金太陽廣東省2024屆高三下學期適應性月考（一）數(shù)學試題

金太陽廣東省2024屆高三下學期適應性月考（一）數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．關于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產生個數(shù)對，其中，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，再統(tǒng)計，能與構成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.若，則的估計值為（）A． B． C． D．2．函數(shù)滿足對任意都有成立，且函數(shù)的圖象關于點對稱，，則的值為（）A．0 B．2 C．4 D．13．一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．4．設i為數(shù)單位，為z的共軛復數(shù)，若，則（）A． B． C． D．5．已知正四面體的內切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．276．已知復數(shù)z滿足i?z＝2+i，則z的共軛復數(shù)是（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i7．對于任意，函數(shù)滿足，且當時，函數(shù).若，則大小關系是（）A． B． C． D．8．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)位于復平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知中內角所對應的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．10．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復數(shù)，則復數(shù)（）A． B． C．4 D．511．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%12．己知全集為實數(shù)集R，集合A={x|x2+2x-8>0}，B={x|log2x<1}，則等于（）A．[4,2] B．[4,2) C．(4,2) D．(0,2)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若變量x，y滿足：，且滿足，則參數(shù)t的取值范圍為_______.14．已知集合，則_______．15．若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）在和兩處取得極值，且，則實數(shù)的取值范圍是______．16．如圖，在中，已知，為邊的中點．若，垂足為，則的值為__．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的最大值；（2）若，求證：.18．（12分）在中，角，，所對的邊分別是，，，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.19．（12分）已知圓：和拋物線：，為坐標原點．（1）已知直線和圓相切，與拋物線交于兩點，且滿足，求直線的方程；（2）過拋物線上一點作兩直線和圓相切，且分別交拋物線于兩點，若直線的斜率為，求點的坐標．20．（12分）武漢有“九省通衢”之稱，也稱為“江城”，是國家歷史文化名城.其中著名的景點有黃鶴樓、戶部巷、東湖風景區(qū)等等.（1）為了解“五·一”勞動節(jié)當日江城某旅游景點游客年齡的分布情況，從年齡在22歲到52歲的游客中隨機抽取了1000人，制成了如圖的頻率分布直方圖：現(xiàn)從年齡在內的游客中，采用分層抽樣的方法抽取10人，再從抽取的10人中隨機抽取4人，記4人中年齡在內的人數(shù)為，求；（2）為了給游客提供更舒適的旅游體驗，該旅游景點游船中心計劃在2020年勞動節(jié)當日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動節(jié)當日客流量（單位：萬人）都大于1.將每年勞動節(jié)當日客流量數(shù)據(jù)分成3個區(qū)間整理得表：勞動節(jié)當日客流量頻數(shù)（年）244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率，且每年勞動節(jié)當日客流量相互獨立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用，但每年勞動節(jié)當日型游船最多使用量（單位：艘）要受當日客流量（單位：萬人）的影響，其關聯(lián)關系如下表：勞動節(jié)當日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動節(jié)當日被投入且被使用，則游船中心當日可獲得利潤3萬元；若某艘型游船勞動節(jié)當日被投入?yún)s不被使用，則游船中心當日虧損0.5萬元.記（單位：萬元）表示該游船中心在勞動節(jié)當日獲得的總利潤，的數(shù)學期望越大游船中心在勞動節(jié)當日獲得的總利潤越大，問該游船中心在2020年勞動節(jié)當日應投入多少艘型游船才能使其當日獲得的總利潤最大？21．（12分）已知函數(shù).（1）若在處導數(shù)相等，證明：；（2）若對于任意，直線與曲線都有唯一公共點，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知正數(shù)x，y，z滿足xyzt（t為常數(shù)），且的最小值為，求實數(shù)t的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出，能與構成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到，能與構成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出.【題目詳解】因為，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，所以有，，若，能與構成銳角三角形三邊長，則，由幾何概型的概率計算公式知，所以.故選：B.【題目點撥】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率，考查學生的基本計算能力，是一個中檔題.2、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的圖象關于點對稱可得為奇函數(shù)，結合可得是周期為4的周期函數(shù)，利用及可得所求的值.【題目詳解】因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以的圖象關于原點對稱，所以為上的奇函數(shù).由可得，故，故是周期為4的周期函數(shù).因為，所以.因為，故，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函數(shù)滿足，那么是周期為的周期函數(shù)，本題屬于中檔題.3、A【解題分析】

由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，進而可求得隨機變量的數(shù)學期望值.【題目詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機變量的數(shù)學期望為.故選：A.【題目點撥】本題考查隨機變量數(shù)學期望的計算，考查計算能力，屬于基礎題.4、A【解題分析】

由復數(shù)的除法求出，然后計算．【題目詳解】，∴．故選：A.【題目點撥】本題考查復數(shù)的乘除法運算，考查共軛復數(shù)的概念，掌握復數(shù)的運算法則是解題關鍵．5、D【解題分析】

設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【題目詳解】設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，則，，，設內切球的半徑為，內切球的球心為，則，解得：；設外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【題目點撥】本題主要考查了多面體的內切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎題.6、D【解題分析】

兩邊同乘-i，化簡即可得出答案．【題目詳解】i?z＝2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復數(shù)為1+2i，選D.【題目點撥】的共軛復數(shù)為7、A【解題分析】

由已知可得的單調性，再由可得對稱性，可求出在單調性，即可求出結論.【題目詳解】對于任意，函數(shù)滿足，因為函數(shù)關于點對稱，當時，是單調增函數(shù)，所以在定義域上是單調增函數(shù).因為，所以，.故選:A.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)性質比較函數(shù)值的大小，解題的關鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式，屬于中檔題..8、A【解題分析】

計算，得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，故，表示的復數(shù)在第一象限.故選：.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的計算，意在考查學生的計算能力和理解能力.9、A【解題分析】

由余弦定理可得，結合可得a，b，再利用面積公式計算即可.【題目詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【題目點撥】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.10、D【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的四則運算法則先求出復數(shù)z，再計算它的模長．【題目詳解】解：復數(shù)z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故選D．【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)的計算問題，要求熟練掌握復數(shù)的四則運算以及復數(shù)長度的計算公式，是基礎題．11、B【解題分析】試題分析：由題意故選B．考點：正態(tài)分布12、D【解題分析】

求解一元二次不等式化簡A，求解對數(shù)不等式化簡B，然后利用補集與交集的運算得答案.【題目詳解】解：由x2+2x-8>0，得x＜-4或x＞2，

∴A={x|x2+2x-8>0}＝{x|x＜-4或x＞2}，

由log2x<1，x＞0，得0＜x＜2，

∴B={x|log2x<1}＝{x|0＜x＜2}，

則，

∴.

故選：D.【題目點撥】本題考查了交、并、補集的混合運算，考查了對數(shù)不等式，二次不等式的求法，是基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)變量x，y滿足：，畫出可行域，由，解得直線過定點，直線繞定點旋轉與可行域有交點即可，再結合圖象利用斜率求解.【題目詳解】由變量x，y滿足：，畫出可行域如圖所示陰影部分，由，整理得，由，解得，所以直線過定點，由，解得，由，解得，要使，則與可行域有交點，當時，滿足條件，當時，直線得斜率應該不小于AC，而不大于AB，即或，解得，且，綜上：參數(shù)t的取值范圍為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，還考查了轉化運算求解的能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

由可得集合是奇數(shù)集，由此可以得出結果.【題目詳解】解：因為所以集合中的元素為奇數(shù)，所以.【題目點撥】本題考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性質是本題解題的關鍵.15、【解題分析】

先將函數(shù)在和兩處取得極值，轉化為方程有兩不等實根，且，再令，將問題轉化為直線與曲線有兩交點，且橫坐標滿足，用導數(shù)方法研究單調性，作出簡圖，求出時，的值，進而可得出結果.【題目詳解】因為，所以，又函數(shù)在和兩處取得極值，所以是方程的兩不等實根，且，即有兩不等實根，且，令，則直線與曲線有兩交點，且交點橫坐標滿足，又，由得，所以，當時，，即函數(shù)在上單調遞增；當，時，，即函數(shù)在和上單調遞減；當時，由得，此時，因此，由得.故答案為【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的應用，已知函數(shù)極值點間的關系求參數(shù)的問題，通常需要將函數(shù)極值點，轉化為導函數(shù)對應方程的根，再轉化為直線與曲線交點的問題來處理，屬于?？碱}型.16、【解題分析】

，由余弦定理，得，得，，，所以，所以．點睛：本題考查平面向量的綜合應用．本題中存在垂直關系，所以在線性表示的過程中充分利用垂直關系，得到，所以本題轉化為求長度，利用余弦定理和面積公式求解即可．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）詳見解析【解題分析】

（1），在上，因為是減函數(shù)，所以恒成立，即恒成立，只需.令，，則，因為，所以.所以在上是增函數(shù)，所以，所以，解得.所以實數(shù)的最大值為.（2），.令，則，根據(jù)題意知，所以在上是增函數(shù).又因為，當從正方向趨近于0時，趨近于，趨近于1，所以，所以存在，使，即，，所以對任意，，即，所以在上是減函數(shù)；對任意，，即，所以在上是增函數(shù)，所以當時，取得最小值，最小值為.由于，，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，．18、(1)；(2)【解題分析】

（1）利用正弦定理邊化角，結合兩角和差正弦公式可整理求得，進而求得和，代入求得結果；（2）利用正弦定理可將表示為，利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結合的范圍可求得結果.【題目詳解】（1）由正弦定理可得：即（2）由（1）知：，，即的取值范圍為【題目點撥】本題考查解三角形知識的相關應用，涉及到正弦定理邊化角的應用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應用、與三角函數(shù)值域有關的取值范圍的求解問題；求解取值范圍的關鍵是能夠利用正弦定理將邊長的問題轉化為三角函數(shù)的問題，進而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結果.19、（1）;（2）或．【解題分析】試題分析:直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑，直線與曲線相交于兩點，且滿足，只需數(shù)量積為0，要聯(lián)立方程組設而不求，利用坐標關系及根與系數(shù)關系解題，這是解析幾何常用解題方法，第二步利用直線的斜率找出坐標滿足的要求，再利用兩直線與圓相切，求出點的坐標.試題解析：（1）解：設，，，由和圓相切，得．∴．由消去，并整理得，∴，．由，得，即．∴．∴，∴，∴．∴．∴或（舍）．當時，，故直線的方程為．（2）設，，，則．∴．設，由直線和圓相切，得，即．設，同理可得：．故是方程的兩根，故．由得，故．同理，則，即．∴，解或．當時，；當時，．故或．20、（1）；（2）投入3艘型游船使其當日獲得的總利潤最大【解題分析】

（1）首先計算出在，內抽取的人數(shù)，然后利用超幾何分布概率計算公式，計算出.（2）分別計算出投入艘游艇時，總利潤的期望值，由此確定當日游艇投放量.【題目詳解】（1）年齡在內的游客人數(shù)為150，年齡在內的游客人數(shù)為100；若采用分層抽樣的方法抽取10人，則年齡在內的人數(shù)為6人，年齡在內的人數(shù)為4人.可得.（2）①當投入1艘型游船時，因客流量總大于1，則（萬元）.②當投入2艘型游船時，若，則，此時；若，則，此時；此時的分布列如下表：2.56此時（萬元）