內(nèi)蒙古包頭市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)寫在答題卡上，將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合中元素范圍，再求即可.【詳解】或，，故選：A.2.設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出的代數(shù)形式，進(jìn)而可得其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定與中間量0的大小關(guān)系，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.【詳解】,，故故選：D.4.已知A，B，C三人都去同一場(chǎng)所鍛煉，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C每隔3天去一次.若3月11日三人都去鍛煉，則下一次三人都去鍛煉的日期是（）A.3月22日 B.3月23日 C.3月24日 D.3月25日【答案】B【解析】【分析】三人各自去鍛煉的日期實(shí)際上是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】由題意，三人各自去鍛煉的日期分別是等差數(shù)列，公差分別為2,3,4，最小公倍數(shù)為12，所以下一次三人都去鍛煉的日期是3月23日.故選：B.5.某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,從使用該產(chǎn)品的用戶中隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)用戶,根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分,得到如圖所示的用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖.若用戶滿意度評(píng)分的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別為a,b,c,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù),平均數(shù),中位數(shù)的概念和公式,帶入數(shù)字,求出后比較大小即可.【詳解】解:由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為65,即,由表可知,組距為10,所以平均數(shù)為:,故,記中位數(shù)為,則有:,解得:,即,所以.故選：B.6.若函數(shù)與都在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析在一個(gè)較大區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，找出它們的公共增區(qū)間，分析出的最大值.【詳解】的周期為，的周期為，分析在內(nèi)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)與都在區(qū)間上單調(diào)遞增，且為的最大公共增區(qū)間所以則，，所以的最大值為.故選：C.7.已知，，，則（）A. B. C.8 D.16【答案】A【解析】【分析】先利用求出，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求即可.【詳解】由已知，又，，或（舍去，）故選：A.8.設(shè)為直線，為平面，則的必要不充分條件是（）A.直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直B.直線與平面內(nèi)任意直線都垂直C.直線在與平面垂直的一個(gè)平面內(nèi)D.直線與平面都垂直于同一平面【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意知找一個(gè)由能推出的但反之不成立的一個(gè)結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意知找一個(gè)由能推出的但反之不成立的一個(gè)結(jié)論.對(duì)A：根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則；若，則直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：根據(jù)線面垂直的定義，直線與平面內(nèi)任意直線都垂直是的充要條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，設(shè)，由面面垂直的判定知，故直線在與平面垂直的一個(gè)平面內(nèi)；若直線在與平面垂直的一個(gè)平面內(nèi)，不妨設(shè)平面，若取，則不成立，故C正確；對(duì)D：若，又，則，不可能有平面與平面垂直，故D錯(cuò)誤.故選：C9.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列方程求出，進(jìn)而可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，對(duì)照選項(xiàng)可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得，，故選：D.10.已知，，則（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】先利用倍角變形求得，再利用二倍角的正切公式求即可.【詳解】即，，，，即，又解得故選：A.11.已知拋物線，斜率為的直線與的交點(diǎn)為E，F(xiàn)，與軸的交點(diǎn)為.若，，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】直線方程，由求得值，求得E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)，再由求得值.【詳解】設(shè)直線方程，，，，，，由得，，，，，，由解得或，或(舍)，故選:C12.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，，，，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用線面垂直的判定定理證得面，再推到兩兩垂直，進(jìn)而將三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，從而求得球的半徑，由此得解.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，所以，又，即，所以，因?yàn)?，面，所以面，因?yàn)槊?，所以，又，所以兩兩垂直，故將三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，如圖，則長(zhǎng)方體的外接球與三棱錐的外接球相同，設(shè)球的半徑為，則，即，所以球的體積為.故選：B..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與球有關(guān)組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)，然后求出和，再利用點(diǎn)斜式求直線方程即可.【詳解】由已知，，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即故答案為：14.已知數(shù)列和滿足，，，.則數(shù)列的通項(xiàng)______.【答案】【解析】【分析】將條件中兩式相加可得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】，，又，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列故答案為：15.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，采取五場(chǎng)三勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以獲勝的概率是______.【答案】0.21【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．【詳解】甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，采取五場(chǎng)三勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以獲勝的概率是：．故答案為：0.21．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且傾斜角為的直線與的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若，則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)出直線的方程，之后與雙曲線的漸近線聯(lián)立，分別求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，之后根據(jù)題中條件，得出A是的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得出其坐標(biāo)間的關(guān)系，借助雙曲線中的關(guān)系，求得該雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)直線的方程為，兩條漸近線的方程分別為和，分別聯(lián)立方程組，求得，由，為的中點(diǎn)得A是的中點(diǎn)，所以有，整理得，結(jié)合雙曲線中的關(guān)系，可以的到，故答案為：.三、解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分.17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè).（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將條件展開后利用正弦定理角化邊，然后利用余弦定理求角；（2）利用正弦定理邊化角，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于角B等式，整理得到，再求出，利用展開求解即可.【小問1詳解】即由正弦定理得，，又；【小問2詳解】所以由正弦定理邊化角得，，有，化簡(jiǎn)得，又，，18.9年來，某地區(qū)第年第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值（單位：百萬(wàn)元）統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示.根據(jù)該圖提供的信息解決下列問題.（1）在所統(tǒng)計(jì)的9個(gè)生產(chǎn)總值中任選2個(gè)，記其中不低于平均值的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由統(tǒng)計(jì)圖可看出，從第6年開始，該地區(qū)第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值呈直線上升趨勢(shì)，試從第6年開始用線性回歸模型預(yù)測(cè)該地區(qū)第11年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值.（附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：，.【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望（2）該地區(qū)第11年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值約為【解析】【分析】（1）求出平均值，得出不低于平均值的有3個(gè)，因此服從超幾何分布，由此可計(jì)算出各概率得分布列，由期望公式可計(jì)算出期望；（2）由后面的四個(gè)數(shù)據(jù)求出線性回歸直線方程，將代入回歸方程即可得出預(yù)測(cè)值.【小問1詳解】依題知，9個(gè)生產(chǎn)總值的平均數(shù)為：，由此可知，不低于平均值的有3個(gè)，所以服從超幾何分布，，所以，，，分布列為：012所以；【小問2詳解】由后面四個(gè)數(shù)據(jù)得：，，，，所以，，所以線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以該地區(qū)第11年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值約為19.如圖，直四棱柱底面是平行四邊形，，，，，，分別是，，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、，即可得到，再證明，由直棱柱的性質(zhì)證明，即可得到平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接、、，又因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在直四棱柱的底面是平行四邊形，，，所以為等邊三角形，所以，又，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，所以平面.【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)平面與平面所成二面角為，則，所以，即平面與平面所成二面角的正弦值為.20.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.（1）求的方程，并說明是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，軸，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).（i）證明：直線與的斜率之積為定值；（ii）求面積的最大值.【答案】（1）的方程為：，是一個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，短軸長(zhǎng)為且的橢圓（2）（i）證明見解析（ii）【解析】【分析】（1）直接利用斜率公式即可求解；（2）（i）設(shè)，根據(jù)坐標(biāo)之間的聯(lián)系，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消，運(yùn)用韋達(dá)定理求出的坐標(biāo)，再利用斜率公式求出，，然后代入化簡(jiǎn)即可證明；（ii）將點(diǎn)代入，利用基本不等式即可求解.【小問1詳解】依題知，，，，所以，又直線與的斜率之積為，即，整理得：，因此是一個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，短軸長(zhǎng)為且的橢圓.【小問2詳解】（i）如圖所示：設(shè)，，因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，因?yàn)檩S，垂足為，所以，所以直線的斜率，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，由消整理得：，因?yàn)辄c(diǎn)，是直線與的交點(diǎn)，所以，整理得：，由韋達(dá)定理得：，解得：，代入，解得：，即，所以直線的斜率所以，所以直線與的斜率之積為定值，其值為：.（ii）由（i）知，因?yàn)樵谏希?，整理得：，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為：.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．（3）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．21.已知函數(shù).（1）若存在極值，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)情況.【答案】（1）（2）共有兩個(gè)零點(diǎn).【解析】【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，再分別討論和兩種情況，判斷的正負(fù)，可得的單調(diào)性，從而得解.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理得到在和上各有一個(gè)零點(diǎn)；再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論在和的零點(diǎn)情況，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，不可能有極值，舍去；當(dāng)，即時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在取得極大值，符合題意；綜上：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，則，（i）當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，，所以存在唯一的使，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，注意到，，，則，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，，故，令，則，所以在上單調(diào)遞減，故，所以，故在上無零點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，故，所以，故在上無零點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）若