2024年新疆維吾爾自治區(qū)沙灣一中數(shù)學(xué)高三上期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024年新疆維吾爾自治區(qū)沙灣一中數(shù)學(xué)高三上期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．20202．設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約束條件，則的最小值為（）A．2 B．24 C．16 D．143．已知向量，，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．周期為 D．在上是增函數(shù)4．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．5．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．6．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知正四面體的內(nèi)切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．278．已知為一條直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．在中，角、、的對邊分別為、、，若，，，則（）A． B． C． D．10．已知是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．11．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．12．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是______.14．如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn),點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，若直線平面EFG，則線段長度的最小值是________________.15．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．16．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、，滿足，則_____，_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：18．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．19．（12分）已知函數(shù)（），且只有一個(gè)零點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，且，證明：.20．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，，求證：.21．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A，B，求線段的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

首先，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)所求函數(shù)的周期性，得到其周期為4，然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可．【詳解】解：．，，的周期為，，，，，．．故選：C【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識，掌握輔助角公式化簡函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．2、D【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域，如下圖陰影部分，根據(jù)圖象，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

當(dāng)時(shí),,∴f(x)不關(guān)于直線對稱；當(dāng)時(shí),,∴f(x)關(guān)于點(diǎn)對稱；f(x)得周期，當(dāng)時(shí),,∴f(x)在上是增函數(shù)．本題選擇D選項(xiàng).4、D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù)，，而，因?yàn)樵谏线f減，，即．故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

設(shè)為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由，可得，即，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，，，轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.6、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到，此時(shí)與函數(shù)的圖象重合，則，即，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵．7、D【解析】

設(shè)正四面體的棱長為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，則，，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的球心為，則，解得：；設(shè)外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】A.若，則或，故A錯(cuò)誤；B.若，則或故B錯(cuò)誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.9、B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】，即，即，，，得，，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中角的正弦值的計(jì)算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.11、C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計(jì)算問題，其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.12、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡得，所以為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】

求出函數(shù)的零點(diǎn)，讓正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列，第三個(gè)正數(shù)零點(diǎn)落在區(qū)間上，第四個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間外即可．【詳解】由，得，，，，∵，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)零點(diǎn)，然后題意，把正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列，由于0已經(jīng)是一個(gè)零點(diǎn)，因此只有前3個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上．由此可得的不等關(guān)系，從而得出結(jié)論，本題解法屬于中檔題．14、【解析】

如圖，連接，證明平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG，所以點(diǎn)P在直線AC上.當(dāng)時(shí).線段的長度最小，再求此時(shí)的得解.【詳解】如圖，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)，所以，平面，則平面.因?yàn)椋酝淼闷矫?，?所以平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG，所以點(diǎn)P在直線AC上.在中，，故當(dāng)時(shí).線段的長度最小，最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.15、【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，湊而可知的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間；利用過一點(diǎn)的曲線切線的求法可求得兩切線斜率，結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知：，恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，即恒成立，，即是夾在函數(shù)與的圖象之間，的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn)，則切線斜率，解得：；設(shè)過原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn)，則切線斜率，解得：；當(dāng)時(shí)，，又，滿足題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問題的求解，重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點(diǎn)的曲線切線的求解方法；關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分母不為零的限制，忽略對于臨界值能否取得的討論.16、【解析】

利用已知條件，通過求解方程組即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、，滿足，解得，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，方程組的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，換元構(gòu)造新函數(shù)即可得解；（2）結(jié)合（1）可得，令，求導(dǎo)后證明其導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，結(jié)合，即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值，即可得證.【詳解】（1）對任意恒成立等價(jià)于對任意恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；有最大值，.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，即，，，令，則，令，則，在上是增函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.18、(Ⅰ)極大值為：，無極小值；(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值；(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明，即證,令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】(Ⅰ)的定義域?yàn)榍伊睿?；令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為，無極小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，則要證，即證，即證，即證即證由于，即，即證令則恒成立在遞增在恒成立【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，屬于難題．19、（1）（2）證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo)可得在上,在上,所以函數(shù)在時(shí),取最小值,由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),觀察可知?jiǎng)t有,即可求得結(jié)果.(2)由(1)可知為最小值,則構(gòu)造函數(shù)（）,求導(dǎo)借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得,即則有,由已知可得，由,可知,因?yàn)闀r(shí),為增函數(shù)，即可得證得結(jié)論.【詳解】（1）（）.因?yàn)?，所以，令得，，且，，在上；在上；所以函?shù)在時(shí)，取最小值，當(dāng)最小值為0時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，易得，所以，解得.（2）由（1）得，函數(shù)，設(shè)（），則，設(shè)（），則，，所以為減函數(shù)，所以，即，所以，即，又，所以，又當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查學(xué)生分析問題的能力,及邏輯推理能力,難度困難.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，即可得出該不等式的解集；（2）利用分析法可知，要證，即證，只需證明即可，因式分解后，判斷差值符號即可，由此證明出所證不等式成立.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí).綜上所述，不等式的解集為；（2）要證，即證，因?yàn)?，，?/p>