統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)分層特訓(xùn)卷二主觀題專練1平面向量三角函數(shù)與解三角形文_第1頁
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文檔簡介

平面向量、三角函數(shù)與解三角形(1)1.[2023·江蘇省姜堰第二中學(xué)模擬]已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度,得到g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在[0,eq\f(π,2)]上的最值并求出相應(yīng)x的值.2.[2023·安徽省定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校模擬]已知函數(shù)f(x)=eq\f(1,2)sin2xsinφ+cos2xcosφ-eq\f(1,2)sin(eq\f(π,2)+φ)(0<φ<π),其圖象過點(diǎn)(eq\f(π,6),eq\f(1,2)).(1)求φ的值;(2)將函數(shù)y=f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2),縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在[0,eq\f(π,4)]上的最大值和最小值.3.[2023·吉林模擬預(yù)測(文)]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且asinB=bsin(A+eq\f(π,3)).(1)求角A的大??;(2)若AB=3,AC=1,∠BAC的內(nèi)角平分線交BC于點(diǎn)D,求AD.4.[2023·山西太原三模(文)]已知銳角△ABC中,sin(A+B)=eq\f(7\r(2),10),sin(A-B)=eq\f(\r(2),10).(1)求eq\f(tanA,tanB);(2)若AB=7,求△ABC的面積S.5.[2023·黑龍江齊齊哈爾三模(文)]已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,若eq\r(3)bcosC+eq\r(3)ccosB=2acosA.(1)求A;(2)若b=4,c=eq\r(3),求sin(B-C)的值.6.[2023·安徽巢湖市第一中學(xué)模擬(文)]在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b=eq\r(10),c=2,B=eq\f(π,4).(1)求△ABC的面積;(2)若點(diǎn)M在線段AC上,且tan∠AMB=eq\f(3,2),求tan∠MBC的值.平面向量、三角函數(shù)與解三角形(1)1.解析:(1)由圖象可知A=2,eq\f(3,4)T=eq\f(11π,12)-eq\f(π,6)=eq\f(3π,4),所以T=eq\f(2π,ω)=π,ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),將(eq\f(π,6),2)代入可得eq\f(π,3)+φ=eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z),φ=eq\f(π,6),所以f(x)=2sin(2x+eq\f(π,6)).(2)g(x)=2sin[2(x+eq\f(π,3))+eq\f(π,6)]=2sin(2x+eq\f(5π,6)),因?yàn)閤∈[0,eq\f(π,2)],所以2x+eq\f(5π,6)∈[eq\f(5π,6),eq\f(11π,6)],當(dāng)2x+eq\f(5π,6)=eq\f(5π,6),即x=0,g(x)max=1;當(dāng)2x+eq\f(5π,6)=eq\f(3π,2),即x=eq\f(π,3),g(x)min=-2.2.解析:(1)因?yàn)閒(x)=eq\f(1,2)sin2xsinφ+cos2xcosφ-eq\f(1,2)sin(eq\f(π,2)+φ)(0<φ<π),所以f(x)=eq\f(1,2)sin2xsinφ+eq\f(1+cos2x,2)cosφ-eq\f(1,2)cosφ=eq\f(1,2)sin2xsinφ+eq\f(1,2)cos2xcosφ=eq\f(1,2)(sin2xsinφ+cos2xcosφ)=eq\f(1,2)cos(2x-φ).又函數(shù)圖象過點(diǎn)(eq\f(π,6),eq\f(1,2)),所以eq\f(1,2)=eq\f(1,2)cos(2×eq\f(π,6)-φ),即cos(eq\f(π,3)-φ)=1.又0<φ<π,所以φ=eq\f(π,3).(2)由(1)知,f(x)=eq\f(1,2)cos(2x-eq\f(π,3)),將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2),縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,可知g(x)=eq\f(1,2)cos(4x-eq\f(π,3)),因?yàn)閤∈[0,eq\f(π,4)],所以4x∈[0,π],因此4x-eq\f(π,3)∈[-eq\f(π,3),eq\f(2π,3)],故-eq\f(1,2)≤cos(4x-eq\f(π,3))≤1.所以-eq\f(1,4)≤eq\f(1,2)cos(4x-eq\f(π,3))≤eq\f(1,2),所以y=g(x)在[0,eq\f(π,4)]上的最大值和最小值分別為eq\f(1,2)和-eq\f(1,4).3.解析:(1)∵asinB=bsin(A+eq\f(π,3)),由正弦定理得sinAsinB=sinBsin(A+eq\f(π,3)),∵B∈(0,π),∴sinB≠0,∴sinA=sin(A+eq\f(π,3)),∴sinA=eq\f(1,2)sinA+eq\f(\r(3),2)cosA,即eq\f(1,2)sinA=eq\f(\r(3),2)cosA,∴tanA=eq\r(3),∵A∈(0,π),∴A=eq\f(π,3).(2)方法一:∵S△ABC=S△ABD+S△ADC,∴eq\f(1,2)AB·AC·sin∠BAC=eq\f(1,2)AB·AD·sin∠BAD+eq\f(1,2)AD·AC·sin∠DAC,∴eq\f(1,2)×3×1×sineq\f(π,3)=eq\f(1,2)×3×AD×sineq\f(π,6)+eq\f(1,2)×AD×1×sineq\f(π,6),∴AD=eq\f(3\r(3),4).方法二:在△ABC中,由余弦定理:BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=32+12-2×3×1×coseq\f(π,3)=7,∴BC=eq\r(7).在△ABD中,由正弦定理,eq\f(BD,sin∠BAD)=eq\f(AB,sin∠ADB),在△ADC中,由正弦定理,eq\f(DC,sin∠DAC)=eq\f(AC,sin∠ADC),∵sin∠BAD=sin∠DAC,sin∠ADB=sin∠ADC,∴eq\f(BD,DC)=eq\f(AB,AC)=eq\f(3,1),∴DC=eq\f(\r(7),4).在△ADC中,由余弦定理:DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC,設(shè)AD=x,則eq\f(7,16)=x2+1-2x·eq\f(\r(3),2),即x2-eq\r(3)x+eq\f(9,16)=0,解得x=eq\f(3\r(3),4)或eq\f(\r(3),4).△ABC中,由余弦定理:cosC<0,∴C是鈍角.在△ADC中,AD>AC,∴AD=eq\f(3\r(3),4).方法三:在△ABD中,由正弦定理,eq\f(BD,sin∠BAD)=eq\f(AB,sin∠ADB),在△ADC中,由正弦定理,eq\f(DC,sin∠DAC)=eq\f(AC,sin∠ADC),∵sin∠BAD=sin∠DAC,sin∠ADB=sin∠ADC,∴eq\f(BD,DC)=eq\f(AB,AC)=eq\f(3,1).∴eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→)))=eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→)),∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2=(eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→)))2=eq\f(1,16)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2+eq\f(9,16)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2+eq\f(3,8)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(1,16)×9+eq\f(9,16)×1+eq\f(3,8)×3×1×eq\f(1,2)=eq\f(27,16),∴AD=eq\f(3\r(3),4).4.解析:(1)因?yàn)閟in(A+B)=eq\f(7\r(2),10),sin(A-B)=eq\f(\r(2),10),所以sinAcosB+cosAsinB=eq\f(7\r(2),10),①sinAcosB-cosAsinB=eq\f(\r(2),10),②聯(lián)立①②,解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinAcosB=\f(2\r(2),5),cosAsinB=\f(3\r(2),10))),所以eq\f(tanA,tanB)=eq\f(sinAcosB,cosAsinB)=eq\f(4,3).(2)由正弦定理得eq\f(BC,sinA)=eq\f(AC,sinB)=eq\f(AB,sinC)=eq\f(7,\f(7\r(2),10))=5eq\r(2),∴BC=5eq\r(2)sinA,AC=5eq\r(2)sinB,∴S△ABC=eq\f(1,2)AC·BCsinC=eq\f(35\r(2),2)sinAsinB.又∵在銳角△ABC中,由sin(A+B)=eq\f(7\r(2),10),sin(A-B)=eq\f(\r(2),10),所以cos(A+B)=-eq\f(\r(2),10),cos(A-B)=eq\f(7\r(2),10),∴cosAcosB+sinAsinB=eq\f(7\r(2),10),cosAcosB-sinAsinB=-eq\f(\r(2),10);∴sinAsinB=eq\f(2\r(2),5),∴S△ABC=eq\f(35\r(2),2)·eq\f(2\r(2),5)=14.5.解析:(1)∵eq\r(3)bcosC+eq\r(3)ccosB=2acosA,∴由正弦定理可知eq\r(3)sinBcosC+eq\r(3)sinCcosB=2sinAcosA.∴eq\r(3)sin(B+C)=2sinAcosA,∴eq\r(3)sinA=2sinAcosA.又∵A∈(0,π),∴sinA≠0,∴cosA=eq\f(\r(3),2),∴A=eq\f(π,6).(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=16+3-2×4×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)=7,即a=eq\r(7),∴cosB=eq\f(3+7-16,2×\r(3)×\r(7))=-eq\f(\r(21),7),sinB=eq\r(1-cos2B)=eq\f(2\r(7),7),∴cosC=eq\f(7+16-3,2×4×\r(7))=eq\f(5\r(7),14),sinC=eq\r(1-cos2C)=eq\f(\r(21),14).∴sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=eq\f(2\r(7),7)×eq\f(5\r(7),14)+eq\f(\r(21),7)×eq\f(\r(21),14)=eq\f(13,14).6.解析:(1)在△ABC中,由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB,即a2-2eq\r(2)a-6=0,解得a=3eq\r(2)(負(fù)值已舍去),∴△ABC的面積S=eq\f(1,2)acsinB=eq\f(1,2)×2×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)=3.(2)在△ABC中,由正弦定理得,eq\f(c,sinC)=eq\f(b,sinB),∴sinC=eq\f

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