濟(jì)南大學(xué)高等數(shù)學(xué)C一ch-

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)

－微積分濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

第一節(jié)數(shù)列的極限小結(jié)數(shù)列的定義數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列的極限思考題“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、概念的引入割圓術(shù)：古代數(shù)學(xué)家劉徽利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法播放引例1截杖問題“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”——《莊子》“天下篇”它描述了截取過程中棒長剩余量的變化情況.引例2極限一、數(shù)列的定義例如2.表示方法（1）用數(shù)軸上的點表示數(shù)列（2）用平面上的點表示：xnn·····12播放三、數(shù)列的極限當(dāng)

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它?通過上面演示實驗的觀察:問題:如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注:幾何解釋其中證明：所以,關(guān)鍵：尋找N例1例2所以,說明:常數(shù)列的極限等于常數(shù)本身.注:證明：（2）當(dāng)由|xn-a|<

直接求解n不好解時，可適當(dāng)放大不等式，如使：|xn-a|<f(n)<,由f(n)<,求解n.（1）用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.證明：用極限定義證明例31.有界性例如:有界,無界.二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1

收斂的數(shù)列必定有界.注：1、有界性是數(shù)列收斂的必要條件.

2、推論：無界數(shù)列必定發(fā)散.2.唯一性定理2

收斂數(shù)列的極限必唯一.

定理3

保號性.

定理4

收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系.注：1.由定理4知,若{xn}有兩個分別收斂于a≠b的子數(shù)列，則{xn}發(fā)散.由此給出判定數(shù)列發(fā)散的一種方法.

如：{(-1)n+1}2.有收斂子列的數(shù)列，斂散性不一定.即收斂數(shù)列一定有收斂子列，發(fā)散數(shù)列也可能有。關(guān)鍵由子數(shù)列是否收斂于同一極限來判定原數(shù)列的斂散性.證明：思考題小結(jié)數(shù)列的極限2.幾何解釋3.性質(zhì)1.唯一性2.有界性3.保號性4.收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系極限思想,精確定義(

-N語言),幾何意義作業(yè)P35T1(偶),T7播放結(jié)束播放結(jié)束

第二節(jié)函數(shù)的極限函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的定義概念的引入思考題、小結(jié)數(shù)列的極限2.幾何解釋3.性質(zhì)1.唯一性2.有界性3.保號性4.收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系內(nèi)容回顧一、概念的引入數(shù)列的表示：1、用數(shù)軸上的點2、用平面上的點

對上述數(shù)列極限的概念作一般推廣：在自變量的某個變化過程中，若對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個常數(shù)，則此常數(shù)即為此函數(shù)在自變量的這一變化過程中的極限.

對于函數(shù)的極限，主要研究兩種自變量變化過程中，函數(shù)的變化情況：

則數(shù)列的極限是一、函數(shù)極限的定義（一）自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限播放問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.1.定義2.另兩種情形3.幾何解釋例1證明（二）自變量趨向有限值時函數(shù)的極限注：)(0是否有定義無關(guān)在點函數(shù)極限與xxf1.定義2.幾何解釋注：例2證明例3證明證明函數(shù)在點x=1處沒有定義.用定義證明函數(shù)極限的一般步驟：例33.單側(cè)極限例如:左右左極限右極限說明：左、右極限常用于考察分段函數(shù)在分段點處的極限.左右極限存在但不相等,例證明2.局部有界性1.唯一性3.局部保號性定理3推論三、函數(shù)極限的性質(zhì)左右極限存在但不相等,證明思考題函數(shù)極限的統(tǒng)一表示小結(jié)過程時刻從此時刻以后

過程時刻從此時刻以后

作業(yè)P43T4,T6（一）自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限（一）自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限（一）自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限（一）自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限（一）自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限（一）自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限（一）自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限（一）自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限（一）自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限播放結(jié)束

第三節(jié)無窮大與無窮小無窮小與無窮大的關(guān)系無窮大無窮小思考題、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一表示內(nèi)容回顧過程時刻從此時刻以后

過程時刻從此時刻以后

1.定義極限為零的變量稱為無窮小.一、無窮小例如,注：1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:定理1證必要性充分性3.無窮小的運算性質(zhì):定理2

在同一變化過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注:無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理1定理3

無窮小與有界量的乘積是無窮小.★推論1

在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3

有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小.無窮小之間進(jìn)行加、減、乘以及數(shù)乘運算得到的還是無窮小。結(jié)論：問題：無窮小之間進(jìn)行除運算會得到什么結(jié)果呢？

絕對值無限增大的變量稱為無窮大.二、無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;注：只是記號，且為了討論的需要.運算：在自變量同一變化過程中,兩個無窮大相加或相減的結(jié)果是不確定的,因此無窮大沒有無窮小那樣類似的性質(zhì).具體問題要具體分析.3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.定理4

在自變量的同一變化過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小；恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.三、無窮小與無窮大關(guān)系意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.解:不一定.思考題無窮大是一種特殊的無界變量,無界變量一定是無窮大量嗎?無界.不是無窮大．小結(jié)主要內(nèi)容:兩個定義;四個定