遼寧省遼陽市2023-2024學年高二上學期1月期末考試數學試卷

高二考試數學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內容：人教B版選擇性必修第一、二冊。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（）A．4 B．8 C．6 D．122．某地氣象局天氣預報的準確率為，則4次預報中恰有3次準確的概率是（）A． B． C． D．3．已知拋物線C：的焦點為F，點在C上，，則直線FP的斜率為（）A． B． C． D．4．同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，其他人根據個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（）A．32種 B．128種 C．64種 D．256種5．某市高三年級男生的身高X（單位：cm）近似服從正態(tài)分布，現在該市隨機選擇一名高三男生，則他的身高位于內的概率（結果保留三位有效數字）是（）參考數據：，，．A．0.477 B．0.478 C．0.479 D．0.4806．如圖，在三棱柱中，M為的中點，設，，，則（）A． B． C． D．7．小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（）A． B． C． D．8．已知直線與圓心在x軸上的圓M相切，圓M與圓N：外切，則圓M的半徑為（）A．或 B．C． D．或二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．若展開式的二項式系數之和為64，則下列結論正確的是（）A．該展開式中共有6項 B．各項系數之和為1C．常數項為-60 D．只有第4項的二項式系數最大10．某班星期一上午要安排語文、數學、英語、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結論正確的是（）A．若數學課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法B．若語文課和數學課必須相鄰，且語文課排在數學課前面，則有6種不同的安排方法C．若語文課和數學課不能相鄰，則有12種不同的安排方法D．若語文課、數學課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法11．如圖，在正方體中，P為的中點，，，則下列說法正確的是（）A．B．當時，平面C．當時，PQ與CD所成角的余弦值為D．當時，平面12．已知橢圓C：，直線與C交于，兩點，若，則實數的取值可以為（）A． B． C．3 D．4三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．某產品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數據如下表：廣告費用x/萬元1.82.235銷售額y/萬元t71416根據上表數據得到y(tǒng)與x的回歸直線方程為，則________．14．在一個布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球，從中隨機摸取1個球，有放回地摸取3次，記摸取白球的個數為X．若，則________，________．15．有6道不同的數學題，其中有4道函數題，2道概率題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回．在第一次抽到函數題的條件下，第二次還是抽到函數題的概率是________．16．已知某人每次投籃的命中率為，投進一球得1分，投不進得0分，記投籃一次的得分為X，則的最大值為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）某高校《線性代數》課程的老師隨機調查了該課程學生的專業(yè)情況，調查數據如下：單位：人數學專業(yè)非數學專業(yè)總計男生ef120女生60g80總計160h200（1）求e，f，g，h的值，并估計男生中是非數學專業(yè)的概率；（2）能否有90%的把握認為選數學專業(yè)與性別有關？附：，其中．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82818．（12分）已知直線l：，，圓C：，l過定點A，l與圓C相交于點M，N，且________．從①；②△CMN為等邊三角形；③這三個條件中任選一個填入題中的橫線上，并解答問題．（1）求k的值；（2）求△CMN的面積．19．（12分）已知拋物線C：，過點的直線l交C于A，B兩點．（1）若線段AB的中點為，求l的斜率；（2）證明：以線段AB為直徑的圓過坐標原點O．20．（12分）為了推動足球運動的發(fā)展，某足球比賽允許不同俱樂部的運動員參加．現有來自甲俱樂部的運動員4名，其中知名選手2名；乙俱樂部的運動員5名，其中知名選手3名．從這9名運動員選擇5名參加比賽．（1）求選出的5人中恰有2人是知名選手，且這2名知名選手來自同一俱樂部的概率；（2）設隨機變量X為選出的5人中知名選手的人數，求X的分布列與數學期望．21．（12分）如圖，在四棱臺中，底面ABCD是菱形，，，平面ABCD．（1）證明：．（2）棱BC上是否存在一點E，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段CE的長；若不存在，請說明理由．22．（12分）已知雙曲線C：（，）的右頂點為A，左焦點為F，過點F且斜率為1的直線與C的一條漸近線垂直，垂足為N，且．（1）求C的方程．（2）過點的直線交C于，兩點，直線AP，AQ分別交y軸于點G，H，試問在x軸上是否存在定點T，使得？若存在，求點T的坐標；若不存在，請說明理由．

高二考試數學試卷參考答案1．C直線與y軸交于點，與x軸交于點，所以圍成的三角形的面積為．2．B由題意可知，4次預報中恰有3次準確的概率．3．D因為，所以，解得，則，，所以直線FP的斜率為．4．C若甲、乙都去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有種去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有種去法．故一共有種去法．5．A由題意可知，，，所以．6．A連接（圖略）．易知．因為，所以，所以．7．B由題意可知，X的取值可能為-2，0，2．因為，，，所以．故．8．D如圖，過點M作直線的垂線，垂足為P，設圓M的半徑為r．易知直線的傾斜角為45°，點A的坐標為．若點M在點N左側，則有，即，解得；若點M（記為）在點N右側，垂直于，則，即，解得．9．BD因為二項式系數之和為64，所以，則該展開式中共有7項，A錯誤；令，得該展開式的各項系數之和為1，B正確；通項．令，得，，C錯誤；二項式系數最大的是，它是第4項的二項式系數，D正確．10．ABC對于A，有種排法，故A正確；對于B，采用捆綁法，有種排法，故B正確；對于C，采用插空法，有種排法，故C正確；對于D，有種排法，故D錯誤．11．ABC建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則，所以，，所以，所以，A正確．當時，，所以，從而平面，B正確．當時，，，所以PQ與CD所成角的余弦值為，C正確．當時，，所以不垂直于，所以不垂直于平面，D錯誤．12．CD由，得．因為點，在橢圓C上，所以消去得，解得．又，所以，顯然，解得．13．3因為，，所以，解得．14．1；易知．因為，所以，解得，所以．15．設事件“第一次抽到函數題”，“第二次抽到函數題”，則，，所以．16．由題意可知，X服從兩點分布，可得，，．，當且僅當，即時，取得最大值．17．解：（1）由題意可知，，……1分，……2分，……3分．……4分故男生中是非數學專業(yè)的概率．……5分（2）由題意可知．……8分又因為，而且查表可得，由于，所以沒有90%的把握認為選數學專業(yè)與性別有關．……10分18．解：直線l：過定點．……2分選①．（1）因為，所以軸．……3分設，則，解得或，……5分所以直線l的斜率或．……6分（2）聯(lián)立方程組消去x得，……8分整理得，．又，所以．……10分因為軸，，所以．……12分選②．（1）因為△CMN為等邊三角形，所以圓心C到直線l的距離，……3分所以，……5分解得．……6分（2）聯(lián)立方程組消去x得，……8分整理得，解得或．……10分不妨設點N的縱坐標為，則軸，，所以．……12分注：或直接求．選③．（1）因為，所以點A到弦MN的中點E的距離為，……3分此時，所以，……5分所以直線l的傾斜角為60°或120°，則．……6分（2）聯(lián)立方程組消去x得，……8分整理得，解得或．……10分不妨設點N的縱坐標為，則軸，，所以．……12分19．解：設直線l的方程為，，．……1分聯(lián)立方程組消去x得，……3分所以，．……4分（1）因為線段AB的中點為，所以，解得，……5分所以l的斜率為2．……6分（2）證明：因為，，所以．……8分又，所以，……10分所以，故以線段AB為直徑的圓過坐標原點O．……12分20．解：（1）設“選出的5人中恰有2人是知名選手且這2名知名選手來自同一俱樂部”為事件A，……1分則．……5分（2）由題意可知，X的取值可能為1，2，3，4，5．，……6分，……7分，……8分，……9分，……10分所以隨機變量X的分布列為X12345P……11分．……12分21．（1）證明：如圖，連接AC，．因為為棱臺，所以A，，，C四點共面．又因為四邊形ABCD為菱形，所以．……2分因為平面ABCD，平面ABCD，所以．又因為且，平面，所以平面．……4分因為平面，所以．……6分（2）解：取BC的中點Q，連接AQ．因為底面ABCD是菱形，且，所以△ABC是正三角形，所以，即．又平面ABCD，所以以A為原點，AQ，AD，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．假設點E存在，設點E的坐標為，，可得，．設平面的法向量為，則取，可得，，所以．又平面的一個法向量為，所以，解得．……9分由于二面角為銳角，則點E在線段QC上，所以，即．故BC上存在點E，當時，二面角的余弦值為．……12分22．解：（1）因為FN的斜率為1，且（O為坐標原