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文檔簡介
2024年西藏自治區(qū)昌都市第三高級中學高三上數學期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線:的焦點為,過點的直線交拋物線于,兩點,其中點在第一象限,若弦的長為,則()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或2.已知集合,,若AB,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.3.若,則下列關系式正確的個數是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.44.已知,是函數圖像上不同的兩點,若曲線在點,處的切線重合,則實數的最小值是()A. B. C. D.15.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內外.據統(tǒng)計,煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:)服從正態(tài)分布,則直徑在內的概率為()附:若,則,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95446.某地區(qū)高考改革,實行“3+2+1”模式,即“3”指語文、數學、外語三門必考科目,“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門,“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學科中任意選擇兩門學科,則一名學生的不同選科組合有()A.8種 B.12種 C.16種 D.20種7.某學校調查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是17.5,30],樣本數據分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是()A.56 B.60 C.140 D.1208.中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若取3,當該量器口密閉時其表面積為42.2(平方寸),則圖中x的值為()A.3 B.3.4 C.3.8 D.49.a為正實數,i為虛數單位,,則a=()A.2 B. C. D.110.已知雙曲線的左、右焦點分別為、,拋物線與雙曲線有相同的焦點.設為拋物線與雙曲線的一個交點,且,則雙曲線的離心率為()A.或 B.或 C.或 D.或11.若函數恰有3個零點,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.12.設集合,,若,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設雙曲線的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為____________.14.函數的最小正周期為________;若函數在區(qū)間上單調遞增,則的最大值為________.15.設函數,則______.16.公比為正數的等比數列的前項和為,若,,則的值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數.(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;(Ⅱ)當時,求函數在上最小值.18.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.19.(12分)已知函數.(1)解不等式;(2)使得,求實數的取值范圍.20.(12分)已知直線與橢圓恰有一個公共點,與圓相交于兩點.(I)求與的關系式;(II)點與點關于坐標原點對稱.若當時,的面積取到最大值,求橢圓的離心率.21.(12分)某網絡商城在年月日開展“慶元旦”活動,當天各店鋪銷售額破十億,為了提高各店鋪銷售的積極性,采用搖號抽獎的方式,抽取了家店鋪進行紅包獎勵.如圖是抽取的家店鋪元旦當天的銷售額(單位:千元)的頻率分布直方圖.(1)求抽取的這家店鋪,元旦當天銷售額的平均值;(2)估計抽取的家店鋪中元旦當天銷售額不低于元的有多少家;(3)為了了解抽取的各店鋪的銷售方案,銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進行銷售研究,求抽取的店鋪銷售額在中的個數的分布列和數學期望.22.(10分)已知均為正實數,函數的最小值為.證明:(1);(2).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
先根據弦長求出直線的斜率,再利用拋物線定義可求出.【詳解】設直線的傾斜角為,則,所以,,即,所以直線的方程為.當直線的方程為,聯(lián)立,解得和,所以;同理,當直線的方程為.,綜上,或.選C.【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關系,弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現了到焦點的距離時,一般考慮拋物線的定義.2、D【解析】
先化簡,再根據,且AB求解.【詳解】因為,又因為,且AB,所以.故選:D【點睛】本題主要考查集合的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.3、D【解析】
a,b可看成是與和交點的橫坐標,畫出圖象,數形結合處理.【詳解】令,,作出圖象如圖,由,的圖象可知,,,②正確;,,有,①正確;,,有,③正確;,,有,④正確.故選:D.【點睛】本題考查利用函數圖象比較大小,考查學生數形結合的思想,是一道中檔題.4、B【解析】
先根據導數的幾何意義寫出在兩點處的切線方程,再利用兩直線斜率相等且縱截距相等,列出關系樹,從而得出,令函數,結合導數求出最小值,即可選出正確答案.【詳解】解:當時,,則;當時,則.設為函數圖像上的兩點,當或時,,不符合題意,故.則在處的切線方程為;在處的切線方程為.由兩切線重合可知,整理得.不妨設則,由可得則當時,的最大值為.則在上單調遞減,則.故選:B.【點睛】本題考查了導數的幾何意義,考查了推理論證能力,考查了函數與方程、分類與整合、轉化與化歸等思想方法.本題的難點是求出和的函數關系式.本題的易錯點是計算.5、C【解析】
根據服從的正態(tài)分布可得,,將所求概率轉化為,結合正態(tài)分布曲線的性質可求得結果.【詳解】由題意,,,則,,所以,.故果實直徑在內的概率為0.8185.故選:C【點睛】本題考查根據正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題,考查了正態(tài)曲線的對稱性,屬于基礎題.6、C【解析】
分兩類進行討論:物理和歷史只選一門;物理和歷史都選,分別求出兩種情況對應的組合數,即可求出結果.【詳解】若一名學生只選物理和歷史中的一門,則有種組合;若一名學生物理和歷史都選,則有種組合;因此共有種組合.故選C【點睛】本題主要考查兩個計數原理,熟記其計數原理的概念,即可求出結果,屬于常考題型.7、C【解析】
試題分析:由題意得,自習時間不少于小時的頻率為,故自習時間不少于小時的頻率為,故選C.考點:頻率分布直方圖及其應用.8、D【解析】
根據三視圖即可求得幾何體表面積,即可解得未知數.【詳解】由圖可知,該幾何體是由一個長寬高分別為和一個底面半徑為,高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為,解得,故選:D.【點睛】本題考查由三視圖還原幾何體,以及圓柱和長方體表面積的求解,屬綜合基礎題.9、B【解析】
,選B.10、D【解析】
設,,根據和拋物線性質得出,再根據雙曲線性質得出,,最后根據余弦定理列方程得出、間的關系,從而可得出離心率.【詳解】過分別向軸和拋物線的準線作垂線,垂足分別為、,不妨設,,則,為雙曲線上的點,則,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故選:D.【點睛】本題考查了雙曲線離心率的求解,涉及雙曲線和拋物線的簡單性質,考查運算求解能力,屬于中檔題.11、B【解析】
求導函數,求出函數的極值,利用函數恰有三個零點,即可求實數的取值范圍.【詳解】函數的導數為,令,則或,上單調遞減,上單調遞增,所以0或是函數y的極值點,函數的極值為:,函數恰有三個零點,則實數的取值范圍是:.故選B.【點睛】該題考查的是有關結合函數零點個數,來確定參數的取值范圍的問題,在解題的過程中,注意應用導數研究函數圖象的走向,利用數形結合思想,轉化為函數圖象間交點個數的問題,難度不大.12、C【解析】
由得出,利用集合的包含關系可得出實數的取值范圍.【詳解】,且,,.因此,實數的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用集合的包含關系求參數,考查計算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據漸近線得到,,計算得到離心率.【詳解】,一條漸近線方程為:,故,,.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,意在考查學生的計算能力.14、【解析】
直接計算得到答案,根據題意得到,,解得答案.【詳解】,故,當時,,故,解得.故答案為:;.【點睛】本題考查了三角函數的周期和單調性,意在考查學生對于三角函數知識的綜合應用.15、【解析】
由自變量所在定義域范圍,代入對應解析式,再由對數加減法運算法則與對數恒等式關系分別求值再相加,即為答案.【詳解】因為函數,則因為,則故故答案為:【點睛】本題考查分段函數求值,屬于簡單題.16、56【解析】
根據已知條件求等比數列的首項和公比,再代入等比數列的通項公式,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點睛】本題考查等比數列的通項公式和前項和公式,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)當時,函數的最小值是;當時,函數的最小值是【解析】
(1)求出導函數,并且解出它的零點x=,再分區(qū)間討論導數的正負,即可得到函數f(x)的單調區(qū)間;
(2)分三種情況加以討論,結合函數的單調性與函數值的大小比較,即可得到當0<a<ln2時,函數f(x)的最小值是-a;當a≥ln2時,函數f(x)的最小值是ln2-2a.【詳解】函數的定義域
為.
因為,令,可得;
當時,;當時,,綜上所述:可知函數的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為當,即時,函數在區(qū)間上是減函數,
的最小值是當,即時,函數在區(qū)間上是增函數,的最小值是當,即時,函數在上是增函數,在上是減函數.
又,
當時,的最小值是;
當時,的最小值為綜上所述,結論為當時,函數的最小值是;
當時,函數的最小值是.【點睛】求函數極值與最值的步驟:(1)確定函數的定義域;(2)求導數;(3)解方程求出函數定義域內的所有根;(4)列表檢查在的根左右兩側值的符號,如果左正右負(左增右減),那么在處取極大值,如果左負右正(左減右增),那么在處取極小值.(5)如果只有一個極值點,則在該處即是極值也是最值;(6)如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點值的函數值與極值的大小18、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性質可得平面,即可得到,從而得證;(Ⅱ)在平面中,過點作于點,則平面,如圖所示建立空間直角坐標系,設,其中,利用空間向量法得到二面角的余弦,即可得到的關系,從而得解;【詳解】解:(Ⅰ)證明:在中,,解得,則,從而因為平面平面,平面平面所以平面,又因為平面,所以,因為,,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,過點作于點,則平面,如圖所示建立空間直角坐標系,設,其中,則設平面的法向量為,則,即,令,則又平面的一個法向量,則從而,故則直線與平面所成的角為,大小為.【點睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質定理的應用,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.19、(1);(2)或.【解析】
(1)分段討論得出函數的解析式,再分范圍解不等式,可得解集;(2)先求出函數的最小值,再建立關于的不等式,可求得實數的取值范圍.【詳解】(1)因為,所以當時,;當時,無解;當時,;綜上,不等式的解集為;(2),又,或.【點睛】本題考查分段函數,絕對值不等式的解法,以及關于函數的存在和任意的問題,屬于中檔題.20、(Ⅰ)(II)【解析】
(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據判別式等于0,即可求出結果;(Ⅱ)因點與點關于坐標原點對稱,可得的面積是的面積的兩倍,再由當時,的面積取到最大值,可得,進而可得原點到直線的距離,再由點到直線的距離公式,以及(I)的結果,即可求解.【詳解】(I)由,得,則化簡整理,得;(Ⅱ)因點與點關于坐標原點對稱,故的面積是的面積的兩倍.所以當時,的面積取到最大值,此時,從而原點到直線的距離,又,故.再由(I),得,則.又,故,即,從而,即.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關系,以及橢圓的簡單性質,通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程,結合韋達定理、判別式等求解,屬于中檔試題.21、(1)元;(2)32家;(3)分布列見解析;【解析】
(1)根據頻率分布直方圖求出各組頻率,再由平均數公式,即可求解;(2)求出的頻率即可;(3)中的個數的所有可能取值為,,,求出可能值的概率,得到分布列,由期望公式即可求解.【詳解】(1)頻率分布直方圖銷售額的平均值為千元,所以銷售額的平均值為元;(2)不低于元的有家(3)銷售額在的店鋪有家,銷售額在的店鋪有家.選取兩家,設銷售額在的有家.則的所有可能取值為,,.,,所以的分布列為數學
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