平移個單位長度B:向右平移QUOTEπ6個單位長度C:向左平移個單位長度D:向右平移個單位長度【解析】選A變式練習3:要得到函數(shù)y＝2cos(2x－)QUOTE2x-π6得圖象,只要將函數(shù)y＝2cos2x得圖象()A:向左平行移動個單位長度B:向右平行移動個單位長度C:向左平行移動QUOTEπ12個單位長度D:向右平行移動個單位長度【解析】選D變式練習4:要得到函數(shù)y＝sin(2x－)得圖象,只需將函數(shù)y＝－cos(2x－)得圖象()A:向左平移個單位長度B:向左平移個單位長度C、向右平移個單位長度D:向右平移個單位長度【解析】選C、由于y＝－cos(2x－π)＝cos2x＝sin2x+π2＝y(tǒng)＝sin2x-π3＝sin2x-故只需將函數(shù)y＝－cos(2x－π)得圖象向右平移512π個單位長度得到函數(shù)y＝sin2五、有關函數(shù)y＝Asin(x＋)得性質(zhì)1、定義域為R2、值域為[－A,A]3、最小正周期T＝4、當＝k時,函數(shù)y＝Asin(x＋)為奇函數(shù);當＝k＋函數(shù)就是偶函數(shù)。5、對于函數(shù)y＝Asin(x＋)(A＞0,＞0)得單調(diào)區(qū)間,把x＋瞧成整體2k－≤x＋≤2k＋,解出x得范圍為函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間2k＋≤x＋≤2k＋,解出x得范圍為函數(shù)得單調(diào)遞減區(qū)間6、函數(shù)y＝Asin(x＋)得對稱軸x＋＝k＋,解出x求得;對稱中心x＋＝k,解出x求得。例6:指出函數(shù)y＝3sin(2x－)得定義域、值域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對稱軸以及對稱中心。變式練習1:函數(shù)f(x)＝3sin(x＋)在下列區(qū)間內(nèi)遞減得就是()A:[－,]B:[0,] C:[－,]D:[,]【解析】:令2kπ＋π2≤x＋π6≤2kπ＋3π2,k∈Z可得2kπ＋π3≤x≤2kπ＋4π3,k∈Z,∴函數(shù)f(x)得遞減區(qū)間為2k變式練習2:設函數(shù)f(x)＝sin(2x－),x∈R,則f(x)就是()A:最小正周期為得奇函數(shù)B:最小正周期為得偶函數(shù)C:最小正周期為得奇函數(shù)D:最小正周期為得偶函數(shù)【解析】:因為f(x)＝sin2x-π2＝-cos2x,所以f(-x)＝-cos2(-x)＝所以f(x)就是最小正周期為π得偶函數(shù)、答案:B例7:若函數(shù)得圖象關于直線對稱,那么︱︱得最小值為()A:B:C: D:【解析】:B例8:函數(shù)f(x)＝Asin(x＋)(A＞0,＞0,︱︱＜)得部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)得解析式為()A:f(x)＝2sin(x－) B:f(x)＝2sin(2x－) C:f(x)＝2sin(x＋) D:f(x)＝2sin(2x－)【解析】:B變式練習1:已知cos＝－,且∈(,),函數(shù)f(x)＝sin(x＋)(＞0)得圖象得相鄰兩條對稱軸之間得距離等于,則f()得值為()。A:B:－C:D:－【解析】:B變式練習2:已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)(＞0,︱︱＜)得部分圖象如圖,則＝_______。【解析】:變式練習3:已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)(＞0)得圖象如右圖如示,則f(4)＝______?！窘馕觥?變式練習4:函數(shù)f(x)＝sin(x＋),(︱︱＜)得部分圖象如圖所示,則f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間為()A:(－1＋4k,1＋4k),k∈Z B:(－3＋8k,1＋8k),k∈ZC:(－1＋4k,1＋4k),k∈Z D:(－3＋8k,1＋8k),k∈Z【解析】:【解答】解:根據(jù)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ),(|φ|＜)得部分圖象,可得＝3﹣1＝2,求得ω＝,再根據(jù)五點法作圖可得?1＋φ＝,∴φ＝,∴f(x)＝sin(x＋).令2kπ﹣≤x＋≤2kπ＋,求得8k﹣3≤x≤8k＋1,故函數(shù)得增區(qū)間為[﹣3＋8k,1＋8k],k∈Z,故選:D.例9:已知函數(shù)f(x)＝sin(2x－)(1)求函數(shù)f(x)得最小正周期。(2)求函數(shù)f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間以及對稱中心。(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[,]上得最大值與最小值。變式練習1:已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)(其中＞0,||＜),若函數(shù)y＝f(x)得圖象與x軸得任意兩個相鄰交點間得距離為,且直線x＝就是函數(shù)y＝f(x)圖象得一條對稱軸、(1)求得值;(2)求y＝f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間;(3)若x∈[－,],求y＝f(x)得值域?！窘馕觥?(1)因為函數(shù)y＝f(x)得圖象與x軸得任意兩個相鄰交點間得距離為π2,所以函數(shù)得周期T＝π,所以ω＝2ππ＝2、(2)因為直線x＝π6就是函數(shù)y＝f(x)圖象得一條對稱軸,所以2×π6＋φ＝kπ＋π2,k∈Z,φ＝kπ＋π6,k∈所以函數(shù)得解析式就是y＝sin2x+π6、令2x＋π6解得x∈kπ-π3,kπ+π(3)因為x∈-π6,π3,所以2x即函數(shù)得值域為-1變式練習2:設函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)(－＜＜0),已知它得一條對稱軸就是直線x＝。(1)求;(2)求函數(shù)f(x)得單調(diào)遞減區(qū)間;(3)求函數(shù)得對稱中心;(4)當x∈[,]函數(shù)f(x)得取值范圍。【解析】(1)函數(shù)得一條對稱軸就是直線x＝π8,2×π8＋φ＝kπ＋π2,k∈Z,因為-π<φ<0,所以φ＝-3π4、(2)由(1)知,f(x)＝sin2x-3π4,π2＋2kπ≤2x-3π4≤3π2＋2kπ,k∈Z,即5π變式練習3:設函數(shù)f(x)＝tan(－)。(1)求函數(shù)f(x)得定義域、周期與單調(diào)區(qū)間;(2)求不等式－1≤f(x)≤得解集?！窘狻?(1)由x2-π3≠π2+kπ(k∈Z),得x≠5π3+2kπ,∴f(x)得定義域就是x∈Rx由-π2+kπ<x2-π3<π2+kπ(k∴函數(shù)f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間就是-π3+2(2)由-1≤tanx2-π3≤3,得-π4+kπ≤x2-∴不等式-1≤f(x)≤3得解集就是xπ課后綜合練習1、下列函數(shù)中,最小正周期為得就是()A:y＝sinxB:y＝cosxC:y＝sinD:y＝cos2x【解析】:D2、不等式sinx≥,x∈[0,]得解集為()A:[,]B:[,]C:[,]D:[,]【解析】:B3、函數(shù)f(x)＝tan(x－)與函數(shù)g(x)＝sin(－2x)得最小正周期相同,則等于()A:±1B:1C:±2D:2【解析】:A4、函數(shù)圖象得一條對稱軸就是()A:直線 B:直線 C:直線 D:直線【解析】:D5、把函數(shù)y＝sinx得圖象經(jīng)過變換可得到函數(shù)y＝cosx得圖象,這個變換就是()A:向右平移個單位B:向左平移個單位C:向右平移個單位D:向左平移個單位【解析】:B6、將函數(shù)f(x)＝sin(x－)得圖象上所有點得橫坐標伸長到原來得2倍(縱坐標不變),再將所得圖象上得所有點向左平移個單位,得到得圖象對應得解析式就是()A:y＝sinxB:y＝sin(x－)C:y＝sin(x－)D:y＝sin(2x－)【解析】:C7、把函數(shù)y＝sin(2x＋)得圖象向右平移個單位長度后,所得得圖象對應得函數(shù)就是()A:奇函數(shù)B:偶函數(shù)C:既就是奇函數(shù)又就是偶函數(shù)D:非奇非偶函數(shù)【解析】:D8、下列函數(shù)中,圖象得一部分就是右圖得就是()A:y＝sin(x＋)B:y＝sin(2x－)C:y＝cos(4x－)D:y＝cos(2x－)【解析】:D9、若,函數(shù)得定義域就是__________?！窘馕觥?10、如果直線與函數(shù)有且只有一個交點,則。【解析】:±111、函數(shù)得單調(diào)區(qū)間就是()A: B:C: D:【解析】:B12、函數(shù)f(x)＝Acos(x＋)(A＞0,＞0)得部分圖象如圖所示,則f(1)＋f(2)＋f(3)＋……＋f(2011)＋f(2012)得值為()A:2＋B:C:2＋2D:0【解析】:f(x)＝Acos(x＋),f(x)＝2sinx【不能代(0,0)】,∵f(