遼寧省葫蘆島市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023年1月葫蘆島市普通高中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測考試高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號、考場號、座位號用2B鉛筆涂在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題紙上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）1設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)榧?，，所以?故選：D2.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：B.3.已知向量，，．若，則實(shí)數(shù)k的值為（）A. B. C.0 D.6【答案】A【解析】【分析】由題意得，利用向量垂直，則數(shù)量積為0，得到方程解出即可.【詳解】，，，即，解得，故選：A.4.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在著陸場預(yù)定區(qū)域成功著陸，三名航天員安全出艙.神舟十三號返回艙外形呈鐘形鈍頭體，若將其近似地看作圓臺(tái)，其高為，下底面圓的直徑為，上底面圓的直徑為，則可估算其體積約為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓臺(tái)的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上底面圓的半徑是，高是，下底面圓的半徑是，所以故選：B.5.在一段時(shí)間內(nèi)，甲去某地的概率是，乙去某地的概率是，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么在這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去此地的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式，（法一）至少有1人去此地包含甲去乙不去、甲不去乙去、甲去乙去三種情況，由此即可求出結(jié)果；（法二）它的對立事件是兩個(gè)人都不去此地，做出兩個(gè)人都不去此地的概率，再根據(jù)對立事件的概率得到結(jié)果．【詳解】（法一）設(shè)“甲去某地”為事件A，“乙去某地”為事件B，則至少有一人去此地的概率為；（法二）所求事件的概率；故選：C．6.已知，，則的值為（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將已知條件化簡后兩邊平方，由此求得值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于，所以，所以由化簡得，兩邊平方得，即，解得（負(fù)根舍去），由于，所以.故選：A.7.已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性可得,,,,且,再結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性,可比較出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以,.又,,,則,因?yàn)楹瘮?shù)和都在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減.故,即.故選:D8.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F且與C交于M，N兩點(diǎn)，若，則的面積為（）A. B. C.5 D.10【答案】B【解析】【分析】由拋物線的定義得出點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立直線和拋物線方程，得出點(diǎn)坐標(biāo)，由面積公式求解.【詳解】由題意可知，，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，因?yàn)?，所以，即?lián)立，得，解得.故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每題5分，共20分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得5分，部分選對的2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知點(diǎn)，，斜率為的直線過點(diǎn)，則下列滿足直線與線段相交的斜率取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】作出圖形，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)，如圖，當(dāng)直線與線段相交時(shí)，，，所以，斜率取值范圍是或.故選：AB10.已知，函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)圖像變換法則可求得的解析式，利用其為偶函數(shù)求出，又由三角函數(shù)的性質(zhì)可求得，對進(jìn)行賦值，與選項(xiàng)對比即可得出答案.【詳解】由，得，因?yàn)榕己瘮?shù)，則，所以，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性，得出，，進(jìn)而判斷選項(xiàng).11.在正方體中，M為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含C）過M，N，P的正方體的截面記為，則下列判斷正確的是（）A.當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，截面為六邊形B.當(dāng)時(shí)，截面為五邊形C.當(dāng)截面為四邊形時(shí)，它一定是等腰梯形D.設(shè)中點(diǎn)為Q，三棱錐的體積為定值【答案】AC【解析】【分析】延長交于，交于，延長交于，取的中點(diǎn)，連接交于，連接，結(jié)合圖形即可判斷A；延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時(shí)截面為五邊形，求出即可判斷B；當(dāng)截面為四邊形時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，判斷四邊形的形狀即可判斷C.設(shè)為到平面的距離，三棱錐的體積：，不為定值，可判斷D.【詳解】對A，如下圖所示，延長交于，交于，延長交于，取的中點(diǎn)，連接交于，連接，因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，所以，同理，又因?yàn)?，所以，同理，所以共面，此時(shí)六邊形為截面，所以截面為六邊形，故A正確；對B，如下圖所示，延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時(shí)截面為五邊形，因?yàn)?，所以，所以，即，所以?dāng)時(shí)，截面為五邊形，故B錯(cuò)誤；對C，當(dāng)截面為四邊形時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，由A得，，所以四邊形即為截面，設(shè)正方體的棱長為1，則，，所以，所以四邊形是等腰梯形，故C正確.對D，設(shè)為到平面的距離，延長，交于一點(diǎn)，連接與交于一點(diǎn)，所以直線與平面相交，所以直線與平面不平行，三棱錐的體積：，因?yàn)闉槎ㄖ?，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，所以到平面的距離不為定值，所以三棱錐的體積為不為定值，故D不正確.故選：AC.12.已知函數(shù)、的定義域均為，且，，若的圖象關(guān)于直線對稱，，則（）A.函數(shù)對稱軸為方程為B.函數(shù)的周期為C.對于函數(shù)，有D.對于函數(shù)，有【答案】BC【解析】【分析】推導(dǎo)出，結(jié)合函數(shù)對稱性的定義可判斷A選項(xiàng)；推導(dǎo)出，結(jié)合函數(shù)周期性的定義可判斷B選項(xiàng)；推導(dǎo)出函數(shù)的周期，計(jì)算出的值，結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出的值，結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以，，所以，函?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，即，所以，，所以，，即，所以，函數(shù)的周期為，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，可得，所以，，所以，函?shù)周期函數(shù)，且周期為，所以，，由且，則，所以，，由可得，所以，，由可得，則，所以，，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，D錯(cuò).故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分．）13.的展開式中的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意得的展開式中的系數(shù)為，的系數(shù)為，所以，的展開式中的系數(shù)為.故答案為：14.已知曲線在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】由題意可得直線的斜率為，再由垂直可得曲線在處的切線斜率為，對曲線求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)為可得的值.【詳解】解：直線的斜率為,可得曲線在處的切線為，，當(dāng)，，可得，可得，故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與直線的垂直關(guān)系及導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于中檔題.15.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，則的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，得到，再利用均值不等式計(jì)算的最小值.【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴，由，得，又，∴，且，，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立．∴的最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布的計(jì)算，均值不等式的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，需要同學(xué)們熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn).16.設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足，則C的離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】利用距離公式將表示，配方后，分和兩種情況討論即得【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，?dāng)即時(shí)，，所以，即化簡得：，故，兩邊同除以得，所以；當(dāng)，即時(shí)，，所以，由，同除以得，所以綜上，離心率的范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．四、解答題（本大題共6小題，共70分．寫出必要文字說明、證明或演算步驟．）17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）已知，設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，若，求a．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡得，則，則得到的大?。唬?）根據(jù)向量中線定理得，兩邊同平方化簡得，解出值即可.【小問1詳解】由，得，利用正弦定理得：，即，化簡得，，，，又，．【小問2詳解】因?yàn)镈為邊AB的中點(diǎn)，所以，則，化簡得，解得或（舍)18.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列為等比數(shù)列且公比，滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若________，記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．在①，②，，成等差數(shù)列，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中，并對其求解．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公比，進(jìn)而判斷數(shù)列為等差數(shù)列，再求出通項(xiàng)作答.（2）選①②③，分別求出數(shù)列的通項(xiàng)，結(jié)合（1），利用分組求和法求解作答.【小問1詳解】因?yàn)?，，，，令得，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，即有，而，解得，則，因此，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】若選①，由（1）知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，由得，，解得，則，因此，即有數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)4為公比的等比數(shù)列，所以．選②，由（1）及，，成等差數(shù)列得，即，，則，因此，即有數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)4為公比的等比數(shù)列，所以．若選③，由（1）及得，解得，則，因此，即有數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)4為公比的等比數(shù)列，所以．19.2022年10月2日，黨的二十大勝利閉幕，為了更好的學(xué)習(xí)二十大精神，某市市委宣傳部面向全市各部門開展了二十大宣講活動(dòng)．某都門為了鞏固活動(dòng)成果，面向其下屬甲、乙、丙三個(gè)單位開展“領(lǐng)悟二十大精神”知識(shí)競賽，競賽成績達(dá)到95分以上（含95分）的單位將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的單位及冠軍得主，收集了甲、乙、兩三個(gè)單位以往的知識(shí)競賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）；甲：98，97，95.5，95.4，94.8，94.2，94，93.5，93，92.5；乙：97.8，95.6，95.1，93.6，93.2，92.3；丙：98.5，96.5，92，91.6假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙三個(gè)單位的知識(shí)競賽成績相互獨(dú)立．（1）估計(jì)甲單位在“知識(shí)競賽”中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)X是甲、乙、丙三個(gè)單位中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的單位總數(shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX；（3）在“領(lǐng)悟二十大精神”知識(shí)競賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）；（2）1.4；（3）甲獲得冠軍的概率估計(jì)值最大.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）由題意知X所有可能取值為0，1，2，3．再求出三個(gè)單位在知識(shí)競賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率，再求出X為0，1，2，3的概率，即得解；（3）求出三個(gè)單位競賽成績的平均數(shù)，即得解.【小問1詳解】由題意知知識(shí)競賽成績達(dá)到95分以上（含95分）獲優(yōu)秀獎(jiǎng)，甲單位的成績共有10個(gè)，甲單位的成績達(dá)到95分及以上的有98，97，95.5，95.4，共四個(gè)，所以設(shè)“甲單位在競賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)”為事件A，則事件A的概率為．【小問2詳解】由題意知X所有可能取值為0，1，2，3．甲單位在知識(shí)競賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為．設(shè)“乙單位在知識(shí)競賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)”為事件B，則事件B的概率為．設(shè)“丙單位在知識(shí)競賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)”為事件C，則事件C的概率為．于是，，，，所以．【小問3詳解】甲獲得冠軍的概率估計(jì)值最大．甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，丙的平均數(shù)為．故甲獲得冠軍的概率估計(jì)值最大20.如圖，在三棱錐中，，平面，，的面積分別為2，．（1）求到平面的距離；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等體積法求解即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，進(jìn)而證明平面得，進(jìn)而以以為原點(diǎn)直線為軸，過且平行于做軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【小問1詳解】解：在三棱錐中，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)樵谌忮F中，，平面，，的面積分別為2，．所以，，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為．【小問2詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)椋?，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，．又平面且，所以平面，又平面，所以．所以，以為原點(diǎn)直線為軸，過且平行于做軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，又面積為，所以，所以，，，，，所以的中點(diǎn)，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為．21.已知圓，定點(diǎn)，N為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，線段MN的中垂線與直線CN交于點(diǎn)P．（1）證明：為定值，并求出點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）若曲線上一點(diǎn)Q，點(diǎn)A，B分別為在第一象限上的點(diǎn)與在第四象限上的點(diǎn)，若，，求面積的取值范圍．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)雙曲線的定義求軌跡方程；(2)利用表示出，,再結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上可得，從而表示出，根據(jù)雙勾函數(shù)的單調(diào)性求取值范圍.【小問1詳解】證明：由題意，圓C的圓心，半徑，由點(diǎn)N與M關(guān)于PQ對稱，則，，且，由雙曲線定義知，點(diǎn)P的軌跡為以C，M為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為：，，，，，所以雙曲線方程為.【小問2詳解】由題意知，，分別為雙曲線的漸近線,設(shè)，，由，設(shè)．，，,由于P點(diǎn)在雙曲線上，，,又，同理，設(shè)OA的傾斜角為，則．,函數(shù)，，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；．22.已知，，．（1）若，求a的取值范圍；（2）若，證明：存在函數(shù)和函數(shù)共有3個(gè)不同的零點(diǎn)，并且這3個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)由已知，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值可得a的取值范圍；(2)依據(jù)，的單調(diào)性．結(jié)合零點(diǎn)存在定理分別證明函數(shù)，有2個(gè)零點(diǎn)．再證明存在