直接法求兩點邊值問題

課程設(shè)計（論文）任務(wù)書數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院學(xué)院信息與計算科學(xué)專業(yè)—班課程名稱 科學(xué)仿真實驗五 題目 直接法求解兩點邊值問題（一） 任務(wù)起止日期： 2014年6月23日?2014年7月6日學(xué)生姓名 學(xué)號 指導(dǎo)教師 教研室主任 年月日審查課程設(shè)計（論文）任務(wù)、課題內(nèi)容查閱相關(guān)文獻，弄清高斯消去法和矩陣的三角分解等問題；編程實現(xiàn)并給出具體應(yīng)用實例，撰寫出設(shè)計論文；通過對本課題的實踐以期使學(xué)生程序編寫、調(diào)試、用科學(xué)計算方法解決實際問題等能力得到較大提高。、課題要求使用有關(guān)算法語言完成本課題的程序設(shè)計；程序必須得到合理結(jié)果，并對所得結(jié)果做必要的分析；設(shè)計論文正文篇幅不少于3000字；提交的所有材料必須符合《長沙理工大學(xué)課程設(shè)計管理規(guī)定》（長理工大教[2005]8號）的要求。紙制文檔資料包括：題目的復(fù)述、問題的分析、算法的描述、原程序、測試數(shù)據(jù)及有關(guān)運行結(jié)果和有關(guān)說明。三、課題完成后應(yīng)提交的材料課程設(shè)計材料按以下排列順序裝訂成冊封面(統(tǒng)一到學(xué)校教材中心領(lǐng)取，并詳細填寫)任務(wù)書題目內(nèi)容問題分析、算法描述等簡短源程序及有關(guān)運行結(jié)果等參考文獻附件(復(fù)雜的源程序打印件、有關(guān)運行結(jié)果)裝訂成冊的材料裝入資料袋資料袋統(tǒng)一到學(xué)校教材中心領(lǐng)取，并詳細填寫四、主要參考文獻(由指導(dǎo)教師選定)嚴蔚敏吳偉民.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C語言版)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1997.4李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].武漢?華中科技大學(xué)出版社，2006.7.清華大學(xué)、北京大學(xué)計算方法編寫組。計算方法[M]。北京?？茖W(xué)出版社，1980注：1.此任務(wù)書由指導(dǎo)教師填寫。如不夠填寫，可另加頁。2.此任務(wù)書最遲必須在課程設(shè)計(論文)開始前下達給學(xué)生。學(xué)生送交全部材料日期 學(xué)生（簽名）指導(dǎo)教師驗收（簽名） 直接法求解兩點邊值問題（二）摘要線性方程組的數(shù)值解法可以分為直接法和迭代法兩類。所謂直接法，就是不考慮舍入誤差，通過有限步驟四則運算即能求得線性方程組準(zhǔn)確解的方法。如克萊姆法則，但通過第一章的分析，我們知道用克萊姆法則來求解線性代數(shù)方程組并不實用，因而尋求線性方程組的快速而有效的解法是十分重要的。本章討論計算機上常用而有效的直接解法――高斯消去法和矩陣的三角分解等問題。為方便計，設(shè)所討論的線性方程組的系數(shù)行列式不等于零。高斯消去法是解線性方程組最常用的方法之一，它的基本思想是通過逐步消元，把方程組化為系數(shù)矩陣為三角形矩陣的同解方程組，然后用回代法解此三角形方程組得原方程組的解。關(guān)鍵詞：線性方程組；直接解法；高斯消去法DIRECTMETHODSOLVINGTWO-POINTBOUNDARYVALUEPROBLEMSABSTRACTNumericalalgorithmoflinearequationscanbedividedintotwocategories,directmethodanditerativemethod.Theso-calleddirectmethod,isnotconsideredroundingerror,throughlimitedstepsarithmeticwhichcanobtaintheaccuratesolutionoflinearequationsmethod.Suchascramer'srule,butthroughtheanalysisofthefirstchapter,weknowthatcramer'sruleisusedtosolvethelinearalgebraicequationsisnotpractical,thusseekingquickandeffectivesolutionsofsystemsoflinearequationssolutionisveryimportant.Thischapterdiscusscomputercommonlyusedandeffectivedirectsolution-gaussianeliminationandtriangledecompositionofmatrices.Fortheconvenienceofmeter,discussedthecoefficientdeterminantoflinearequationsisnotequaltozero.Gausseliminationmethodisoneofthemostcommonlyusedmethodofsolvinglinearequations,thebasicideaistopassagradualelimination,tocoefficientmatrixofthetriangularmatrixequationswithsolutionsoftheequations,thenbybacksubstitutionmethodsolvingthetriangleequationstothesolutionoftheoriginalequations.Keywords：linearequations;Directmethod;Gaussianelimination目錄問題的提出……………………1理論基礎(chǔ)………………………1高斯消去法………………2列主元消去法……………5矩陣的三角分解法………6算法介紹…………6定理結(jié)論…………7計算公式…………92.4解三對角方程組的追趕法………………10問題的求解……………………123.1順序消去法………………12列主元消去法……………13Doolittle分解法…………14追趕法……………………15計算結(jié)果……………………16參考文獻…………20附錄………………21考慮兩點邊值問題：容易知道它的精確解為：為了把微分方程離散，1問題的提出d2y,dy考慮兩點邊值問題：容易知道它的精確解為：為了把微分方程離散，1問題的提出d2y,dy_8 +——a,<zdx2 dx、yS丿-0,y（1丿-1.1-ay=0<a<1,+ax.把lo,1]區(qū)間n等分，令h=-nx=ih,i=1,2,?…,n一1,i得到差分方程：8yi-i-2yi+yi+1+yi+1一yi=a,TOC\o"1-5"\h\zh2 h簡化為：（8+h）y-（28+h）y+8y=ah2,i+1 i i-1從而離散后得到的線性方程組的系數(shù)矩陣為8+h-（28+8+h-（28+h） 8+h8 -（28+h）??. 8+h8 -（28+h）n=100，分別用順序消去法、列主元消去法、Doolittle分解法和追趕法求解線性方程組，然后比較與精確解的誤差，對結(jié)果進行分析。改變n，討論同樣問題。2理論基礎(chǔ)許多科學(xué)技術(shù)問題要歸結(jié)為解含有多個未知量X,X,?…，X的線性方程組:12nax+axH Fax=bTOC\o"1-5"\h\z11 1 12 2 1nn 1\o"CurrentDocument"ax+axF Fax=b z、< 21 1 22 2 2nn 2 (2.1)ax+axF Fax=bn1 1 n2 2 nnn n這里a(i,j=1,2,…，n)為方程組的系數(shù)，b(i=1,2,…，n)為方程組ij i自由項。方程組(2.1)的矩陣形式為：AX=b其中：'aa ?…a、rx)rb)11121n11aa ?…axbA=21222nX=2b=2.an1a ?…n2a丿nn<x丿n<b>n線性方程組的數(shù)值解法可以分為直接法和迭代法兩類。所謂直接法，就是不考慮舍入誤差，通過有限步驟四則運算即能求得線性方程組(2.1)準(zhǔn)確解的方法。如克萊姆法則，但通過第一章的分析，我們知道用克萊姆法則來求解線性代數(shù)方程組并不實用，因而尋求線性方程組的快速而有效的解法是十分重要的。本章討論計算機上常用而有效的直接解法――高斯消去法和矩陣的三角分解等問題。為方便計，設(shè)所討論的線性方程組的系數(shù)行列式不等于零。高斯(Gauss)消去法是解線性方程組最常用的方法之一，它的基本思想是通過逐步消元，把方程組化為系數(shù)矩陣為三角形矩陣的同解方程組，然后用回代法解此三角形方程組得原方程組的解。高斯消去法—般形式的線性方程組的解法中，為敘述問題方便，將b寫成a，i=1,i i,n+12,?…，n。

ax+ax+axH bax=a111 122 133 1nn 1,n+1ax+ax+ax+ +ax=a2.1)axn1 1+axn2 2+ax+ +axn33 nnnan,n+1如果a豐112.1)axn1 1+axn2 2+ax+ +axn33 nnnan,n+1如果a豐110，將第一個方程中x的系數(shù)化為1，得：1+a(1)x12+ +a(1)x=a(1)1,n+11n其中：a(1)1ja(o)/■j?-a(o)11j=1,…,n+1記a(0)ij=aiji=1,2,…,n;j=1,2,…,n+1)從其它n-1個方程中消x，使它變成如下形式2.22.2)x+a(1)x+ +a(1)x=a⑴1 122 1n n 1,n+1a(1)x+ +a(1)x=a⑴222 2nn 2,n+1a(1)x+ +a(1)xn22 nna(1)n,n+1其中：其中：a(1)=a—m-a⑴ij ij i1iji=2,…，nj=2,3,…,n+1由方程（2.2）到（2.3）的過程中，元素a起著重要的作用，特別地，把a1111稱為主元素。如果（2.3）中a⑴北0，則以a（1）為主元素，又可以把方程組（2.3）化為:2222x+a(1)x+…+a(1)x=a(1)11221nn1,n+1x+a(2)x+…+a(2)x=a(2)2 2332nn2,n+1a(2)x++a(2)x=a(3)(2.33333n n3,n+1a(2)x++a(2)x=a(2)n33nnnn,n+1針對（2.4）繼續(xù)消元，重復(fù)同樣的手段，第k步所要加工的方程組是：x+a(1)x+a(1)x+…+a(1)x=a(1)11221331nn1,n+1x+a(2)x+…+a(2)x=a(2)22332nn2,n+1x+a(k-1)x+…+a(k-1)x=a(k-1)k-1k-1 kkn nk-1,n+1a(k-1)x++a(k-1)x=a(k-1)...kk knnnk,n+1a(k-1)x++a(k-1)x=a(k-1)nk knnnn,n+1設(shè)a（k-1）工0，第k步先使上述方程組中第k個方程中X的系數(shù)化為1:kk kx+a（k）xH——a（k）x=a（k）k k,k+1k knn k,n+l然后再從其它（n-k）個方程中消x，消元公式為:ka（k-i）a（k）= — j=k,k+1,…,n+1kj a（k-i）kk<a（k）=a（k-i）一a（k-i）-a（k） （2.4）ij ij ik kjj=k+1,…,n+1i=k+1,…n按照上述步驟進行n次后，將原方程組加工成下列形式：x+a(1)x+a(1)x+ +a⑴x=a⑴1 122 133 1n n 1,n+1x+a(2)x+ +a(2)x=a(2)2 233 2n n 2,n+1x+a(n-1)x =a(n-1)n-1 nnn n-1,n+1x =a(n)n n,n+1回代公式為：x=a（n）n n,n+1{ 戸 k1 1 （2.5）x=a（k） 一乙 a（k）x k= n一1,???，1k k,n+1 kjjl j=k+1綜上所述，高斯消去法分為消元過程與回代過程，消元過程將所給方程組加工成上三角形方程組，再經(jīng)回代過程求解。由于計算時不涉及X,i=1,2,?…，n,所以在存貯時可將方程組AX=b，i寫成增廣矩陣（A,b）存貯。下面，我們統(tǒng)計一下高斯消去法的工作量；在（2.5）第一個式子中，每執(zhí)行一次需要n—(n—k)次除法，在(2.5)第—個式子中，每執(zhí)行一次需要[n—(k—1)]x(n—k)次除法。因此在消兀過程中,共需要：工b—k+1)x(n—k)+(n—k+1)]k=1 次乘作法。=工(n—k+1)2=n(n+1)(2n+1)6k=1此外，回代過程共有：￡(n—k)=2(n—1)次乘法。k=1匯總在一起，高斯消去法的計算量為：3(n2+3n—1)=等+n2—彳次乘除法。列主元消去法在列主兀消去法中，未知數(shù)仍然是順序地消去的，但是把各方程中要消去的那個未知數(shù)的系數(shù)按絕對值最大值作為主兀素，然后用順序消去法的公式求解。由于解方程組取決于它的系數(shù)，因此可用這些系數(shù)(包括右端項)所構(gòu)成的“增廣矩陣”作為方程組的一種簡化形式。列主兀消去法計算步驟：1、輸入矩陣階數(shù)n，增廣矩陣A(n,n+1)2、對k=1,2,…,n(1)按列選主元：選取l使maxak<i<nik(2)如果/豐k，交換A(n,n+1)的第k行與底l行元素3)消元計算：mj i=k+1,…,nikakkaJa—mai,=k+1,…,nj=k+1,…,n+1ij ijikkj4)回代計算：xJa-Yax i=n,n一1,?…,1i i,n+1 jjj=i+1(5)輸出解向量：x,x,…,x。1 2n矩陣的三角分解法下面我們進一步用矩陣理論來分析高斯消去法，從而建立矩陣的三角分解定理，而這個定理在解方程組的直接解法中起著重要作用，我們將利用它來推導(dǎo)某些具有特殊的系數(shù)矩陣方程組的數(shù)值解法。算法介紹考慮線性方程組：AX=b,AwRn対設(shè)解此方程組用高期消去法能夠完成（不進行變換兩行的初等變換），由于對A施行初等變換相當(dāng)于用初等矩陣左乘A,于是，高斯消去法的求解過程用矩陣理論來敘述如下：記：其中l(wèi)jia(其中l(wèi)jia(i)a(i)ii(j=i+1,…，n) 記 A(i)三A于是：(1‘a(chǎn)(1)于是：(1‘a(chǎn)(1)1a(1)LA(i)= .11a(1)―—a(1)11(、

a(1)a(1)…a⑴11 12 1na(1)A(1)2122a(1)n1‘1‘111L=k-11k+1,kL-1=k+11k+1,kJ 一1n,k1>J+1n,k1>c—1-a(1)11n-1丿'ac—1-a(1)11n-1丿'a(i)iiICi、rTA(i)丿22a(i)

ii、rTicrTA(i)22a(i)丿ii(a(i)iia(i)???a(i)i2 ina(2)?a(2)22 2niiA⑵i2A⑵丿22A(2)a(2)?a(2)丿2n nn0T如此繼續(xù)下去，c2a⑵0T如此繼續(xù)下去，c2a⑵22n-2丿a rT'A⑶ii iA(3)'a⑵ rT=iii2222、0A(3)丿0c A(2)2 33220T1步時有：(a(i)iiL A(a(i)iiL A(n-i)n-i也就是說：、…a(i)ina⑵…a⑵22 2na(2)丿nn記：則有：A=LLn-in-記：則有：A=LLn-in-2…LLA=U2iL=L-iL-i…Li2 n-il2il3il32Ilniln2LU。其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣。定理結(jié)論總結(jié)上述討論得到重要性定理：定理1：（矩陣的三角分解）設(shè)A為nxn實矩陣，如果解AX=b用高斯消去法能夠完成（限制不進行行的交換，即a（k）豐0,k二i,2,…,n），則矩陣A可分解為單位kk

下三角矩陣L與上三角知陣U的乘積。A=LU且這種分解是唯一的。證明：由上述的討論，存在性已得證，現(xiàn)在證唯一性。設(shè)A=LU=LU11其中L,L為單位下三角陣，U,U為上三角陣，設(shè)U-1存在，于是有1111L-iL二UU-i11左邊為單位下三角陣，故應(yīng)為單位矩陣。即上式右端為上三角矩陣，左邊為單位下三角陣，故應(yīng)為單位矩陣。即U=U1定理2：約化主元素a(i)豐0iiD—a豐約化主元素a(i)豐0iiD—a豐0,iiiD-2aiia21a12豐0,…a22aii…a1ka…a…aki kk由上述討論知，解a-uii ii(i二1,2,…,n)AX=b的高斯消去法相當(dāng)于實現(xiàn)了A的三角分解，如果我們能直接從矩陣A的元素得到計算L,U的元素的公式，實現(xiàn)A的三角分解，而不需要任何中間步驟，那么求解AX=b的問題就等價于求解兩個三角形矩陣方程組：1)Ly=b求y2)UX=y求xF面來說明L、U的元素可以由A的元素直接計算確定。顯然，由矩陣乘法。得到U的第一行兀素；由a—lu得:iiiiiial——a (i—i,2,…，n)iiuii即L的第一列元素。設(shè)已經(jīng)求出U的第1行?第R-1行元素，L的第1列?第R-1列元素，由矩陣乘法可得:

(l =0,r<k)rka=￡lu=(l =0,r<k)rkri rkki rkkirik=1 k=1a=￡lu=￡lu+kuir ikkr ikkrirrrk=1 k=1即可計算出U的第r行元素，L的第r列元素。計算公式綜上所述，可得到用直接三角分解法解AX=b的計算公式。1)u1)u=a1i 1ii=1,2,…,n3.1)3.2)li3.2)li1a=u11i=1,2,…,n對于r=2，3，對于r=2，3，…，n計算(2)計算U的第(2)計算U的第r行元素u=a—￡luriri rkkik=1(i=r,r+1,...,n)3.3)(3)計算(3)計算L的第r列元素(r豐n)uikkr■4=1 urr3.4uikkr■4=1 urr3.4)4)y=b1Qy=bii—￡lyikkk=1(i=2,3,…,n)3.5)(a —￡lu)irl=_ir3.6)uxikkk3.6)uxikkk=i+l 丿uii(i=n-1,…，2,1)y= nunn(1)、(2)、(3)是矩陣A的LU分解公式，稱為Doolittle分解。同理，可推出矩陣A=LU分解的另一種計算公式，其中L為下三角，U為單位上三角，這種矩陣的分解公式稱為矩陣的Crout分解。解三對角方程組的追趕法

在實際問題中，經(jīng)常遇到以下形式的方程組：TOC\o"1-5"\h\zbx+cx =d11121\o"CurrentDocument"ax+bx+cx =d4.1)4.1)< ax+bx+cx =dkk-1 kkkk+1 kax+bx+cx=dn-1n-2 n-1n-1 n-1n n-1ax+bx=dnn-1 nnn這種方程組的系數(shù)矩陣稱為三對角矩陣。(b1a2c1b2c2A=abckkk???abcn-1n-1n-1VanbJn以下針對這種方程組的特點提供一種簡便有效的算法—追趕法。追趕法實際上是高斯消去法的一種簡化形式，它同樣分消元與回代兩個過程。先將（4.1）第一個方程中x的系數(shù)化為1：1cdx+—1x=11b2b11記：1by記：1by14.2)有：x+有：x+rx112=y注意到剩下的方程中，實際上只有第二個方程中含有變量x，因此消元手續(xù)可1以簡化。利用（4.2）可將第二個方程化為：x+x+rx213=y這樣一步一步地順序加工（4.1）的每個方程，設(shè)第k-1個方程已經(jīng)變成:x+rx=y

k-1 k-1k k-14.3)

再利用（4?3）從第k個方程中消去Xk-i，得:（b一ra）x+cx=d一yak k-1kkkk+1 k k-1k同除（bcd-同除（bcd-yax+ k x=—k-k1kkb-rak+1b-rak k-1kkk-1k記：k一rak一1k），得:k=2,3,…,ncrcr=k kb一rakk一1kd一ya

y=k k一1_kkb一rak k一1k則有：x+rx=ykkk+1k這樣做n-1步以后，便得到:x+rx=yn一1n一1nn一1將上式與（4.1）中第11個方程聯(lián)立，即可解出：x=ynn這里：d一yay=n n—1~~n-nb一rann-1n于是，通過消元過程，所給方程組（4.1）可歸結(jié)為以下更為簡單的形式：x+rx=y11.21<x+rx=y （4.4）kkk+1 kx=ynn這種方程組稱作二對角型方程組，其系數(shù)矩陣中的非零元素集中分步在主對角線和一條次主對角線上：仃r11r2???1k?k???1rn-1對加工得到的方程組（3.4）自下而上逐步回代，即可依次求出x，x，?…nn-1X],計算公式為：k=n-1,n-2,…k=n-1,n-2,…,14.5)nnx=y一rxkkkk+1上述算法就是追趕法,它的消元過程與回代過程分別稱作“追”過程與“趕”過程。綜合追與趕的過程,得如下計算公式：1by1cvr= k k1by1cvr= k kb-rakk-1kd-yay=k ^-4_kkb-rak k-1kk=2,3,…,n4.6)x=ynnx=y-rxkkkk+1k=n-1,n-2,…,14.7)3問題的求解3.1順序消去法functionx=gaussElim(A,b)N=length(b);ifA(1,1)==0n_temp二find(A(:,l)~=0);c=A(n_temp(l),:);A(n_temp(l),:)=A(l,:);A(l,:)=c;endforj=2:Nm=A(j:N,j-1)/A(j-1,j-1)A(j:N,:)=A(j:N,:)-m*A(j-1,:);b(j:N)=b(j:N)-m*b(j-1);ifA(j,j)==0&j~=Nn_temp二find(A(j:end,j)~=O);c=A(j-1+n_temp(l),:);A(j-l+n_temp(l),:)=A(j,:);A(j,:)=c;endendifA(N,N)==0error('thecoefficientmatrixofthelinearequationsissigular');endx=zeros(N,l);x(N)=b(N)/A(N,N);forj二NT：-1:1,x(j)=(b(j)-A(j,j+l:N)*x(j+l:N))/A(j,j);end3.2列主元消去法functionx=f(A)%列主元高斯消去法[m,n]=size(A);B=zeros(size(A(1,:)));fori=1:(m-1)forj=i:mifA(j,i)>A(i,i)B=A(j,:);A(j,:)=A(i,:);A(i,:)=B; %選取主元endendforj=(i+1):mA(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i);%消元法endend%回代過程x(m)=A(m,n)/A(m,m);fori=(m-1):-1:1x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i);endx3.3Doolittle分解法function[x,l,u]=malu(A,b)%用途：用LU分解法解方程組%格式：[x,l,u]二malu(A,b),A為系數(shù)矩陣，b為右端向量，x返回解向量，l返回下三角矩陣，u返回上三角矩陣formatshort%LU分解n=length(b);u=zeros(n,n);l=eye(n,n);u(1,:)=A(1,:);l(2:n,1)/u(1,1);fork=2:nu(k,k:n)=A(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n);l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,k-1)*u(l:k-1,k))/u(k,k);End%解下三角方程組Ly=by=zeros(n,1);X(n)=y(n)/u(n,n);Fork=n-1:-1:1x(k)=(y(k)-u(k,k+1:n)*x(k+1：n))/u(k,k);end追趕法function[x,L,U]=thomas(e,p,n)a=e.*ones(1,n-2);b=-(2*e+1/n).*ones(1,n-1);c=(e+1/n).*ones(1,n-2);f=(p*(1/n)*(1/n)).*ones(1,n-1);n=length(b);%對A進行分解a,b,c,fu(1)=b(1);fori=2:nifu(i-1)~=0l(i-1)=a(i-1)/u(i-1);u(i)=b(i)-l(i-1)*c(i-1);elsebreak;endendL=eye(n)+diag(l,-1);U=diag(u)+diag(c,1);x=zeros(n,1);y=x;%求解Ly=by(1)=f(1);fori=2:ny(i)=f(i)-l(i-1)*y(i-1);end

%求解Ux=yifu(n)~=Ox(n)二y(n)/u(n);End4計算結(jié)果⑴當(dāng)e=1,a=0.5,n=100時，以上方法求解線性方程組解出的結(jié)果完全相同，但與真正的結(jié)果相差很大。平均相對誤差SI，S2更是高達1.1371?因為:+h)y—(2e+h)y+ey=ah2,i+1 i i-1ah2ah2=0.5x0.01x0.01=5x10-5與 e+h二1+0.01二1.01-(2e+h)=-2-0.01=-2.01，e=1相差很大。⑵當(dāng)e=1，a=0.5,n=10時，以上方法求解線性方程組解出的結(jié)果完全相同,與真正的結(jié)果相差無幾。平均相對誤差S1，S2是0.0040?因為:(￡+h)y—(2e+h)y+ey=ah2,i+1 i i-1ah2=0.5x0.1x0.1=5x10-3與e+h=1+0.1=1.1， —(2e+h)=-2—0.1=-2.1，￡二1不在一個數(shù)量級。⑶當(dāng)e=1,a=0.5,n=200時，以上方法求解線性方程組解出的結(jié)果完全相同,與真正的結(jié)果相差無幾。平均相對誤差SI，S2是0.0021。⑷當(dāng)e=1，a=0.5，n=300時，以上方法求解線性方程組解出的結(jié)果完全相同,與真正的結(jié)果相差無幾。平均相對誤差S1，S2是0.0016。參考文獻嚴蔚敏、吳偉民■數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（C語言版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，1997.4.李慶揚、王能超、易大義?數(shù)值分析[M].武漢?華中科技大學(xué)出版社，2006.7.清華大學(xué)、北京大學(xué)計算方法編寫組■計算方法[M].北京■科學(xué)出版社，1980.附錄命令文件e=1;a=0.5;n=100;x=(0+1/n):1/n:(1-1/n);%正確結(jié)果%正確結(jié)果A=finput(e,a,n);%輸入矩陣Ay1=f(A); %列主元消去法結(jié)果[y2,L,U]二thomas(e,a,n);%追趕法結(jié)果plot(x,y,x,y1,'*',x,y2,'+')s1=0;s2=0;fori=1:n-2s1=s1+(y1(i)-y(i))/y(i);s2=s2+(y2(i)-y(i))/y(i);ends1=s1/(n-2)s2=s2/(n-2)輸入矩陣AfunctionA=finput(e,a,n)%輸入矩陣A=zeros(n-1,n);h=1/n;fori=1:n-1forj=1:n?c ? ?ifj==iA(i,j)=-(2*e+h);endifj==(i-1)A(i,j)=e;endifj==(i+1)A(i,j)=e+h;endifj==nA(i,j)=a*h*h;endendEnd順序消去法functionx=gaussElim(A,b)N=length(b);ifA(l,l)==0n_temp二find(A(:,l)~=0);c=A(n_temp(l),:);A(n_temp(l),:)=A(l,:);A(l,:)=c;endforj=2:Nm=A(j:N,j-l)/A(j-l,j-l)A(j:N,:)=A(j:N,:)-m*