數(shù)學(xué)建模公選課第一講

數(shù)學(xué)這門歷史悠久的科學(xué)，在第二次世界大戰(zhàn)以來的半個(gè)世紀(jì)中出現(xiàn)了空前的繁榮。在各分支的研究取得許多重大突破的同時(shí)，數(shù)學(xué)各分支之間、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的新的聯(lián)系不斷涌現(xiàn)，從而顯著地改變了數(shù)學(xué)科學(xué)的面貌。而意義最為深遠(yuǎn)的，則是數(shù)學(xué)在社會(huì)生活中的作用已經(jīng)發(fā)生了革命性的變化。第一頁第二頁，共49頁。當(dāng)前突飛猛進(jìn)發(fā)展的數(shù)學(xué)應(yīng)用:數(shù)學(xué)和各門學(xué)科的發(fā)展,高技術(shù)的出現(xiàn).經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,社會(huì)的飛躍進(jìn)步.計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及,人類進(jìn)入了數(shù)字化的時(shí)代.第二頁第三頁，共49頁。玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征我們常見的模型

一.從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型第三頁第四頁，共49頁。你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?x=20y=5求解第四頁第五頁，共49頁。數(shù)學(xué)模型（Mathematical

Model）

對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象,為了一個(gè)特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）

應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程。（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）

二.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模

第五頁第六頁，共49頁。模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問題’

三.數(shù)學(xué)建模的一般步驟實(shí)體信息(數(shù)據(jù))假設(shè)建模求解驗(yàn)證應(yīng)用第六頁第七頁，共49頁。航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。第七頁第八頁，共49頁。數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐理論實(shí)踐第八頁第九頁，共49頁。

四.數(shù)學(xué)建模的常用軟件常見的通用數(shù)學(xué)軟件包包括Matlab和Mathematica、WQSB、SAS、LINDU、LINGO和Maple。其中Matlab是一個(gè)高性能的科技計(jì)算軟件，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)計(jì)算、建模、仿真和數(shù)據(jù)分析處理及工程作圖，Mathematica是數(shù)值和符號(hào)計(jì)算的代表性軟件，Maple以符號(hào)運(yùn)算、公式推導(dǎo)見長(zhǎng)。第九頁第十頁，共49頁。1.電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展,數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。

2.數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，越來越受到人們的重視,在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；3.在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具,數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。4.幫助同學(xué)進(jìn)一步地了解數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性為實(shí)際問題提供分析,預(yù)報(bào),決策或控制5.數(shù)學(xué)建模順應(yīng)了當(dāng)前的教育改革的需要

五.數(shù)學(xué)建模的重要意義第十頁第十一頁，共49頁。

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼

六.數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用第十一頁第十二頁，共49頁。模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)

七.數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類第十二頁第十三頁，共49頁。數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)第十三頁第十四頁，共49頁。分類標(biāo)準(zhǔn)具體類別對(duì)某個(gè)實(shí)際問題了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型模型等建模中所用的數(shù)學(xué)方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實(shí)際范疇人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型、交通流模型、經(jīng)濟(jì)模型、基因模型等第十四頁第十五頁，共49頁。數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過的模型親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目

八.怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模第十五頁第十六頁，共49頁。①數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的每一步中都蘊(yùn)含著能力上的鍛煉，在調(diào)查研究階段，需要用到觀察能力、分析能力和數(shù)據(jù)處理能力等。在提出假設(shè)時(shí)，又需要用到想象力和歸納簡(jiǎn)化能力。②在真正開始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作成為別人研究工作的繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，你可以把某些已知的研究結(jié)果用作你的假設(shè)，去探索新的奧秘。因此我們還應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)在盡可能短的時(shí)間內(nèi)查到并學(xué)會(huì)我想應(yīng)用的知識(shí)的本領(lǐng)。③還需要你多少要有點(diǎn)創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來就有的，建模實(shí)踐就為你提供了一個(gè)培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機(jī)會(huì)。九.數(shù)學(xué)建模與能力的培養(yǎng)開設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的本領(lǐng)。第十六頁第十七頁，共49頁。例1某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)間？十.一些簡(jiǎn)單實(shí)例

似乎條件不夠哦。。第十七頁第十八頁，共49頁。請(qǐng)思考一下，本題解答中隱含了哪些假設(shè)？第十八頁第十九頁，共49頁。

顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到約會(huì)點(diǎn)，又從約會(huì)點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到約會(huì)點(diǎn)需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)約會(huì)點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。

第十九頁第二十頁，共49頁。

換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往約會(huì)地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來？第二十頁第二十一頁，共49頁。例2

餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗粗洗一下，再放進(jìn)熱水池洗滌，水溫不能太高，否則會(huì)燙手，但也不能太低，否則不干凈。由于想節(jié)省開支，餐館老板想了解一池?zé)崴降卓梢韵炊嗌俦P子，請(qǐng)你幫他建模分析一下這一問題。第二十一頁第二十二頁，共49頁。不難看出，是水的溫度在決定洗盤子的數(shù)量

。盤子是先用冷水洗過的，其后可能還會(huì)再用清水沖洗，更換熱水并非因?yàn)樗K了，而是因?yàn)樗粔驘崃恕?/p>

第二十二頁第二十三頁，共49頁。那么熱水為什么會(huì)變冷呢？假如你想建一個(gè)較精細(xì)的模型，你當(dāng)然應(yīng)當(dāng)把水池、空氣等吸熱的因素都考慮進(jìn)去，但餐館老板的原意只是想了解一下一池?zé)崴骄蠹s可以洗多少盤子，殺雞焉用牛刀？

第二十三頁第二十四頁，共49頁。盤子有大小嗎?是什么樣的盤子？盤子是怎樣的?……不妨假設(shè)我們了解到：盤子大小相同，均為瓷質(zhì)菜盤，洗滌時(shí)先將一疊盤子浸泡在熱水中，然后一一清洗。

第二十四頁第二十五頁，共49頁。不妨可以提出以下簡(jiǎn)化假設(shè)：（1）水池、空氣吸熱不計(jì)，只考慮盤子吸熱，盤子的大小、材料相同（2）盤子初始溫度與氣溫相同，洗完后的溫度與水溫相同（3）水池中的水量為常數(shù)，開始溫度為T1，最終換水時(shí)的溫度為T2（4）每個(gè)盤子的洗滌時(shí)間△T是一個(gè)常數(shù)。（這一假設(shè)甚至可以去掉不要）第二十五頁第二十六頁，共49頁。根據(jù)上述簡(jiǎn)化假設(shè)，利用熱量守衡定律，餐館老板的問題就很容易回答了，當(dāng)然，你還應(yīng)當(dāng)調(diào)查一下一池水的質(zhì)量是多少，查一下瓷盤的吸熱系數(shù)和質(zhì)量等。

第二十六頁第二十七頁，共49頁?？梢?，假設(shè)條件的提出不僅和你研究的問題有關(guān)，還和你準(zhǔn)備利用哪些知識(shí)、準(zhǔn)備建立什么樣的模型以及你準(zhǔn)備研究的深入程度有關(guān)，即在你提出假設(shè)時(shí)，你建模的框架已經(jīng)基本搭好了。

第二十七頁第二十八頁，共49頁。例3

將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均為1，其重心在中點(diǎn)1/2磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，從而上面n塊磚向右推出的總距離為，第二十八頁第二十九頁，共49頁。故磚塊向右可疊至任意遠(yuǎn)

，這一結(jié)果多少有點(diǎn)出人意料。

第二十九頁第三十頁，共49頁。系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021例4:席位分配問題三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對(duì)丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021第三十頁第三十一頁，共49頁?！肮健狈峙浞椒ê饬抗椒峙涞臄?shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時(shí)，分配公平

p1/n1–p2/n2~對(duì)A的絕對(duì)不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對(duì)不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對(duì)不公平A

p1/n1–p2/n2=5第三十一頁第三十二頁，共49頁。公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問應(yīng)分給A,還是B不妨設(shè)分配開始時(shí)p1/n1>p2/n2，即對(duì)A不公平~對(duì)A的相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義第三十二頁第三十三頁，共49頁。1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會(huì)出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B第三十三頁第三十四頁，共49頁。當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q

值方法計(jì)算，第三十四頁第三十五頁，共49頁。三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系第三十五頁第三十六頁，共49頁。進(jìn)一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準(zhǔn)則已知:m方人數(shù)分別為p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qi第三十六頁第三十七頁，共49頁。

qi=Npi/P不全為整數(shù)時(shí)，ni

應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時(shí)，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！第三十七頁第三十八頁，共49頁。例5:商人們?cè)鯓影踩^河問題3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人掠貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)第三十八頁第三十九頁，共49頁。模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題第三十九頁第四十頁，共49頁。模型求解窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.d1,，d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況xy3322110s1sn+1d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}第四十頁第四十一頁，共49頁。背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長(zhǎng)例6如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)第四十一頁第四十二頁，共49頁。指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r是常數(shù)今年人口x