2024屆廣東汕尾市高三下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量診斷性聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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2024屆廣東汕尾市高三下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量診斷性聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,則A. B.C. D.2.已知,且,則在方向上的投影為()A. B. C. D.3.設(shè)是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.4.正方體,是棱的中點(diǎn),在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線(xiàn)中,與平面平行的直線(xiàn)有幾條()A.36 B.21 C.12 D.65.在中,角的對(duì)邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形6.設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.過(guò)拋物線(xiàn)()的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn).,且在第一象限,則()A. B. C. D.8.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中不正確的是()注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多9.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點(diǎn)最多,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.一個(gè)正三棱柱的正(主)視圖如圖,則該正三棱柱的側(cè)面積是()A.16 B.12 C.8 D.611.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為A. B.C. D.12.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn),連接與y軸交于點(diǎn)M,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),,則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)(a>0且a≠1)在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),則a的取值范圍是_______.14.已知橢圓與雙曲線(xiàn)(,)有相同的焦點(diǎn),其左、右焦點(diǎn)分別為、,若橢圓與雙曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為,且,則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_________.15.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的虛部為_(kāi)_________.16.某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)班共有10人,分為甲、乙兩個(gè)小組,在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示,若甲組5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為81,乙組5名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為73,則x-y的值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解關(guān)于的不等式;(2)若對(duì)任意,都存在,使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知集合,集合.(1)求集合;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,三棱臺(tái)中,側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,證明:∥平面;(Ⅱ)若二面角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20.(12分)已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,直線(xiàn)AF與直線(xiàn)垂直,垂足為B,且點(diǎn)A是線(xiàn)段BF的中點(diǎn).(I)求橢圓C的方程;(II)若M,N分別為橢圓C的左,右頂點(diǎn),P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn),直線(xiàn)MP與直線(xiàn)交于點(diǎn)Q,且,求點(diǎn)P的坐標(biāo).21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù),將曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線(xiàn).在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)說(shuō)明曲線(xiàn)是哪一種曲線(xiàn),并將曲線(xiàn)的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn),又直線(xiàn)上有兩點(diǎn)和,且,又點(diǎn)的極角為,點(diǎn)的極角為銳角.求:①點(diǎn)的極角;②面積的取值范圍.22.(10分)已知在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,,且.(1)求的值;(2)求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

因?yàn)?,所以,,故選D.2、C【解題分析】

由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定義計(jì)算.【題目詳解】由可得,因?yàn)?,所以.故在方向上的投影為.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.3、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【題目詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

先找到與平面平行的平面,利用面面平行的定義即可得到.【題目詳解】考慮與平面平行的平面,平面,平面,共有,故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)面平行的判定定理以及面面平行的定義,涉及到了簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題,是一中檔題.5、C【解題分析】

利用正弦定理將邊化角,再由,化簡(jiǎn)可得,最后分類(lèi)討論可得;【題目詳解】解:因?yàn)樗运运运运援?dāng)時(shí),為直角三角形;當(dāng)時(shí)即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】令,可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的圖象(如圖所示).當(dāng)時(shí),.由得.設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與函數(shù)的圖象切于點(diǎn),則有,解得.所以當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)的圖象切時(shí).又當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),有,解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.選D.點(diǎn)睛:已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解,對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常用此方法求解.7、C【解題分析】

作,;,由題意,由二倍角公式即得解.【題目詳解】由題意,,準(zhǔn)線(xiàn):,作,;,設(shè),故,,.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.8、D【解題分析】

根據(jù)兩個(gè)圖形的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察比較,即可判斷各選項(xiàng)的真假.【題目詳解】在A中,由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%,所以是正確的;在B中,由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到:,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的,所以是正確的;在C中,由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到:,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80后多,所以是正確的;在D中,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為,所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了命題的真假判定,以及統(tǒng)計(jì)圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線(xiàn)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,畫(huà)出函數(shù)的圖象,易知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),故與在時(shí)的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn),故只需與在時(shí)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),再與切線(xiàn)問(wèn)題相結(jié)合,即可求解.【題目詳解】由圖知與有個(gè)公共點(diǎn)即可,即,當(dāng)設(shè)切點(diǎn),則,.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于較難的壓軸題.10、B【解題分析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖,以及長(zhǎng)度,可知該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng),然后根據(jù)矩形的面積公式,可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知:該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)為2所以該正三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的正方形,所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識(shí),關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長(zhǎng),掌握一些常見(jiàn)的幾何體的三視圖,比如:三棱錐,圓錐,圓柱等,屬基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為,所以,又,則故選D.點(diǎn)睛:此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項(xiàng)公式法,若數(shù)列中,且(),則數(shù)列是等比數(shù)列.12、C【解題分析】

利用三角形與相似得,結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義求得的關(guān)系,從而求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程。【題目詳解】設(shè),,由,與相似,所以,即,又因?yàn)?,所以,,所以,即,,所以雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)、漸近線(xiàn)方程求解,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(1,)【解題分析】

在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2],等價(jià)轉(zhuǎn)化為與的圖像在(1,)上恰有兩個(gè)交點(diǎn),考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【題目詳解】由題意知:與的圖像在(1,)上恰有兩個(gè)交點(diǎn)考查臨界情形:與切于,.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).14、【解題分析】

先根據(jù)橢圓得出焦距,結(jié)合橢圓的定義求出,結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義求出雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸,最后利用離心率的公式求出離心率即可.【題目詳解】解:因?yàn)闄E圓,則焦點(diǎn)為,又因?yàn)闄E圓與雙曲線(xiàn)(,)有相同的焦點(diǎn),橢圓與雙曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為,且,在橢圓中:由橢圓的定義:在雙曲線(xiàn)中:,所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為:,實(shí)半軸為則雙曲線(xiàn)的離心率為:.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓與雙曲線(xiàn)的定義,考查離心率的求解,利用定義解決綜合問(wèn)題.15、1【解題分析】試題分析:,即虛部為1,故填:1.考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算16、【解題分析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念,求出x、y的值.【題目詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),得:甲班5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為,解得;又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73,則;.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)、平均數(shù),考查數(shù)據(jù)分析能力,屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】

(1)分類(lèi)討論去絕對(duì)值號(hào),然后解不等式即可.(2)因?yàn)閷?duì)任意,都存在,使得不等式成立,等價(jià)于,根據(jù)絕對(duì)值不等式易求,根據(jù)二次函數(shù)易求,然后解不等式即可.【題目詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),由得,,解得;當(dāng)時(shí),恒成立;當(dāng)時(shí),由得,,解得.所以的解集為(2)對(duì)任意,都存在,得成立,等價(jià)于.因?yàn)?,所以,且|,①當(dāng)時(shí),①式等號(hào)成立,即.又因?yàn)?,②?dāng)時(shí),②式等號(hào)成立,即.所以,即即的取值范圍為:.【題目點(diǎn)撥】知識(shí):考查含兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)的不等式的解法;恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題求參變數(shù)的范圍問(wèn)題;能力:分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力以及運(yùn)算求解能力;中檔題.18、(1);(2).【解題分析】

(1)求出函數(shù)的定義域,即可求出結(jié)論;(2)化簡(jiǎn)集合,根據(jù)確定集合的端點(diǎn)位置,建立的不等量關(guān)系,即可求解.【題目詳解】(1)由,即得或,所以集合或.(2)集合,由得或,解得或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的運(yùn)算,集合間的關(guān)系求參數(shù),考查函數(shù)的定義域,屬于基礎(chǔ)題.19、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ).【解題分析】試題分析:(Ⅰ)連接,由比例可得∥,進(jìn)而得線(xiàn)面平行;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則求得平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為,由求二面角余弦即可.試題解析:(Ⅰ)證明:連接,梯形,,易知:;又,則∥;平面,平面,可得:∥平面;(Ⅱ)側(cè)面是梯形,,,,則為二面角的平面角,;均為正三角形,在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,故點(diǎn),;設(shè)平面的法向量為,則有:;設(shè)平面的法向量為,則有:;,故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.20、(I).(II)【解題分析】

(I)寫(xiě)出坐標(biāo),利用直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,得到.求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入,可得到的一個(gè)關(guān)系式,由此求得和的值,進(jìn)而求得橢圓方程.(II)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),由此寫(xiě)出直線(xiàn)的方程,從而求得點(diǎn)的坐標(biāo),代入,化簡(jiǎn)可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】(I)∵橢圓的左焦點(diǎn),上頂點(diǎn),直線(xiàn)AF與直線(xiàn)垂直∴直線(xiàn)AF的斜率,即①又點(diǎn)A是線(xiàn)段BF的中點(diǎn)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為又點(diǎn)在直線(xiàn)上∴②∴由①②得:∴∴橢圓的方程為.(II)設(shè)由(I)易得頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為∴直線(xiàn)MP的方程是:由得:又點(diǎn)P在橢圓上,故∴∴∴或(舍)∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系,考查兩直線(xiàn)垂直的條件,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算.屬于中檔題.在解題過(guò)程中,首先閱讀清楚題意,題目所敘述的坐標(biāo)、所敘述的直線(xiàn)是怎么得到的,向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)都有哪一些,應(yīng)該怎么得到,這些在讀題的時(shí)候需要分析清楚.21、(1)曲線(xiàn)為圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為(2)①②【解題分析】

(1)求得曲線(xiàn)伸縮變換后所得的參數(shù)方程,消參后求得的普通方程,判斷出對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn),并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.(2)①將的極角代入直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程,由此求得點(diǎn)的極徑,判斷出為等腰三角形,求得直線(xiàn)的普通方程,由此求得,進(jìn)而求得,從而求得點(diǎn)的極角.②解法一:利用曲線(xiàn)的參數(shù)方程,求得曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得的最小值

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