2023-2024學年廣東省東莞市四中高三上學期10月月考數(shù)學試題及答案

東莞四中2023-2024高三第一學期數(shù)學月考試題與答案一、單項選擇題：A(B{x|43x2AB1.已知集合，，則（）1,31,322,3,3A.B.C.D.3333baba”是“a2b2”的（2.已知，是實數(shù)，則“）A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件3.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調遞增的是（）x1x11fxfxA.CB.D.21fxx2fxxx24x4.在x的展開式中，x2的系數(shù)是（）84A.B.8C.D.45.《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（）673733A.升B.升C.升D.升6610sinxfx6.函數(shù)的大致圖象為（）2x2xA.B.C.D.alog63blog32,c0.5，則（B.fxx圖像關于原點對稱，其中00.17.已知）A.abcC.D.bacππ,8.已知函數(shù)，π,0，而且在區(qū)間上43有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）32929239922≤≤2≤≤D.A.B.C.22二、多項選擇題：π6f(x)sin2x9.已知函數(shù)，則（）πA.的最小正周期為fx2π12,0fx是圖象的一個對稱中心B.點ππ,C.在fx上單調遞增63πysin2x的圖象fxD.將的圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到610.一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，則下列說法正確的是（）1A.從中任取3球，恰有2個白球的概率是；5EX2；B.從中有放回的取球6次，每次任取一球，設取到紅球次數(shù)為X，則C.現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為2；51927D.從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.f(x)ax22xx存在極值點，則實數(shù)a的值可以是（）11.已知函數(shù)1e12A.0B.C.D.e12.隨種群數(shù)量的增加而逐漸減小，為了刻畫這種現(xiàn)象，生態(tài)學上提出了著名的邏輯斯諦模型：KN0N0KNeNtNN，r，K是正數(shù)，表示初始時刻種群數(shù)量，r叫做種群的內秉增0，其中rt00長率，K是環(huán)境容納量.可以近似刻畫時刻的種群數(shù)量.下面給出四條關于函數(shù)的判斷正確的NtNtt有（）K；N0，那么存在t0Nt2N0，A.如果30N0K，那么對任意t0，NtK；B.如果C.如果D.如果0N0K，那么存在t0，Nt在點處的導數(shù)；tNt0K的導函數(shù)在上存在最大值0N0NtNt，那么.2三、填空題：AC______．13.在中，3，A，B60，則14.某中學為慶祝建校130?乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學成果展活動，活動結束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有__________種(用數(shù)字作答)．1sin215.已知角的大小如圖所示，則的值為________16.古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀，把數(shù)分成許多類，如圖，第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構成數(shù)列，正方形數(shù)構成數(shù)列，則anbn101a______；______.bai1i1i1四、解答題：πAbc217.在中，內角，B，C所對的邊分別為，，，b27，ac，B．3a（1）求的值；（2）求sinA的值；sinB2A的值．（3）求的前項和為，anSn22521，S918.已知等差數(shù)列.n（1）求的通項公式；an1111（2）證明：.1a2a23anan1619.小家電指除大功率，大體積家用電器（如冰箱、洗衣機、空調等）以外的家用電器，運用場景廣泛，近年來隨著科技發(fā)展，智能小家電市場規(guī)模呈持續(xù)發(fā)展趨勢，下表為連續(xù)5年中國智能小家電市場規(guī)模1~5.x年份代碼12345180y市場規(guī)模（單位：千億元）1.301.401.621.68yx（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用樣本相關系數(shù)加以說明（若r0.75，則線性相關程度較高，r精確到0.01yx（2）建立關于的經驗回歸方程.nxxyyii5xxyy1.28，iiri1參考公式和數(shù)據(jù)：樣本相關系數(shù)，nn22xxiyi1ii1i1nxxyy5ii2iy0.17bi1$$，1.71.3，，aybx.nnx2i1i2i1的前項和為，且Snan2Snna.n220.設正項數(shù)列n（1）求數(shù)列的通項公式；ana（2）記nn的前項和為T，求證：T2.nnn221.哈六中舉行數(shù)學競賽，競賽分為初賽和決賽兩階段進行.初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個學年派出兩名同學，且每名同學都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學才具備參與決賽的資格.高三學年派出212甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過第一輪與第二輪比賽的33423概率分別是，，且每名同學所有輪次比賽的結果互不影響.（1）若高三學年獲得決賽資格的同學個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.,B（2）已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入兩個紙箱中，A箱中有3道選擇題,B和2道填空題，B箱中有3道選擇題和3道填空題.決賽中要求每位參賽同學在兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.甲先從A箱中依次抽取2道題目，答題結束后將題目一起放入B箱中，然后乙再抽取題目.已知乙從B箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從A箱中抽出的是2道選擇題的概率.22.已知函數(shù)fxexksinxk，其中為常數(shù)．（1）當k1時，判斷在區(qū)間內的單調性；fxx0,，都有，求fxk的1（2）若對任意取值范圍．東莞四中2023-2024高三第一學期數(shù)學月考試題與答案一、單項選擇題：A(B{x|43x2AB1.已知集合，，則（）11,322,3,3,3A.B.C.D.3333【答案】C【解析】【分析】先化簡集合B，再利用交集定義去求AB22【詳解】由43x225，解得x9B{x|x，則，3322AB([,9)[,3)所以.33故選：C.baba”是“a2b2”的（2.已知，是實數(shù)，則“）A.充分不必要條件C.充要條件【答案】CB.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.b，【詳解】由a2b2可得：aab0aba2b2，對兩邊同時平方可得a2b2，所以ab所以”是“a2b2”的充要條件.故選：C.3.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調遞增的是（）x1x112fxfxA.CB.D.1fxx2fxxx【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，結合函數(shù)的單調性逐一判斷即可.【詳解】對于A，定義域為xx1，故是非奇非偶函數(shù)，A錯，x1fx對于B，當x0時，在2上為減函數(shù)，∴B不對，對于C，∵定義域為R，且fxx1x2為偶函數(shù)，2上為增函數(shù)，tx1在上為增函數(shù)，x21，∵yt2設t在∴fxx21在上為增函數(shù)，∴C對.11對于D，∵故選：C.fxxxfx為奇函數(shù)，∴D不對.xx24x4.在x的展開式中，x2的系數(shù)是（）84A.B.8C.D.4【答案】A【解析】【分析】直接利用二項式定理計算即可.4r2x2x4r2rx42r【詳解】x的展開式通項為r1Cr4C4r，x128.C4取42r2，則r1，系數(shù)為故選：A5.《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（）673733A.升B.升C.升D.升66【答案】C【解析】an}，公差為dan}，公差為da,d，進而得解.1【分析】設此等差數(shù)列為【詳解】設此等差數(shù)列為，由題意列方程求出，aaaaaaa由題意可得：123478913a,d，聯(lián)立解得174a6d3ad4.則112266132276754.6666故選：C．10sinxfx6.函數(shù)的大致圖象為（）2x2xA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】結合函數(shù)的奇偶性及函數(shù)特殊值，逐項判斷，即可得到本題答案.10sinxx【詳解】因為f為奇函數(shù)，排除A，B選項，fx，所以函數(shù)fx2x2x3π10sin3π21022因為f1，排除C選項，3π3π3π3π2222222故選：Da3b2,c0.5，則（0.17.已知,）63A.abc【答案】D【解析】B.C.D.bac【分析】由abc1得ca，cb，由2ab得ab，從而可得cab.alog631，blog3210.501，【詳解】因為，c0.5所以ca，cb，2a23910b22log321又因為，，663所以2ab，即ab.故cab.故選：Dππ,fxx圖像關于原點對稱，其中08.已知函數(shù)，π,0，而且在區(qū)間上43有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）32929239922≤≤2≤≤D.A.B.C.22【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質計算即可.fxx【詳解】因為函數(shù)圖像關于原點對稱，且xR,π,0，πf000即函數(shù)為奇函數(shù)，所以，2π2fxx故sinx，ππx,ππx,當時，，有且只有一個最大值和一個最小值，43433πππ39292242.2由正弦函數(shù)的圖象與性質可得ππ3π26232故選：B.二、多項選擇題：π6f(x)sin2x9.已知函數(shù)，則（）πA.的最小正周期為fx2π12,0fx是圖象的一個對稱中心B.點ππ,C.在fx上單調遞增63πysin2x的圖象fxD.將的圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到6【答案】BC【解析】πππ2x(,)AB622上遞增求自變量x的對應區(qū)間判斷C；根據(jù)平移寫出平移后的解析式判斷D.2π【詳解】的最小正周期為fxTπ，故A錯誤．25π125ππfsinsin0π，66π12,0fx圖象的一個對稱中心，故B正確．所以是ππππ2πππ2x2xx由，2623363ππ所以在(,)63上單調遞增，C正確．fxsin2xππ3πysin2xsin2x的圖象上所有的點向右平移個單位長度得到66，故D錯誤．故選：BC10.一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，則下列說法正確的是（）1A.從中任取3球，恰有2個白球的概率是；5EX；2B.從中有放回的取球6次，每次任取一球，設取到紅球次數(shù)為X，則C.現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為2；51927D.從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.【答案】AD【解析】AC斷C，根據(jù)對立重復事件的概率可求D.C14CC22415=【詳解】對于A，從中任取3球，恰有2個白球的概率是,故A正確，3620對于B,從中有放回的取球6次，每次任取一球，設取到紅球次數(shù)為X服從二項分布，即232XB,EX4，故B錯誤，63對于C,第一次取到紅球后，第二次取球時，袋子中還有3個紅球和2個白球，再次取到紅球的概率為3，故C錯誤，5123對于D，有放回的取球，每次取到白球的概率為，沒有取到白球的概率為，323所以取球3次沒有取到白球的概率為8，327819.所以至少有一次取到白球的概率為1故選：AD，故D正確，2727f(x)ax22xx存在極值點，則實數(shù)a的值可以是（）11.已知函數(shù)1e12A.0B.C.D.e【答案】ABD【解析】112【分析】由題意可知，令，即fx0，換元后可得att2t2ta0a，則實數(shù)的取值范圍為21ytt2在0a，由此可求得實數(shù)的取值范圍.函數(shù)上的值域且滿足21【詳解】函數(shù)f(x)ax2xx的定義域為，且fx2ax2，2xyfx在定義域上存在極值點，由題意可知，函數(shù)1fx2ax2在0得有兩個解，x11112由，令t0，則at，fx0可得at2x2x2x10，a則實數(shù)的取值范圍為函數(shù)ytt2在上的值域且滿足，21121yt2tt12對于二次函數(shù)221112yt2當t0時，，2212112att22ta0，12a0a，解得對于二次方程，即t.21,因此，實數(shù)a的取值范圍是.2故選：ABD.12.隨種群數(shù)量的增加而逐漸減小，為了刻畫這種現(xiàn)象，生態(tài)學上提出了著名的邏輯斯諦模型：KN0N0KNeNtNN，r，K是正數(shù)，表示初始時刻種群數(shù)量，r叫做種群的內秉增0，其中rt00長率，K是環(huán)境容納量.可以近似刻畫時刻的種群數(shù)量.下面給出四條關于函數(shù)的判斷正確的NtNtt有（）K；N0，那么存在t0Nt2N0，A.如果30N0K，那么對任意t0，NtK；B.如果C.如果D.如果0N0K，那么存在t0，Nt在點處的導數(shù)；tNt0K的導函數(shù)在上存在最大值0N0NtNt，那么.2【答案】ABD【解析】2KNtNt0C得到BNtK0得到A3錯誤，構造，求導得到導函數(shù)，計算函數(shù)的單調區(qū)間，計算最值得到答案.ftNtK22K2ln23Nt，，正確；【詳解】對選項A：，解得tr0K2K3rert33KKNert對選項B：NtK0，0N0KNtK，故KKNert0，N0KNert00N0KNertNtK00，故，即，正確；00rtrKNKNeNt00NK，故任意的t0，Nt在處的導數(shù)t對選項C：，2KNert0N00Nt0，錯誤；0rtrKNKNeftNt0對選項D：令，20rtNKNe02KNKNertKNert000N0rKft0N則，，30KNert2N001KN0令得rtrt，解得，解得0t，ft00KNeN0000rN01KN0令得t，ftKNeN00rN01KN1KN所以在上單調遞增，在,上單調遞減，ft00rN0rN0那么的導函數(shù)Nt在上存在極大值，也是最大值，正確；Nt故選：ABD.【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，函數(shù)的應用，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中構造新函數(shù)，求導得到函數(shù)的單調區(qū)間進而求最值是解題的關鍵.三、填空題：AC，B60，則______．13.在中，【答案】33【解析】3，A【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理計算作答.AC【詳解】在由正弦定理中，3，A，B60，BCBCsinB3sin60AC33.，得BAsinAsin30故答案為：3314.某中學為慶祝建校130?乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學成果展活動，活動結束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有__________種(用數(shù)字作答)．【答案】24【解析】【分析】應用捆綁、插空法，結合分步計數(shù)及排列數(shù)求不同的排法數(shù).A222A222【詳解】將丙、丁捆綁排列有種，再把他們作為整體與戊排成一排有種，A236種，排完后其中有3個空，最后將甲、乙插入其中的兩個空有22624綜上，共有故答案為：2415.已知角的大小如圖所示，則種排法.1sin2的值為________【答案】4【解析】cos【分析】先根據(jù)圖像求出正切值，然后分子分母同除π構造正切結構，最后代入即可.4tan4，【詳解】由圖可知41sincos21sincos2cossin所以cos2sin2cossin1tan1tanπtan4，4故答案為：416.古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖，第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構成數(shù)列，正方形數(shù)構成數(shù)列，則anbn101a______；______.bai1i1i12011【答案】【解析】①.55②.aann2，利用累計法求出aa，即可求出，根據(jù)正方形數(shù)可知【分析】依題意可得nn1n111nn2nN*n22，即可得到當時，，利用裂項相消法求和即可.nnn1naann2，則aa2aa3aan，…，，nn1【詳解】根據(jù)三角形數(shù)可知，，nn12132aa234Ln累加得，n1nn1na1，經檢驗也滿足上式，1所以an1232nn11011a，則55；故n22，bnn2nN*根據(jù)正方形數(shù)可知1122112n2bann12nnnn1n當則時，n，nn2n211111ba2a3a4aai1i1i1234111111221231311111120111121.2011故答案為：55；四、解答題：πAbc217.在中，內角，B，C所對的邊分別為，，，b27，ac，B．3a（1）求的值；（2）求sinA的值；sinB2A的值．（3）求【答案】（1）a63（2）sinA53（3）14【解析】1）由余弦定理計算可得；（2）由正弦定理計算可得；（3）由余弦定理求出【小問1詳解】cosA，即可求出cos2A、sin2A，再由兩角差的正弦公式計算可得.由余弦定理知，b2a2c22acB，1228a242a2a0，2所以，即a解得a6或4a6．【小問2詳解】ab由正弦定理知，，sinAsinB627所以sinA3，23所以sinA．【小問3詳解】由余弦定理知，Ab2c2a22843622727，bc14133314cos2A2cos2A1所以，sin2A2sinAA，14所以sin(B2)sinB2ABsin2A3131233145314.142的前項和為，anSn22521，S918.已知等差數(shù)列.n（1）求的通項公式；an11116（2）證明：.1a2a23anan1a2n1n【答案】（1）（2）證明見解析【解析】a,d1a；n1）利用等差數(shù)列通項和求和公式可構造方程組求得，由此可得1111110可證得結論.（2）利用裂項相消法可求得【小問1詳解】，由1223nn164n64n6設等差數(shù)列的公差為ad，n2aaa6d213a2511，n32n2n1.98則，解得：S9ad99d2912【小問2詳解】11111由（1）得：，2n12n3nn122n12n3111111111111111，1223nn1235572n12n3232n364n61111160，.4n61223nn119.小家電指除大功率，大體積家用電器（如冰箱、洗衣機、空調等）以外的家用電器，運用場景廣泛，近年來隨著科技發(fā)展，智能小家電市場規(guī)模呈持續(xù)發(fā)展趨勢，下表為連續(xù)5年中國智能小家電市場規(guī)模1~5.x年份代碼12345y市場規(guī)模（單位：千億元）1.301.401.621.681.80yx（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用樣本相關系數(shù)加以說明（若r0.75，則線性相關程度較高，r精確到0.01yx（2）建立關于的經驗回歸方程.nxxyyii5ri1xxyy1.28參考公式和數(shù)據(jù)：樣本相關系數(shù)，，iinn22xxiyi1ii1i1nxxyy5ii2iy0.17bi1$$，1.71.3，，aybx.nnx2i1i2i1【答案】（1）答案見解析（2）y0.128x1.176【解析】1）由題中數(shù)據(jù)求出樣本相關系數(shù)r，可得答案；yx（2）由題中數(shù)據(jù)求出b，a，可得關于的經驗回歸方程.【小問1詳解】12345x由表知的平均數(shù)為x3，552xx13233343531022222所以，ii15xxyyii1.281.281.28ri10.98，100.171.71.35522xxiyii1i1yxyxyx因為與的相關系數(shù)近似為0.98，說明與的線性相關程度較高，從而可用線性回歸模型擬合與的關系.【小問2詳解】5i2122232425255，i15xxyyii1.285553bi10.128，255x2i2i11.301.401.621.681.80xy1.56ab1.560.12831.176，y，5y0.128x1.176yx所以y0.128x1.176，所以關于的經驗回歸方程為.的前項和為，且Snan2Snna.n220.設正項數(shù)列n（1）求數(shù)列的通項公式；ana（2）記nn的前項和為T，求證：T2.nnn2ann【答案】（1）（2）證明見解析【解析】anS的關系，結合已知條件以及等差數(shù)列的通項公式即可求得結果；n1）利用、（2）根據(jù)（1）中所求，利用錯位相減法求得n，即可證明.【小問1詳解】2Snna，n2因為當n1時，2S2aa21a，又an0，則a1；11112Snnaa102a2Sn1a2n1，兩式相減，n1當n2時，，n整理可得aa，又為正項數(shù)列，即0，annn1nn1nn1aa1，所以數(shù)列是以為首項，d1為公差的等差數(shù)列，an11所以所以nn1an.n【小問2詳解】nn由（1）可得，2n2n1223n2n所以n=+++，2223112n12nn2nnL所以所以，222231n12121n121111nn2n1n，1n122n222232n2n11112n1nn22n所以n2222.22n21.哈六中舉行數(shù)學競賽，競賽分為初賽和決賽兩階段進行.初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個學年派出兩名同學，且每名同學都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學才具備參與決賽的資格.高三學年派出212甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過第一輪與第二輪比賽的33423概率分別是，，且每名同學所有輪次比賽的結果互不影響.（1）若高三學年獲得決賽資格的同學個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.,B（2）已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入兩個紙箱中，A箱中有3道選擇題,B和2道填空題，B箱中有3道選擇題和3道填空題.決賽中要求每位參賽同學在兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.甲先從A箱中依次抽取2道題目，答題結束后將題目一起放入B箱中，然后乙再抽取題目.已知乙從B箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從A箱中抽出的是2道選擇題的概率.5E(X)【答案】（1）分布列見解析，65（2）【解析】1）根據(jù)求分布列的步驟求出分布列，根據(jù)數(shù)學期望公式求出數(shù)學期望；（2）根據(jù)貝葉斯公式可求出結果.【小問1詳解】21133212