5.4 圖形的相似（一）（相似圖形的相關(guān)概念及性質(zhì)）（分層精練）（解析版）

第4講圖形的相似（一）（相似圖形的相關(guān)概念及性質(zhì)）（精練）A基礎(chǔ)訓(xùn)練B能力提升A基礎(chǔ)訓(xùn)練一、單選題1．（2022秋·廣西崇左·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各組線段中，成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A、由于，所以不成比例，不符合題意；B、由于，所以不成比例，不符合題意；C、由于，所以不成比例，不符合題意；D、由于，所以成比例，符合題意．故選：D．2．（2022秋·廣西崇左·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，．故選：A．3．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，與相交于點(diǎn)，且，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，．故選：A．4．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谥校┤?，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵，∴，設(shè)，則；∴．故選C5．（2022秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：A．因?yàn)?，所以，故A符合題意；B．因?yàn)?，所以，故B不符合題意；C．因?yàn)?，所以，故C不符合題意；D．因?yàn)椋?，故D不符合題意；故選：A．6．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，直線與分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．若，，則的長(zhǎng)為（）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】∵，，，∴，∴，解得．故選C．7．（2022秋·河南周口·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，與相交于點(diǎn)O，，若，則的長(zhǎng)為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【詳解】解：∵與相交于點(diǎn)O，，∴，∵，＝8，∴，∴＝6，∴．故選：C．8．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)溫州市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線，直線分別交于點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)，，．若，，則的長(zhǎng)是()A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【詳解】解：∵，，，解得：，故選：B．9．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，點(diǎn)D在上，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，現(xiàn)將沿著所在的直線折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)處，分別交于點(diǎn)F、G．若，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，連接，分別交于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)D作于點(diǎn)Q，則四邊形是矩形，∵，沿著所在的直線折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)處，，∴，是等邊三角形，∴，設(shè)，則，∵，∴，，∵，∴，解得，∴，，∴，∴，同理可證，∴圖中陰影部分的周長(zhǎng)為，故選C．10．（2022秋·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，五線譜是由等距離的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，，都在橫線上．若線段，則線段的長(zhǎng)是（

）A．3.2 B．4.8 C．0.8 D．2.4【答案】A【詳解】解：過點(diǎn)作平行橫線的垂線，交點(diǎn)所在的平行橫線于，交點(diǎn)所在的平行橫線于，則，即，解得：，故選：A．11．（2022秋·山東棗莊·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，分別是邊，，上的點(diǎn)，，，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，，，，，故選：A．12．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)G．∵，，∴，，∵，∴，，∴，，∴．故選：C．二、填空題13．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谥校┮阎?，則______．【答案】##【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．14．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都七中?？计谥校┮阎c(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，且，若線段的長(zhǎng)為2，則線段的長(zhǎng)為______．【答案】或【詳解】解：由題意可得，當(dāng)點(diǎn)P是在點(diǎn)B左邊時(shí)，如圖所示，∵，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P是在點(diǎn)B右邊時(shí)，如圖所示，∵，，∴，∴，故答案為或．15．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)期中）如圖，D是的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，直線分別交于點(diǎn)E、F．若，則=______．【答案】【詳解】解：作交于點(diǎn)G，，，，，，，，，，，，，故答案為：．16．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谥校┕畔ＥD時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是，著名的“斷臂維納斯”便是如此．若某人滿足上述黃金分割比例，且身高為178cm，則其肚臍至足底的長(zhǎng)度可能是______cm（保留根號(hào)）．【答案】【詳解】設(shè)此人的肚臍到足底的長(zhǎng)度為xcm，由題意，則有解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解且符合題意，故答案為：三、解答題17．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)永城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）（1）如圖，，若，，求的長(zhǎng)．（2）下面是某同學(xué)解方程的部分運(yùn)算過程：解：移項(xiàng)，得，……第一步配方，得，……第二步即，……第三步兩邊開平方，得，……第四步…①該同學(xué)的解答從第______步開始出錯(cuò)；②請(qǐng)寫出正確的解答過程．【答案】（1）10，（2）①四，見解析【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：①檢查知，第四步開始出錯(cuò)，故答案為：四；②移項(xiàng)，得，配方，得，即，兩邊開平方，得，解得：，，18．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長(zhǎng)線）被一條不過任何一個(gè)頂點(diǎn)也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會(huì)與一條邊的延長(zhǎng)線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長(zhǎng)線都相交）．他進(jìn)行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理）：設(shè)，，依次是的三邊，，或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足．這個(gè)定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線交的邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，交邊的延長(zhǎng)線與點(diǎn)．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，（依據(jù)），∴，∴，即．情況②：如圖2，直線分別交的邊，，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，．…(1)情況①中的依據(jù)指：；(2)請(qǐng)你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明；(3)如圖3，，分別是的邊，上的點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，那么【答案】(1)兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例(2)證明過程見詳解(3)【詳解】（1）解：情況①中的依據(jù)是：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．故答案為：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．（2）證明：如圖2中，作交于，則有，∴，∴，則，變形得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：∵，，∴，∴．故答案為：．19．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，．．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)是邊的黃金分割點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）解：設(shè)，則，，∵，∴，即，整理得，解得，∴的長(zhǎng)為；（2）解：∵點(diǎn)是邊的黃金分割點(diǎn)，∴，∵，∴，即，∴．20．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┬∶饕褂问啦?huì)，在路燈下的處走到處時(shí)，測(cè)得影子的的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走了米到達(dá)處，若小明的身高是米，路燈高度為米，此時(shí)小明的影子長(zhǎng)為多少米？【答案】【詳解】解：如圖所示，米，米，米，米，∵，，，∴，∴，即，∴，則米，∴，即，∴，解得，，∴小明的影子長(zhǎng)為米．B能力提升21．（2022秋·福建福州·九年級(jí)?？计谀┒x：如圖1，點(diǎn)C在線段上，若滿足，則稱點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)．運(yùn)用：如圖2，△ABC中，，，的平分線交于點(diǎn)D．(1)求證：點(diǎn)D是線段的黃金分割點(diǎn)；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴∴，∴．∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)．（2）解：∵點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，∴，∴．22．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）矩形紙片的邊長(zhǎng)為，動(dòng)直線l分別交于E、F兩點(diǎn)，且∶(1)若直線l是矩形的對(duì)稱軸，且沿著直線l剪開后得的矩形與原矩形相似，試求的長(zhǎng)？(2)若使，試探究：在邊上是否存在點(diǎn)E，使剪刀沿著直線l剪開后，所得到的小矩形紙片中存在與原矩形相似的情況．若存在，請(qǐng)求出的值，并判斷E點(diǎn)在邊上位置的特殊性；若不存在，試說明理由．【答案】(1)(2)存在，或，E剛好是邊的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)【詳解】（1）解：∵矩形矩形，∴，又∵，可設(shè)，∴，解得：，∴；（2）解：假設(shè)存在矩形與矩形相似；則必與對(duì)應(yīng)，必與對(duì)應(yīng)，∴，∴，又∵∴∴，而，依據(jù)對(duì)稱性考慮，必定存在當(dāng)時(shí)，使矩形與矩形相似的情形，綜上所述：當(dāng)或時(shí)，在剪開所得到的小矩形紙片中必存在與原矩形相似；且該兩種情形中，E剛好是邊的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)．23．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐在中，，，，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D，E與點(diǎn)A重合時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，探索與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，過點(diǎn)F作的垂線與邊AC相交于點(diǎn)P，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【詳解】（1）在中，，，，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)D，E與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，即當(dāng)點(diǎn)D，E與點(diǎn)A重合時(shí)，的長(zhǎng)為；（2）與的數(shù)量關(guān)系是，證明如下：過點(diǎn)F作于點(diǎn)M，如圖，則，∴，∵，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴M是的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴；（3）過點(diǎn)F作于點(diǎn)M，連接，，如圖，則，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，，∴垂直平分，∴，∵，∴，則，在和中，，∴，∴