安徽省六安皋城中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題答案

六安皋城中學(xué)2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試九年級數(shù)學(xué)試題時間：120分鐘，滿分：150分一、選擇題（每題4分，共計40分．每題給出四個選項A、B、C、D，其中只有一個符合題目要求．）1.如圖對稱性表述，正確的是（）A.軸對稱圖形 B.旋轉(zhuǎn)對稱圖形C.既是軸對稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形 D.既不是軸對稱圖形又不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；和旋轉(zhuǎn)對稱圖形：如果某一個圖形圍繞某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）后能與原圖形重合，那么這個圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，分別判斷即可．【詳解】解：如圖所示：既是軸對稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故選C．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．2.關(guān)于二次函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A.頂點坐標為 B.有最大值C.與軸無交點 D.對稱軸是直線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解∶∵，∴頂點坐標為，開口向下，故選項A正確，但不符合題意；∴二次函數(shù)有最大值，故選項B正確，但不符合題意；∵二次函數(shù)的圖象開口向下，且函數(shù)有最大值，∴函數(shù)圖象與軸無交點，故選項C正確，但不符合題意；的對稱軸為軸，故選項D錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．3.在中，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在中，，，設(shè)，則，根據(jù)余弦的定義即可得到答案．【詳解】解：在中，，，設(shè)，則，∴．故選：A．【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義等知識，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4.如圖，，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、、和、、，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，根據(jù)合比性質(zhì)即得．詳解】，，．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線分線段，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，合比性質(zhì)．5.如圖，在平面直角坐標系中，是等腰直角三角形，，，點在軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)確定點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，，，點在軸的正半軸上，∴，∴點A的坐標為，又∵點A在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得．故選：C．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式以及坐標與圖形，解題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)確定點A的坐標．6.如圖，線段、交于點，下列條件中，不能判定和相似的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題中已知是對頂角，應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷．【詳解】解：A、由，能判定故本選項不符合題意．B、由能判定，故本選項不符合題意．C、由、能判定，故本選項不符合題意．D、已知兩組對應(yīng)邊的比相等：，但其夾角不一定對應(yīng)相等，不能判定和相似，故本選項符合題意．故選：D【點睛】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似．7.往水平放置的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面圖如圖所示，若水面寬度，水的最大深度為，則該容器截面的半徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，過點O作于點C交于D，根據(jù)垂徑定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，過點O作于點C交于D，，則，∵，，∴，設(shè)的半徑為，中，，，∴，解得．故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是過O點作的垂線，由此即可求解．8.如圖，樂器上的一根弦，兩個端點、固定在樂器板面上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，則的長為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個無理數(shù)，用分數(shù)表示為，由此即可求解．【詳解】解∶解：弦，點C是靠近點B的黃金分割點，設(shè)，則，∴，解方程得，，點D是靠近點A的黃金分割點，設(shè)，則，∴，解方程得，，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點的定義是解題的關(guān)鍵．9.某同學(xué)在利用描點法畫二次函數(shù)的圖象時，先取自變量的一些值，計算出相應(yīng)的函數(shù)值，如下表所示：…01234……010…在該函數(shù)圖象上有和兩點，且，，則與可以取的值是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性知：拋物線的對稱軸為直線，且拋物線的開口向下，由此確定答案．【詳解】解：∵和時，；∴拋物線的對稱軸為直線，∴頂點坐標為，∴拋物線的開口向下，∵，，∴，由表格知當(dāng)或時，；當(dāng)時，，∴或，，故C選項符合題意，A、B、D選項不符合題意，故選：C．【點睛】此題考查拋物線的對稱性，拋物線的性質(zhì)，讀懂表格掌握二次函數(shù)的對稱性解決問題是解題的關(guān)鍵．10.如圖，是等邊三角形，，點是內(nèi)一點，且，連接，則的最小值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，繼而推出，可得點P在以為直徑的圓上，得知當(dāng)C，D，P三點共線時，最小，再利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，整理得：，則，∴點P在以為直徑的圓上，如圖，設(shè)的中點為D，連接，即長度不變，∴，∴當(dāng)C，D，P三點共線時，最小，此時，∵，∴，，∴的最小值為，故選D．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件推出，得到點P在以為直徑的圓上．二、填空題（每題5分，共計20分）11.已知是關(guān)于的反比例函數(shù)，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的形式可得的值．【詳解】解：是關(guān)于的反比例函數(shù)，．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點是將一般式轉(zhuǎn)化為的形式．12.如圖，在菱形中，，于點，的延長線與的延長線交于點，則________．（表示面積）【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出，然后證明，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶∵，，∴，設(shè)，則，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了正切、相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．13.如圖所示，直徑為的經(jīng)過點和點、是軸右側(cè)優(yōu)弧上一點，則_______．【答案】【解析】【分析】連接并延長到圓上一點D，可得出，由點和點得到，，由圓周角定理得到，則．【詳解】解：連接并延長到圓上一點D，∵為直徑，∴，即x軸交于點D，∵點，點，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．14.拋物線與軸的兩個交點為點和點，．（1）拋物線的對稱軸為________；（2）若關(guān)于的方程在的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則的取值范圍是________．【答案】①.直線②.【解析】【分析】（1）直接利用對稱軸公式計算即可；（2）根據(jù)得出點A和點B的坐標，繼而求出函數(shù)解析式，再畫出相應(yīng)圖像，將方程的解轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在的范圍內(nèi)有交點，結(jié)合圖像解答即可【詳解】解：（1）拋物線的對稱軸為直線；故答案為：直線（2）∵拋物線與軸的兩個交點為點和點，，∴，，即，，將代入中，得：，∴，∵方程在的范圍內(nèi)有實數(shù)根，∴拋物線與直線在的范圍內(nèi)有交點，當(dāng)直線與直線重合時，令，則，當(dāng)直線與直線重合時，令，則，∴直線在直線和直線之間，∴，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠?qū)⒎匠痰膶崝?shù)根問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線的交點問題，從而借助數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．三、（本題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計算：．【答案】4．【解析】【分析】先計算特殊角的三角函數(shù)值，然后再合并同類項，即可得到答案.【詳解】解：.【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，以及二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則進行解題.16.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點和點都在小正方形的頂點上．（1）請在此網(wǎng)格中，以點為位似中心，再畫一個，使它與的位似比等于；（2）將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，在網(wǎng)格中畫出．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）分別連接、、，并令，，，即可確定的位置；（2）借助網(wǎng)格，分別找出點和的位置，連接即可．【小問1詳解】解：如圖即為所求，【小問2詳解】解：如圖即為所求，【點睛】本題考查網(wǎng)格作圖，理解位似兩個圖形，頂點與位似中心連線之比等于位似比是正確畫出圖形的關(guān)鍵．另外在畫旋轉(zhuǎn)圖形時，需明確旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．四、（本題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.已知，求的值．【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)比例的性質(zhì)知，，．將它們代入所求的代數(shù)式，通過約分求值．【詳解】解：設(shè)，則，，，∴．【點睛】此題考查了比例的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握由，得到，，的解題方法．18.如圖，我國某海域有，兩個港口，相距80海里，港口在港口的東北方向，點處有一艘貨船，該貨船在港口的北偏西30°方向，在港口的北偏西75°方向，求貨船與港口之間的距離．（結(jié)果保留根號）【答案】貨船與港口之間的距離是海里【解析】【分析】過點作于，先求出，在中，，由三角函數(shù)定義求出，求出，則是等腰直角三角形，得出海里即可．【詳解】解：過點作于點根據(jù)題意，得∵∴∴在中∵，∴∵∴在中∵，∴答：貨船與港口之間的距離是海里．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．五、（本題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.直線與雙曲線交于點和點．（1）求直線與雙曲線的解析式；（2）求的面積．【答案】（1），（2）4.5【解析】【分析】（1）把點代入，可得雙曲線的解析式為，再求出，再把A，B代入，即可求解；（2）設(shè)直線交y軸于D，可得，，再根據(jù)計算，即可求解．【小問1詳解】解：把點代入得：，即，∴雙曲線的解析式為；把點代入得，，∴，把A，B代入得：，解得：，∴直線的解析式為；【小問2詳解】解：設(shè)直線交y軸于D，，當(dāng)時，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，三角形的面積，求得交點坐標是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，為上一點，為弦延長線上一點，連接并延長交直徑的延長線于點，連接交于點，若．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為8，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OE，證明OE⊥EF即可；（2）由證得，運用正弦的概念可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：連接OE，如圖，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA．∵EF=PF，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF，∴∠APH=∠EPF，∴∠AEF=∠APH．∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE⊥EF．∵OE是的半徑∴EF是圓的切線，（2）∵CD⊥AB∴是直角三角形∵∴設(shè)，則由勾股定理得，由（1）得，是直角三角形∴∴，即∵∴解得，【點睛】此題主要考查了圓的切線的判定，勾股定理和解直角三角形等知識，熟練掌握切線的判定是解答此題的關(guān)鍵．六、（本題滿分12分）21.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的兩邊、分別在軸和軸上，且，連接，于點，于點，連接、．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，求點的坐標．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用證明，得出，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證；（2）證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式求出，然后利用勾股定理求出，即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形是矩形，，∴，，∴，∵，，∴，，∵，，，∴，∴，又，∴四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】解：∵，∴，又，∴，∵，，∴，∴，即，解得（負值舍去），∴，∴，∴點B的坐標為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，證明是解題的關(guān)鍵．七、（本題滿分12分）22.某一種蘋果在農(nóng)貿(mào)水果市場需求量（萬斤）、市場供應(yīng)量（萬斤）與市場價格（元/斤）分別滿足下列關(guān)系：，，當(dāng)時的市場價格稱為市場平衡價格，此時需求量稱為平衡需求量．（1）求平衡價格和平衡需求量；（2）若該蘋果的市場銷售量（萬件）是市場需求量和市場供應(yīng)量兩者中的較小者，該蘋果的市場銷售額（萬元）等于市場銷售量與市場價格的乘積．當(dāng)市場價格取何值時，市場銷售額取得最大值？【答案】（1）平衡價格為5元斤，平衡需求量為萬斤（2）當(dāng)時，市場銷售額取得最大值為萬元【解析】【分析】（1）令，再解方程可得的值，把的值代入或，可得平衡需求量；（2）分和兩種情況列出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，再進行比較即可．【小問1詳解】解：令，則，解得，，答：平衡價格為5元斤，平衡需求量為萬斤；【小問2詳解】令，，則，解得：，當(dāng)時，，，，對稱軸為直線，當(dāng)時，隨著的增大而增大．當(dāng)時，最大，當(dāng)時，，，，對稱軸為直線，當(dāng)時，最大，綜上，當(dāng)時，市場銷售額取得最大值為