2023年湖南省長沙市雨花區(qū)雅禮教育集團(tuán)數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期期末考試試題含解析

2023年湖南省長沙市雨花區(qū)雅禮教育集團(tuán)數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．下列式子中，y是x的反比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．方程的解是（）A． B． C．， D．，3．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在直徑AB一側(cè)的圓上（異于A，B兩點(diǎn)），點(diǎn)E在直徑AB另一側(cè)的圓上，若∠E＝42°，∠A＝60°，則∠B＝（）A．62° B．70° C．72° D．74°4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（1，0），拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，CE∥AB，并與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E．現(xiàn)有下列結(jié)論：①a＞0；②b＞0；③1a+2b+c＜0；④AD+CE＝1．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④5．方程的解是（）A． B． C． D．6．圖中幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．7．圓錐的底面半徑是5cm，側(cè)面展開圖的圓心角是180°，圓錐的高是（）A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm8．在一個暗箱里放有a個除顏色外其它完全相同的球，這a個球中紅球只有3個．每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色再放回暗箱．通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，那么可以推算出a大約是（）A．12 B．9 C．4 D．39．將二次函數(shù)y=2x2-4x+4的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位后所得圖象的函數(shù)解析式為（）A．y=2(x+1)2+1 B．y=2(x+1)2+3 C．y=2(x-3)2+1 D．y=-2(x-3)2+310．拋物線如圖所示，給出以下結(jié)論：①，②，③，④，⑤，其中正確的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個11．一個高為3cm的圓錐的底面周長為8πcm，則這個圓錐的母線長度為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．5πcm12．如圖，正方形ABCD的邊長是4，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值（）A．2B．4C．2D．4二、填空題（每題4分，共24分）13．在Rt△ABC中，兩直角邊的長分別為6和8，則這個三角形的外接圓半徑長為_____．14．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為10，則的長為____．15．若某斜面的坡度為，則該坡面的坡角為______.16．小亮在上午8時，9時30分，10時，12時四次到室外的陽光下觀察向日葵的頭莖隨太陽轉(zhuǎn)動的情況，無意之中，他發(fā)現(xiàn)這四個時刻向日葵影子的長度各不相同，那么影子最長的時刻為________．17．如圖，矩形中，，連接，將線段分別繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°至，線段與弧交于點(diǎn)，連接，則圖中陰影部分面積為____．18．已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是__________．三、解答題（共78分）19．（8分）綜合與探究：如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P為線段BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，請解答下列問題：（1）求拋物線與x軸的交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)（2）求線段PQ長度的最大值，并直接寫出及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．20．（8分）一個斜拋物體的水平運(yùn)動距離為x（m），對應(yīng)的高度記為h（m），且滿足h＝ax1+bx﹣1a（其中a≠0）．已知當(dāng)x＝0時，h＝1；當(dāng)x＝10時，h＝1．（1）求h關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（1）求斜拋物體的最大高度和達(dá)到最大高度時的水平距離．21．（8分）如圖，有三張不透明的卡片，除正面標(biāo)記有不同數(shù)字外，其它均相同．將這三張卡片反面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張；放回洗勻后，再隨機(jī)抽取一張．我們把第一次抽取的卡片上標(biāo)記的數(shù)字記作，第二次抽取的卡片上標(biāo)記的數(shù)字記作．（1）寫出為負(fù)數(shù)的概率；（2）求使得一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限的概率．（用樹狀圖或列表法求解）22．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半徑為3，求線段CD的長．23．（10分）東東玩具商店用500元購進(jìn)一批悠悠球，很受中小學(xué)生歡迎，悠悠球很快售完，接著又用900元購進(jìn)第二批這種悠悠球，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，但每套進(jìn)價多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的進(jìn)價是多少元；（2）如果這兩批悠悠球每套售價相同，且全部售完后總利潤不低于25%，那么每套悠悠球的售價至少是多少元？24．（10分）如圖，某航天飛機(jī)在地球表面點(diǎn)P的正上方A處，從A處觀測到地球上的最遠(yuǎn)點(diǎn)Q，即AQ是⊙O的切線，若∠QAP＝α，地球半徑為R，求：(1)航天飛機(jī)距地球表面的最近距離AP的長；(2)P、Q兩點(diǎn)間的地面距離，即的長．(注：本題最后結(jié)果均用含α，R的代數(shù)式表示)25．（12分）計算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．26．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，若，且AC=14，求DE的長.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的一般式是y＝（k≠0），即可判定各函數(shù)的類型是否符合題意．【詳解】A、是正比例函數(shù)，錯誤；B、不是反比例函數(shù)，錯誤；C、是反比例函數(shù)，正確；D、不是反比例函數(shù)，錯誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的定義特點(diǎn)，反比例函數(shù)解析式的一般形式為：y＝（k≠0）．2、C【分析】先把從方程的右邊移到左邊，并把兩邊都除以4化簡，然后用因式分解法求解即可.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關(guān)鍵.3、C【分析】連接AC．根據(jù)圓周角定理求出∠CAB即可解決問題．【詳解】解：連接AC．∵∠DAB＝60°，∠DAC＝∠E＝42°，∴∠CAB＝60°﹣42°＝18°，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣18°＝72°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考察圓周角定理，解題關(guān)鍵是連接AC．利用圓周角定理求出∠CAB.4、D【分析】①根據(jù)拋物線開口方向即可判斷；②根據(jù)對稱軸在y軸右側(cè)即可判斷b的取值范圍；③根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸即可判斷；④根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸可得AD=BD，再根據(jù)CE∥AB，即可得結(jié)論．【詳解】①觀察圖象開口向下，a＜0，所以①錯誤；②對稱軸在y軸右側(cè)，b＞0，所以②正確；③因?yàn)閽佄锞€與x軸的一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，對稱軸在y軸右側(cè)，所以當(dāng)x=2時，y＞0，即1a+2b+c＞0，所以＞③錯誤；④∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴AD=BD．∵CE∥AB，∴四邊形ODEC為矩形，∴CE=OD，∴AD+CE=BD+OD=OB=1，所以④正確．綜上：②④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線與x軸的交點(diǎn)進(jìn)行計算．5、B【解析】按照系數(shù)化1、開平方的步驟求解即可.【詳解】系數(shù)化1，得開平方，得故答案為B.【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的求解,熟練掌握,即可解題.6、D【解析】本題考查了三視圖的知識找到從上面看所得到的圖形即可．從上面看可得到三個矩形左右排在一起，中間的較大，故選D．7、A【解析】設(shè)圓錐的母線長為R，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2π?5=，然后解方程即可母線長，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可．【詳解】設(shè)圓錐的母線長為R，根據(jù)題意得2π?5，解得R＝1．即圓錐的母線長為1cm，∴圓錐的高為：5cm．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．8、A【分析】摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，即=25%，即可即解得a的值【詳解】解：∵摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，∴=25%，解得：a=1．故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查用頻率估計概率，熟記公式正確計算是本題的解題關(guān)鍵9、A【分析】先配方成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“上加下減，左加右減”解答即可．【詳解】由“上加下減，左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)y=2x2-4x+4配方成的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得以新的拋物線的表達(dá)式是y=2(x+1)2+1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)圖象的平移，由y=ax2平移得到y(tǒng)=a（x-h）2+k，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式即可．10、D【分析】根據(jù)拋物線開口方向、拋物線的對稱軸位置和拋物線與y軸的交點(diǎn)位置可判斷a、b、c的符號，再根據(jù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)代入分析即可得到結(jié)果；【詳解】∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴b＜0，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，∴c＜0，∴ab＜0，故①②正確；當(dāng)x=-1時，，故③正確；當(dāng)x=1時，根據(jù)圖象可得，故④正確；根據(jù)函數(shù)圖像與x軸有兩個交點(diǎn)可得，故⑤正確；故答案選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，準(zhǔn)確分析每一個數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．11、C【分析】由底面圓的周長公式算出底面半徑，圓錐的正視圖是以母線長為腰，底面圓直徑為底的等腰三角形，高、底面半徑和母線長三邊構(gòu)成直角三角形，再用勾股定理算出母線長即可．【詳解】解：由圓的周長公式得=4由勾股定理=5故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的周長公式，圓錐的正視圖勾股定理等知識點(diǎn)．12、C【分析】過D作AE的垂線交AE于F，交AC于D′，再過D′作AP′⊥AD，由角平分線的性質(zhì)可得出D′是D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，進(jìn)而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值．【詳解】作D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)D′，再過D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，AD′=AD=4，∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=22，即DQ+PQ的最小值為22，故答案為C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)和軸對稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】根據(jù)直角三角形外接圓的直徑是斜邊的長進(jìn)行求解即可．【詳解】由勾股定理得：AB＝＝10，∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直徑，∴這個三角形的外接圓直徑是10；∴這個三角形的外接圓半徑長為1，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了90度的圓周角所對的弦是直徑，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.14、2π【分析】利用正五邊形的性質(zhì)得出中心角度數(shù)，進(jìn)而利用弧長公式求出即可．【詳解】解：如圖所示：連接OA、OB．∵⊙O為正五邊形ABCDE的外接圓，⊙O的半徑為10，∴∠AOB＝＝72°，∴的長為：．故答案為：2π．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓、弧長公式等知識，得出圓心角度數(shù)是解題關(guān)鍵．15、30°【分析】根據(jù)坡度與坡比之間的關(guān)系即可得出答案.【詳解】∵∴坡面的坡角為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查坡度與坡角，掌握坡度與坡角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.16、上午8時【解析】解：根據(jù)地理知識，北半球不同時刻太陽高度角不同影長也不同，規(guī)律是由長變短，再變長．故答案為上午8時．點(diǎn)睛：根據(jù)北半球不同時刻物體在太陽光下的影長是由長變短，再變長來解答此題．17、【分析】根據(jù)勾股定理得到、由三角函數(shù)的定義得到、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到、求得，然后根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是矩形∴∵，∴，∴∵線段分別繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至∴∴∴．故答案是：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、直角三角形的面積、扇形的面積、將求不規(guī)則圖形面積問題轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形面積相加減問題，解題的關(guān)鍵在于面積問題的轉(zhuǎn)化．18、且【分析】根據(jù)根的判別式和一元一次方程的定義得到關(guān)于的不等式，求出的取值即可．【詳解】關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∵，∴且，

解得：且，

故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，能根據(jù)題意得出關(guān)于的不等式是解此題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）．（2）PQ的最大值=，此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）【分析】（1）令y=0可求得x的值，可知點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，運(yùn)用配方法可求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求出直線BC的表達(dá)式，再設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，）則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，－m+1），得QE=－（－m+1）=，求出QE的最大值即可解決問題．【詳解】（1）把y=0代入中得：解得：x1=－2，x2=1∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．∵∴拋物線W的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）．（2）過點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F，交線段BC于點(diǎn)E．當(dāng)x=0時，代入得：y=1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．∴OC=OB=1，∴∠OBC=15°．設(shè)QC的表達(dá)式為y=kx+b，把C（0，1），B（1，0）代入解析式得，，解得，，∴直線BC的表達(dá)式為y=－x+1．∵QF⊥x軸，PQ⊥BC，∴∠PQE=15°．在Rt△PQE中，∠PQE=∠PEQ=15°，∴當(dāng)QE最大時，PQ的長也最大．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，）則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，－m+1）．∴QE=－（－m+1）=．∵a=－＜0，∴QE有最大值為：當(dāng)m=2時，QE最大值為2．∴PQ的最大值=QE·．此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確表示出QE的長度是關(guān)鍵．20、（1）h＝﹣x1+10x+1；（1）斜拋物體的最大高度為17，達(dá)到最大高度時的水平距離為2．【分析】（1）將當(dāng)x＝0時，h＝1；當(dāng)x＝10時，h＝1，代入解析式，可求解；（1）由h＝?x1＋10x＋1＝?（x?2）1＋17，即可求解．【詳解】（1）∵當(dāng)x＝0時，h＝1；當(dāng)x＝10時，h＝1．∴解得：∴h關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：h＝﹣x1+10x+1；（1）∵h(yuǎn)＝﹣x1+10x+1＝﹣（x﹣2）1+17，∴斜拋物體的最大高度為17，達(dá)到最大高度時的水平距離為2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求出二次函數(shù)的解析式是本題的關(guān)鍵．21、（1）；（2）【分析】（1）用負(fù)數(shù)的個數(shù)除以數(shù)的總數(shù)即為所求的概率；

（2）畫樹狀圖列舉出所有情況，看k＜0，b＜0的情況占總情況的多少即可．【詳解】解：（1）共有3個數(shù)，其中負(fù)數(shù)有2個，那么為負(fù)數(shù)的概率為（2）畫樹狀圖可知，兩次抽取卡片試驗(yàn)共有9種不同結(jié)果,每種可能性相同“一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限”等價于“且”抽取卡片滿足，有4種情況所以，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限的概率是．【點(diǎn)睛】考查概率的求法；用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．注意過二、三、四象限的一次函數(shù)的k為負(fù)數(shù)，b為負(fù)數(shù)．22、（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接OC，由OA＝OC可以得到∠OAC＝∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC＝∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點(diǎn)；（2）連接BC，∠BAC＝30°，在Rt△ABC中可求得AC，同理在Rt△ACD中求得CD．【詳解】（1）證明：連接CO，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴CO∥AD，∴CO⊥CD，∴DC為⊙O的切線；（2）解：連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAB＝30°，∵⊙O的半徑為3，∴AB＝6，∴AC＝AB＝3．∵∠CAD＝30°∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時首先利用切線的判定證明切線，然后利用含特殊角度的直角三角形求得邊長即可解決問題．23、（1）第一批悠悠球每套的進(jìn)價是25元；（2）每套悠悠球的售價至少是1元．【解析】分析：（1）設(shè)第一批悠悠球每套的進(jìn)價是x元，則第二批悠悠球每套的進(jìn)價是（x+5）元，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價結(jié)合第二批購進(jìn)數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每套悠悠球的售價為y元，根據(jù)銷售收入-成本=利潤結(jié)合全部售完