2023年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)試卷

2023年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.

1.（3分）計算：2a-a=C）

A.aB.-aC.3aD.1

2.（3分）下面幾何體中，是圓柱的為（）

3.（3分）下列各點在函數(shù)y=2x-1圖象上的是（）

A.（-1,3）B.（0,1）C.（1,-1）D.（2,3）

4.（3分）從水利部長江水利委員會獲悉，截止2023年3月30日17時，南水北調(diào)中線一

期工程自2014年12月全面通水以來，己累計向受水區(qū)實施生態(tài)補(bǔ)水約90億立方米.其

中9000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.9X108B.9X109C.9X1O10D.9X1011

5.（3分）樂山是一座著名的旅游城市，有著豐富的文旅資源.某校準(zhǔn)備組織初一年級500

名學(xué)生進(jìn)行研學(xué)旅行活動，政教處周老師隨機(jī)抽取了其中50名同學(xué)進(jìn)行研學(xué)目的地意向

調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制成如圖統(tǒng)計圖，如圖所示.估計初一年級愿意去“沫若故居”的

學(xué)生人數(shù)為（）

人數(shù)

C.200D.400

6.（3分）如圖，菱形ABC。的對角線AC與8。相交于點O,E為邊BC的中點，連結(jié)OE.若

AC=6,BD=8,貝ij0E=()

A.2B.5C.3D.4

2

7.(3分)若關(guān)于x的一元二次方程x2-8x+,”=0兩根為xi、X2,且XI=3X2,則，〃的值為

()

A.4B.8C.12D.16

8.(3分)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是

由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形面積為

25,小正方形面積為1,則sinO=()

555

9.(3分)如圖4,拋物線、=??+法+。經(jīng)過點A(-1,0)、BCm,0),且1<機(jī)<2,有下

列結(jié)論：

①b<0；

②“+b>0；

③0<〃<-c；

④若點C(-2,yi),D(―,y2)在拋物線上，則yi>y2.

33

其中，正確的結(jié)論有()

10.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-X-2與X軸、y軸分別交于A、B

兩點，C、。是半徑為1的。。上兩動點，且C￡>=&,P為弦8的中點.當(dāng)C、。兩

點在圓上運(yùn)動時，△抬B面積的最大值是（）

二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分.

11.（3分）不等式x-l>0的解集是.

12.（3分）小張在“陽光大課間”活動中進(jìn)行了5次一分鐘跳繩練習(xí)，所跳個數(shù)分別為：

160,163,160,157,160.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.

13.（3分）如圖，點。在直線A8上，0￡>是NBOC的平分線，若NAOC=140°,則NB。。

的度數(shù)為.

14.（3分）若根、n滿足3m-n-4=0,貝U8'"+2"=.

15.（3分）如圖，在平行四邊形ABC。中，E是線段AB上一點，連結(jié)AC、OE交于點F.若

AEA則____________________

EB3SAAEF

DC

16.（3分）定義：若x,y滿足/=4）葉3）?=4x+f且（/為常數(shù)），則稱點M（x,y）

為“和諧點”.

（1）若P（3,相）是“和諧點”，則機(jī)=；

（2）若雙曲線y=K（-3<x<-1）存在“和諧點”，則k的取值范圍.

x

三、解答題：本大題共10個小題，共102分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演

算步驟.

17.（9分）計算：|-21+20230-V4.

18.（9分）解二元一次方程組：JX-y=1.

l3x+2y=8

19.（9分）如圖，已知AB與CD相交于點。，AC//BD,AO=BO,求證：AC=BD.

20.（10分）如圖，在RtZvlBC中，NC=90°,點。為AB邊上任意一點（不與點A、B

重合），過點。作。E〃8C,DF//AC,分別交AC、BC于點E、F,連結(jié)EF.

（1）求證：四邊形ECFD是矩形；

（2）若CF=2,CE=4,求點C到EF的距離.

21.（10分）為了踐行習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計

劃在規(guī)定時間內(nèi)種植梨樹6000棵.開始種植時，由于志愿者的加入，實際每天種植梨樹

的數(shù)量比原計劃增加了20%,結(jié)果提前2天完成任務(wù).問原計劃每天種植梨樹多少棵？

22.(10分)為培養(yǎng)同學(xué)們愛勞動的習(xí)慣，某班開展了“做好一件家務(wù)”主題活動，要求全

班同學(xué)人人參與.經(jīng)統(tǒng)計，同學(xué)們做的家務(wù)類型為“洗衣”“拖地”“煮飯”“刷碗”，班

主任將以上信息繪制成了統(tǒng)計圖表，如圖所示.

家務(wù)類型洗衣拖地煮飯刷碗

人數(shù)(人)101210m

根據(jù)上面圖表信息，回答下列問題：

(1)m=；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“拖地”所占的圓心角度數(shù)為；

(3)班會課上，班主任評選出了近期做家務(wù)表現(xiàn)優(yōu)異的4名同學(xué)，其中有2名男生.現(xiàn)

準(zhǔn)備從表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)中隨機(jī)選取兩名同學(xué)分享體會，請用畫樹狀圖或列表的方法求所

選同學(xué)中有男生的概率.

23.(10分)如圖，一次函數(shù))，=依"的圖象與反比例函數(shù))，=2的圖象交于點4Gn,4),

x

與x軸交于點8,與y軸交于點C(0,3).

(1)求相的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)已知尸為反比例函數(shù)y=里圖象上的一點，SAOBP=2SAOAC,求點P的坐標(biāo).

x

24.(10分)如圖，已知。。是Rt^ABC的外接圓，ZACB=9O°,。是圓上一點，E是

0c延長線上一點，連結(jié)AD,AE,且AO=AE,CA=CE.

(1)求證：直線AE是。。是的切線；

(2)若sinE=Z,。0的半徑為3,求AD的長.

25.(12分)在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動.

【問題情境】

劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內(nèi)容：

如圖1,將一個三角形紙板AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)。到達(dá)的位置△4'B'C'的位置,

那么可以得到：

AB=AB',AC=AC',BC=B'C;

NBAC=NB'AC',ZABC=ZAB'C,ZACB=ZAC'B'.()

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不

變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué).

【問題解決】

(1)上述問題情境中“()”處應(yīng)填理由：；

(2)如圖2,小王將一個半徑為4c”?，圓心角為60°的扇形紙板A8C繞點。逆時針旋

轉(zhuǎn)90。到達(dá)扇形紙板4'B'C的位置.

①請在圖中作出點。；

②如果8*=6cm,則在旋轉(zhuǎn)過程中，點8經(jīng)過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊

位于水平位置.另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止.此

時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖3所示，請你幫助小李解決這個問題.

26.（13分）已知（xi,yi）,（X2,是拋物線Cj：y=-（6為常數(shù)）上的兩點,

當(dāng)xi+;v2=0時，總有yi=".

（1）求b的值；

（2）將拋物線Ci平移后得到拋物線C2：y=-工（x-/n）2+1（zn>0）.

當(dāng)0WxW2時，探究下列問題：

①若拋物線Ci與拋物線C2有一個交點，求機(jī)的取值范圍；

②設(shè)拋物線C2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,拋物線C2的頂點為點E,/XABC

外接圓的圓心為點凡如果對拋物線C1上的任意一點P,在拋物線C2上總存在一點。，

使得點P、。的縱坐標(biāo)相等.求E尸長的取值范圍.

2023年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.

1.(3分)計算：2a-a—()

A.aB.-aC.3aD.1

【分析】直接合并同類項得出答案.

【解答】解：2a-a^a.

故選：A.

【點評】此題主要考查了合并同類項，正確掌握合并同類項法則是解題關(guān)鍵.

2.(3分)下面幾何體中，是圓柱的為(

【分析】根據(jù)各個選項中的幾何體的形體特征進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A.選項中的幾何體是圓錐體，因此選項4不符合題意；

B.選項中的幾何體是球體，因此選項B不符合題意；

C.選項中的幾何體是圓柱體，因此選項C符合題意；

D.選項中的幾何體是四棱柱，因此選項。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查認(rèn)識立體圖形，掌握圓柱體，圓錐體，棱柱，球的形體特征是正確判

斷的前提.

3.(3分)下列各點在函數(shù)y="-1圖象上的是()

A.(-1,3)B.(0,1)C.(1,-1)D.(2,3)

【分析】利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，逐一對四個選項進(jìn)行驗證即可求解.

【解答】解：A.當(dāng)x=-1時，y=2X(-1)-1=-3,

...點（-1,3）不在函數(shù)y=2x-1圖象上;

B.當(dāng)x=0時，y—2X0-1=-1,

...點（0,1）不在函數(shù)y=2x-1圖象上；

C.當(dāng)x=l時，y=2X1-1=1,

...點（1,-1）不在函數(shù)y=2x-1圖象上；

D.當(dāng)x=2時，y=2X2-1=3,

...點（2,3）在函數(shù)y=2r-1圖象上；

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是直線上任意一個點的

坐標(biāo)都滿足函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b.

4.（3分）從水利部長江水利委員會獲悉，截止2023年3月30日17時，南水北調(diào)中線一

期工程自2014年12月全面通水以來，已累計向受水區(qū)實施生態(tài)補(bǔ)水約90億立方米.其

中9000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.9X108B.9X109C.9X1O10D.9X1011

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值210時，"是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，〃是負(fù)數(shù).

【解答】解：9000000000=9X109.

故選：B.

【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其

中1〈⑷<10,”為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

5.（3分）樂山是一座著名的旅游城市，有著豐富的文旅資源.某校準(zhǔn)備組織初一年級500

名學(xué)生進(jìn)行研學(xué)旅行活動，政教處周老師隨機(jī)抽取了其中50名同學(xué)進(jìn)行研學(xué)目的地意向

調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制成如圖統(tǒng)計圖，如圖所示.估計初一年級愿意去“沫若故居”的

學(xué)生人數(shù)為（）

人數(shù)

【分析】用總?cè)藬?shù)乘以樣本中去“沫若故居”的學(xué)生人數(shù)所占比例即可.

【解答】解：估計初一年級愿意去“沫若故居”的學(xué)生人數(shù)為500X型=200（人），

50

故選：C.

【點評】本題主要考查用樣本估計總體，一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有

代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確.

6.（3分）如圖，菱形A8CD的對角線AC與BO相交于點O,E為邊BC的中點，連結(jié)OE.若

AC=6,BD=8,貝OE=（）

A.2B.$C.3D.4

2

【分析】由菱形的性質(zhì)得到OC=LAC=3,OB=LD=4,ACLBD,由勾股定理求出

22

BC的長，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即可求出OE的長.

【解答】解：???四邊形ABCO是菱形，

；.oc=Lc,OB=LBD,ACLBD,

22

"：AC=6,BQ=8,

；.OC=3,OB=4,

.".CB=7OB24（）C2=5>

為邊BC的中點,

OE=^BC=^~.

22

故選：B.

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線，勾股定理，關(guān)鍵是由菱形的性

質(zhì)求出0C,的長，由勾股定理求出8c的長，由直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)即可

求出0E的長.

7.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2-8x+〃?=0兩根為xi、X2,且XI=3X2,則〃？的值為

（）

A.4B.8C.12D.16

【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出用+也=8,再根據(jù)X1=3X2,求得劉，X2,進(jìn)一步

得出X1X2=相求得答案即可.

【解答】解：,一元二次方程f-8x+，〃=0的兩根為xi,xi,

?*.X1+X2=8,

VJCI=3JC2>

解得XI=6,%2=2,

**?W=XIX2=6X2=12.

故選：C.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系.二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：XI,X2是方程

/+04+0=0的兩根時Xl+X2=-/?,X\x2=q,反過來可得P=-（X1+X2）,q=x\x2,前者

是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù).

8.（3分）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是

由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形面積為

25,小正方形面積為1,則sinG=（）

555

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以求出斜邊各邊的長，然后即可計算出sin0的值.

【解答】解：設(shè)大正方形的邊長為c,直角三角形的短直角邊為。，長直角邊為6,

由題意可得：C2=25,b-a=y[l=\,<r+b1=c1,

解得a=3,b—4,c—5,

sin0=—=—,

c5

故選：A.

【點評】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出

各邊的長.

9.(3分)如圖4,拋物線y=o?+法+c經(jīng)過點A(-1,0)、BCm,0),且1<膽<2,有下

列結(jié)論：

①b<0；

②a+b>0；

③0<“<-c；

④若點C(-―,yi),D(―,^2)在拋物線上，則yi>y2.

33'

【分析】根據(jù)題意畫出拋物線的大致圖象，利用函數(shù)圖象，由拋物線開口方向得。>0,

由拋物線的對稱軸位置得bvo,由拋物線與y軸的交點位置得c<0,再根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)和圖象分別判斷即可得出答案.

【解答】解：..?拋物線開口向上，

/.a>0,

???拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，

.'.b<0,故①正確；

?拋物線與y軸的交點在x軸下方，

：.c<0,

???拋物線經(jīng)過點4（-1,0）,

?二。-Z?+c=0,

:?c=b-a,

???當(dāng)x=2時，y>0,

/.4a+2b+c'>0f

4a+2b+h-a>0,

3a+3b>0,

.\a+b>0,故②正確；

??Z-b+c=0,

??a+c=b,

??》vo,

〃+cVO，

JOVaV-c,故③正確；

???點c（-2,yi）到對稱軸的距離比點。（1,中）到對稱軸的距離近，

33

，yiV）%故④的結(jié)論錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

10.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，直線y=-x-2與x軸、y軸分別交于A、B

兩點，C、。是半徑為1的。。上兩動點，且CQ=&,尸為弦8的中點.當(dāng)C、。兩

點在圓上運(yùn)動時，面積的最大值是（）

【分析】判斷三角形PCD和三角形0A8都是等腰直角三角形，由題得，當(dāng)尸、0、。共

線時，S4ABP最大，求出A3、PQ,根據(jù)面積公式計算即可.

【解答】解：作。QLA8,連接OP、OD、OC,

\'CD=y/2,OC=O￡>=1,

：.OC1+OD1=CD1,

.?.△OCO為等腰直角三角形，

由）=-x-2得，點A（-2,0）、B（0,-2）,

：.OA=OB=2,

：./\OAB為等腰直角三角形，

:.AB=2近,。。=企，

由題得，當(dāng)P、0、。共線時，SAABP最大，

為中點，

.?.0尸=亞，

2_

：.PQ=OP+OQ=^^-,

?''S^ABP-B'PQ—3.

【點評】本題考查了圓的相關(guān)知識點的應(yīng)用，點圓最值的計算是解題關(guān)鍵.

二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分.

11.（3分）不等式x-l>0的解集是x>l.

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，左右兩邊同時加上1,就可求出x的取值范圍.

【解答】解：解不等式X-1>0得，X>\.

【點評】解答此題的關(guān)鍵是要熟知不等式兩邊同時加上一個數(shù)，不等號的方向不變.

12.（3分）小張在“陽光大課間”活動中進(jìn)行了5次一分鐘跳繩練習(xí)，所跳個數(shù)分別為:

160,163,160,157,160.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為160.

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可.

【解答】解：由題意知，這組數(shù)據(jù)中160出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為160,

故答案為：160.

【點評】本題主要考查眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).

13.（3分）如圖，點。在直線AB上，0。是NBOC的平分線，若NAOC=140°,則NB。。

的度數(shù)為20°.

A0B

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求得/80C的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義即可求得答案.

【解答】解：；N4OC=140°,

/.ZBOC=180°-140°=40°,

是NBOC的平分線，

ZBOD=AZBOC=2O°,

2

故答案為：20°.

【點評】本題主要考查角平分線的定義，此為幾何中基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握.

14.（3分）若小、〃滿足3m-n-4=0,則8ffl32"=16.

【分析】直接利用幕的乘方運(yùn)算法則將原式變形，進(jìn)而計算得出答案.

【解答】解：

3m-〃=4,

...8m4-2"=23m4-2n=23mn=24=16.

故答案為：16.

【點評】此題主要考查了幕的乘方運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵.

15.（3分）如圖，在平行四邊形ABCO中，E是線段AB上一點，連結(jié)4C、DE交于點、F.若

迪上，則也迎=1.

EB-3SAAEF-2-

AEB

【分析】通過證明△AEFSACQF,可得嶇里=2,即可求解.

CDDF5

【解答】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AB//CD,AB=CD,

.?.AE=-2,

BE3

.?.設(shè)AE=2a,則BE=3a,

'.AB=CD=5a,

'：AB//CD,

：./\AEF^/\CDF,

.AEEF=2

"CD'DFT

■SAADF5

2AAEF2

故答案為：5.

2

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是

解題的關(guān)鍵.

16.(3分)定義：若x,y滿足/=4y+f,且(f為常數(shù))，則稱點M(x,y)

為“和諧點”.

(1)若P(3,"力是"和諧點"，則，"=-7；

(2)若雙曲線y=K(-3<x<-1)存在"和諧點”，則k的取值范圍3<k<4.

X

【分析】(1)根據(jù)題意得出《4m+t=9，消去，得到“2。+4〃?-21=0,解方程即可求得加

^12+t=mz

=-7；

x?W+t①

X

(2)根據(jù)題意得出12，①-②得(x+區(qū))(x-K)=-4(x-K),整理得

/=4x+t②xxx

(%-—)(x+—+4)=0,由x#y,得出冗+區(qū)+4=0,理得Z=-x2-4x=-(x+2)2+4,

XXX

由-3<x<-1,得出3<k<4.

【解答】解:⑴,:P(3,%)是“和諧點”,

.[4m+t=9

**\12+t=m2,

消去，得到Z??2+4/??-21=0,

解得m--7或3,

Wy,

..."2=-7；

故答案為：~7；

(2)?.?雙曲線尸K(-3<x<-1)存在“和諧點”，

X

①

X

,2，

-=4x+t?

x

①-②得(x+K)(x-—)=-4(x--

XXX

???(x-K)(X+K+4)=0,

XX

Wy,

+4=0,

x

整理得k=-x2-4x=-(x+2)2+4,

???-3<x<-1,

：.3<k<4.

故答案為：3VZV4.

【點評】本題考查了新定義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值等知識,

本題綜合性強(qiáng)，有一定難度.

三、解答題：本大題共10個小題，共102分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演

算步驟.

17.(9分)計算：|-2|+2023°-

【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及零指數(shù)幕的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而

得出答案.

【解答】解：原式=2+1-2

=1.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

x-y=l

18.（9分）解二元一次方程組:

3x+2y=8

【分析】利用加減消元法進(jìn)行計算，即可解答.

(x~y=1①

【解答】解:

13x+2y=8②

①X2得：2x-2y=2③,

②+③得：5x=10,

解得：x=2,

把x=2代入①中得：2-y=l,

解得：y=l，

原方程組的解為：fx=2.

ly=l

【點評】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵.

19.（9分）如圖，已知AB與8相交于點O,AC//BD,A0=B0,求證：AC=BD.

【分析】由平行線的性質(zhì)可得NC=ND,利用AAS即可判定△AOC會△BOD,

從而得AC=BD

【解答】證明：：AC〃B￡>,

=NC=ND,

在△AOC和△80。中，

2C=ND

(NA=NB>

AO=BO

.?.△AOC空△80。(A45),

：.AC=BD.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定

定理與性質(zhì)并靈活運(yùn)用.

20.(10分)如圖，在RtZsABC中，NC=90°,點。為AB邊上任意一點(不與點A、B

重合)，過點。作。E〃2C,DF//AC,分別交AC、BC于點E、F,連結(jié)EF.

(1)求證：四邊形ECFD是矩形；

(2)若CF=2,CE=4,求點C到EF的距離.

【分析】(1)先證四邊形ECFD為平行四邊形，即可求解;

(2)由勾股定理可求EF的長，由面積法可求解.

【解答】(1)證明：'：FD//CA,BC//DE,

...四邊形ECFD為平行四邊形，

又；NC=90°,

四邊形ECFD為矩形；

(2)解：過點C作C乩LE尸于H,

在RtZ\ECF中，CF=2,CE=4,

^-VCE2-K?F2-V4+16=2A/5，

SAECF=LXCF?CE=LXEF?CH,

22

.s=CF,FE_4遙

…’""EF5-，

工點C到砂的距離為強(qiáng)而.

CFB

【點評】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，面積法等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)

解決問題是解題的關(guān)鍵.

21.（10分）為了踐行習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計

劃在規(guī)定時間內(nèi)種植梨樹6000棵.開始種植時，由于志愿者的加入，實際每天種植梨樹

的數(shù)量比原計劃增加了20%,結(jié)果提前2天完成任務(wù).問原計劃每天種植梨樹多少棵？

【分析】設(shè)原計劃每天種植梨樹x棵，則實際每天種植梨樹（1+20%）x棵，利用工作時

間=工作總量+工作效率，結(jié)合實際比原計劃提前2天完成任務(wù)，可得出關(guān)于x的分式

方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)原計劃每天種植梨樹x棵，則實際每天種植梨樹（1+20%）x棵，

根據(jù)題意得：以2”,6000=2,

x（1+20%）x

解得：x=500,

經(jīng)檢驗，x=500是所列方程的解，且符合題意.

答：原計劃每天種植梨樹500棵.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

22.（10分）為培養(yǎng)同學(xué)們愛勞動的習(xí)慣，某班開展了“做好一件家務(wù)”主題活動，要求全

班同學(xué)人人參與.經(jīng)統(tǒng)計，同學(xué)們做的家務(wù)類型為‘‘洗衣"''拖地”“煮飯”“刷碗”，班

主任將以上信息繪制成了統(tǒng)計圖表，如圖所示.

家務(wù)類型洗衣拖地煮飯刷碗

人數(shù)（人）101210m

根據(jù)上面圖表信息，回答下列問題：

（1）m=8；

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“拖地”所占的圓心角度數(shù)為108°；

（3）班會課上，班主任評選出了近期做家務(wù)表現(xiàn)優(yōu)異的4名同學(xué)，其中有2名男生.現(xiàn)

準(zhǔn)備從表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)中隨機(jī)選取兩名同學(xué)分享體會，請用畫樹狀圖或列表的方法求所

選同學(xué)中有男生的概率.

洗衣

\/做飯、y

\/25%/

【分析】(1)先根據(jù)煮飯人數(shù)及其所占百分比求出總?cè)藬?shù)，繼而可得膽的值；

(2)用360°乘以“拖地”所占比例即可;

(3)列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：(1)因為被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為10?25%=40(人)，

所以〃?=40-(10+12+10)=8,

故答案為：8；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，''拖地”所占的圓心角度數(shù)為360°X」2=108。，

40

故答案為：108°；

(3)列表如下：

男1男2女1女2

男1（男1,男2）（男1,女1）（男1,女2）

男2（男2,男1）（男2,女1）（男2,女2）

女1（女1,男1）（女1,男2）（女1,女2）

女2（女2,男1）（女2,男2）（女2,女1）

由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中所選同學(xué)中有男生的有10種結(jié)果，

所以所選同學(xué)中有男生的概率為」9=5.

126

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖以及求隨機(jī)事件的概率，讀懂統(tǒng)計圖，

從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個

項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

23.(10分)如圖，一次函數(shù)丫=匕+匕的圖象與反比例函數(shù))，=匡的圖象交于點A(m,4),

X

與工軸交于點3,與y軸交于點C(0,3).

(I)求的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)已知P為反比例函數(shù)y=星圖象上的一點，S&OBP=2SAOAC,求點。的坐標(biāo).

?

BOx

【分析】（1）把A（〃?，4）代入反比例函數(shù)解析式求得〃?的值，然后利用待定系數(shù)法即

可求得一次函數(shù)的解析式；

（2）過點A作A”_Ly軸于點H,過點P作POLx軸于點￡>,由SAOBP=2SACMC得到

■|oB-PD=2XyOC'AH'即彌3XPD=2X/X3X1，解得?。=2,即可求得點尸的

縱坐標(biāo)為2或-2,進(jìn)一步求得點P的坐標(biāo).

【解答】解：（1）:點A（朋，4）在反比例函數(shù)y=生的圖象上,

；.A(1,4),

又?.?點A(1,4)、C(0,3)都在一次函數(shù))，=履+6的圖象上,

Jk+b=4

'lb=3'

解得(k=l,

lb=3

一次函數(shù)的解析式為y=x+3；

(2)對于y=x+3,當(dāng)y=0時，x=-3,

.?.08=3,

VC(0,3),

0c=3,

過點A作AH±y軸于點從過點P作PD±x軸于點O,

,:S&OBP=2SXOAC,

A|OB-PD=2X^OC-AH>即￡X3XPD=2X/X3X1，

解得PD=2,

.,.點尸的縱坐標(biāo)為2或-2,

將＞-=2或-2代入得x=2或-2,

x

【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)

特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

24.(10分)如圖，已知。。是Rt/XABC的外接圓，NACB=90°,。是圓上一點，E是

DC延長線上一點，連結(jié)AD,AE,且AD=AE,CA=CE.

(1)求證：直線AE是是的切線；

(2)若sinE=2,。。的半徑為3,求的長.

3

【分析】(1)先由NACB=90°,證明AB是。0的直徑，再證明NCAE=NB,則NO4E

ZCAE+ZCAB^ZB+ZCAB=90°,即可證明直線AE是。0是的切線；

(2)由/E=NC4E=NB,得生=sinB=sinE=^=2,則CE=04=2/18=2x6=

ABCE333

4,CF=2CE=2X4=2,所以AF=BF=也E2_CF2=生應(yīng)貝UAD=AE=2AF=

3333

--------.

3

【解答】(1)證明：；/ACB=90°,

)AB是。。的直徑,

：AD=AE,

??NE=/D,

:/B=/D,

??/E=/B,

：CA=CEf

\ZE=ZCAE,

??NCAE=N8,

\ZOAE=ZCAE+ZCAB=ZB+ZCAB=90°,

??0A是。。的半徑，且AELOA,

??直線AE是。0是的切線.

(2)解：作于點E則NCFE=90°,

：/E=/CAE=/B,

：OA=OB=3,

??AB=6,

??CE=CA=2A8=2X6=4,

33

c尸=2CE=2X4=&,

333__________

==222

,-AFBFVCE-CF^4-(f)2=^-)

AO=AE=2AF=2X

_33

\AD的長是約區(qū).

3

【點評】此題重點考查切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角

三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

25.（12分）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動.

【問題情境】

劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內(nèi)容：

如圖1,將一個三角形紙板△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)。到達(dá)的位置B'C的位置，

那么可以得到：

AB^AB',AC=AC',BC=B'C；

NBAC=/B'AC',ZABC=ZAB'C,ZACB=ZAC'B'.（）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不

變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué).

【問題解決】

（1）上述問題情境中“（）”處應(yīng)填理由：旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)線段相等，對應(yīng)

角相等；

（2）如圖2,小王將一個半徑為4c〃?，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點。逆時針旋

轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板A'B'C的位置.

①請在圖中作出點。；

②如果8B'=6cm,則在旋轉(zhuǎn)過程中，點B經(jīng)過的路徑長為百返2二5？；

【問題拓展】

小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊

位于水平位置.另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止.此

時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖3所示，請你幫助小李解決這個問題.

【分析】【問題解決】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可知答案為旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等;

(2)①作線段B8,AH的垂直平分線，兩垂直平分線交于0,點。為所求；

②由/BO8=90°,OB=OB',可得。8=縣=3底，再用弧長公式可得答案；

V2

【問題拓展】

連接PA,,交AC于M,連接PA,PD,AA',PB',PC,求出-----<4-------=——

__cos/PA'B'cos30

=4E,DM—^LA,D=2d3-,可得SAA,O3=?X.x4=4愿；SPAB'=

323233

2

3。兀2￡4_=”,證明△)?'D咨APCD(SSS)可知陰影部分關(guān)于尸。對稱，故重疊

3603

部分面積為2生應(yīng))=8幾-8日(創(chuàng)2).

333

【解答】解：【問題解決】

(1)根據(jù)題意，AB^AB1,AC=AC,BC=B'C'；NBAC=NB'AC1,NABC

=ZAB'C',AACB=ZAC'B'的理由是：旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相

等，

故答案為：旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；

(2)①如圖:

作線段89,AW的垂直平分線，兩垂直平分線交于。，點。為所求;

②：NBO8'=90°,OB=OB',

：.△808是等腰直角三角形，

OB=-^=3'\[2，

V2_

...90兀X3點=3點4—

1802_

點B經(jīng)過的路徑長為3&.cm,

2

故答案為：3加兀cm；

2

【問題拓展】

連接B4',交AC于連接出，PD,AA',PB',PC,如圖:

???點P為前中點，

.L8=/PAC[NBAC=30°，

由旋轉(zhuǎn)得/%'B'=30°,PA^PA'=4,

在Rt△%M中，PM=/^?sin/%M=4Xsin30°=2,

：.A'M=PA,-PM=4-2=2,

在RtZ\A'DW中,

=挈，。叱獷=挈,

cos/PA'B'COS300

???SMDP=Lxx4=生旦;

233

c?..?.30Kx424H

3603

下面證明陰影部分關(guān)于PD對稱:

???/以。=/以'8'=30°,/ADN=/ADM,

：.ZAND=ZA'MD=90°,

：.ZPNA'