2023年內(nèi)蒙古包鋼高三（最后沖刺）數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù),f(x)=lnx,g(x)=(2〃7+3)x+n,若Vxe(0,+oo)總有/(x)Wg(x)恒成立.記(2m+3)〃的最小值

為,則F(m,n)的最大值為()

2.學業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為A、B、C、D、E五個等級.某班共有36名學生且全部選考

物理、化學兩科，這兩科的學業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示.該班學生中，這兩科等級均為A的學生有5人，這兩科中僅

有一科等級為A的學生，其另外一科等級為3,則該班()

7級

科“ABCDE

物理1016910

化學819720

A.物理化學等級都是B的學生至多有12人

B.物理化學等級都是B的學生至少有5人

C.這兩科只有一科等級為3且最高等級為5的學生至多有18人

D.這兩科只有一科等級為3且最高等級為3的學生至少有1人

3.若集合A=jx|W401，B={x[T<x<2},則AAB=()

A.[-2,2)B.(-1,1]C.(—1,1)D.(-1,2)

4.的展開式中8'的項的系數(shù)為()

A.120B.80C.60D.40

5.設函數(shù)"x)=sin?x+°)(0>O,0<04乃)是R上的奇函數(shù)，若/(x)的圖象關于直線x=(對稱，且/(x)

717T[7V]

在區(qū)間-另，石上是單調(diào)函數(shù)，則/不=()

A君R&1D.

22C22

I7JT

6.若〃是第二象限角且sin"=一,則tan(6+—)=

134

177177

A.------B.------C.—D.—

717717

f(m)+f(n-2)>0

7.已知奇函數(shù)/(x)是R上的減函數(shù)，若〃7，“滿足不等式組(/(加-〃-1)20，則2m—〃的最小值為()

/(加)<0

C.0D.4

8.設xeR,貝！|"_?<27"是“|劉<3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.對于任意xeR,函數(shù)/(x)滿足f(2-x)=-f(x),且當x..l時，函數(shù)f(x)=JE.若

a==則a,4c大小關系是()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

10.計算/Og2等于(

3322

A.----B.—C.----D.一

2233

11.已知a=5；0=log4石,。=1。氏2,則a)，c的大小關系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

(1TC

12.關于函數(shù)./(x)=4sin-%+—,有下述三個結論:

I，3123J

TT

①函數(shù)y(x)的一個周期為二；

2

TT37r

②函數(shù)/(X)在上單調(diào)遞增;

24

③函數(shù)/(x)的值域為[4,4&].

其中所有正確結論的編號是（）

A.①②B.②C.②③D.③

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/（x）=x-恰好有3個不同的零點，則實數(shù)，〃的取值范圍為一

21

14.已知x>0,y>0,且一+―=1,則x+2y的最小值是.

15.AABC中，角A5,C的對邊分別為且A8,C成等差數(shù)列，若匕=百，c=l,則AABC的面積為

16.滿足約束條件次|+2|勿W2的目標函數(shù)2=y一工的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=cosx-sincos2x+B,xeR

（I）求的最小正周期；

（n）求/（X）在上的最小值和最大值.

18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A3CD為菱形，為正三角形，平面尸AD_L平面

分別是A。,CD的中點.

（1）證明:BO_L平面

（2）若NBA。=60°，求二面角B—QD—A的余弦值.

^^-2cos2A=3

19.（12分）在△ABC中，內(nèi)角A3,C的對邊分別為a/,c,且8cos）

2

(1)求A;

（2）若。=2,且AABC面積的最大值為百，求AABC周長的取值范圍.

20.（12分）如圖，三棱錐。一ABC中，PA=PB=PC=6,CA=CB=6,ACLBC

（1）證明：面243，面48。；

（2）求二面角C—PA—B的余弦值.

21.（12分）已知函數(shù)/（》）=*—1（“66〃工0）.

⑴當〃=1時，求函數(shù)“X）在（0,〃0））處的切線方程；

（2）若函數(shù)/（x）沒有零點，求實數(shù)”的取值范圍.

22.（10分）在極坐標系中，已知曲線G：0cos6—何sin。一1=0,C2:p=2cos^.

（1）求曲線G、G的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀；

（2）若曲線G、G交于A、B兩點,求兩交點間的距離.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)VxG（0,-H?）總有/（x）<g（x）恒成立可構造函數(shù)〃（x）=1門-（2加+3）%-%求導后分情況討論//（力的最大

值可得最大值最大值卜，（癡+3）-

即一ln（2加+3）-1一〃WO根據(jù)題意化簡可得（2加+3）〃N（2加+3）［—ln（2加+3）—1］,求得

F（m,n）=（2m+3）［-ln（2/n+3）-l］，再換元求導分析最大值即可.

【詳解】

由題，Vxe（0,+oo）總有l(wèi)nx4（2/〃+3）x+“即lnx-（2〃?+3）x-"W0恒成立.

設/z（x）=lnx-（2m+3）x-〃,則〃（x）的最大值小于等于0.

又〃（力=：_（2加+3）,

若2/72+3WO則〃（x）>o,/z（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，人（力無最大值.

若2機+3>0,則當時，"（x）<O,/z（x）在需行+8|上單調(diào)遞減,

°,貴上單調(diào)遞胤

當0<x<^—時,&'（x）>0,〃（x）在

故在、=心處〃⑴取得最大值"I赤卜m--1-〃=，（2旭+3）-1-〃.

故一ln（2m+3）-1一〃40,化簡得（2根+3）〃之（2根+3）［-ln（2根+3）-1］.

故/?（狐〃）=（2加+3）［-山（2/篦+3）-1］,令.=2帆+3,（，>0）,可令左（，）=一，（111/+1）,

故左'（。=一2一2,當,>/時，％'（。<0,左（，）在（5+8）遞減；

當0<￡<十時，攵?）>（）,砌在?遞增.

故尸（伏〃）的最大值為

e

故選:C

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)導數(shù)求解函數(shù)的最值問題，需要根據(jù)題意分析導數(shù)中參數(shù)的范圍，再分析函數(shù)的最值，進而求導構造

函數(shù)求解（2m+3）n的最大值.屬于難題.

2.D

【解析】

根據(jù)題意分別計算出物理等級為A,化學等級為3的學生人數(shù)以及物理等級為3,化學等級為A的學生人數(shù)，結合表

格中的數(shù)據(jù)進行分析，可得出合適的選項.

【詳解】

根據(jù)題意可知，36名學生減去5名全A和一科為A另一科為B的學生10-5+8-5=8人（其中物理A化學B的有5

人，物理8化學A的有3人），

表格變?yōu)椋?/p>

ABCDE

物理10-5-5=016-3=13910

化學8-5-3=019-5=14720

對于A選項，物理化學等級都是3的學生至多有13人，A選項錯誤；

對于B選項，當物理C和。，化學都是3時，或化學C和。，物理都是8時，物理、化學都是3的人數(shù)最少，至少

為13-7-2=4（人），B選項錯誤；

對于C選項，在表格中，除去物理化學都是3的學生，剩下的都是一科為3且最高等級為8的學生，

因為都是3的學生最少4人，所以一科為3且最高等級為3的學生最多為13+9+1-4=19（人），

C選項錯誤；

對于D選項，物理化學都是B的最多13人，所以兩科只有一科等級為B且最高等級為B的學生最少14-13=1（人）,

D選項正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.

3.C

【解析】

求出集合A,然后與集合8取交集即可.

【詳解】

由題意，A=|<01={x|-2<x<1},B={x[-l<x<2},則An8={x[—l<x<l},故答案為C.

【點睛】

本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計算能力，屬于基礎題.

4.A

【解析】

化簡得到(2*-1)(2-2')'=2r-(2-2'丫-(2-2'丫，再利用二項式定理展開得到答案.

【詳解】

(2r-1)(2-2A)5=2X-(2-2J)5-(2-21)5

展開式中8'的項為2'C；23(-2'7一C；2?(—2*丫=120x8,.

故選：A

【點睛】

本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.

5.D

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(x)為R上的奇函數(shù)可得。，由函數(shù)/(x)的對稱軸及單調(diào)性即可確定”的值，進而確定函數(shù)/(x)的解

析式，即可求得了(W］的值.

【詳解】

函數(shù)/(1)=5畝(5+0)(口>0,0<。4乃)是R上的奇函數(shù)，

則°=萬，所以/(無)=-sinox.

又的圖象關于直線x=?對稱可得詈=1+&萬，keZ,即。=2+4左，keZ,

TT124

由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知，

114co

即&><5.5,

綜上0=2,則/(x)=-sin2x,

IXH

故選：D

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用，由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù)，屬于中檔題.

6.B

【解析】

io<io

由，是第二象限角且sin。=—知：cos0=—A/1—sin20=---?tan0-----

13135

,，八萬、tan+tan45°7

所以tan(6+—)=-------------

41一tan6tan45。n

7.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域，畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義平移得到答案.

【詳解】

m<2-n

奇函數(shù)/（x）是R上的減函數(shù)，貝!|/（0）=0,且加-〃-1W0,畫出可行域和目標函數(shù)，

772>0

z=2，n—n,即〃=2機—z,z表示直線與y軸截距的相反數(shù),

根據(jù)平移得到：當直線過點（0,2）,即加=0.“=2時，z=2加一”有最小值為-2.

故選：B.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，線性規(guī)劃問題，意在考查學生的綜合應用能力，畫出圖像是解題的關鍵.

8.B

【解析】

先解不等式化簡兩個條件，利用集合法判斷充分必要條件即可

【詳解】

解不等式V<27可得x<3,

解絕對值不等式Ix|<3可得-3<x<3,

由于｛x|-3cx<3｝為｛x|x<3｝的子集,

據(jù)此可知“丁<27”是“Ix1<3"的必要不充分條件.

故選：B

【點睛】

本題考查了必要不充分條件的判定，考查了學生數(shù)學運算，邏輯推理能力，屬于基礎題.

9.A

【解析】

由已知可得ILy)的單調(diào)性，再由/(2-幻=-/(幻可得/")對稱性，可求出/(x)在(9,1)單調(diào)性，即可求出結論.

【詳解】

對于任意xeR,函數(shù)/(x)滿足/(2-幻=一/(幻,

因為函數(shù)/(x)關于點(1,0)對稱,

當x21時，/(x)=是單調(diào)增函數(shù),

所以/(x)在定義域R上是單調(diào)增函數(shù).

因為-卜-2，所以/卜樂/卜

b<c<a.

故選:A.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，解題的關鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式，屬于中檔題..

10.A

【解析】

利用誘導公式、特殊角的三角函數(shù)值，結合對數(shù)運算，求得所求表達式的值.

【詳解】

V21

xcos[2~1J=log71_3_3

也=log?2

原式=R)g2------XCOS2-------X—logo2

2■221322-2

故選：A

【點睛】

本小題主要考查誘導公式，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.

11.A

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得〃再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將仇C與1,L對比，即可求出結論.

ci—Jx>12

【詳解】

1L1

由題知?！怠?

=5>>5°=1,1log4v5>log42=—9

C=log52<log5V5則a>O>c.

2

故選:A.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小，注意與特殊數(shù)的對比，屬于基礎題..

12.C

【解析】

jr3417i74177r/'(x)=40sin(gx+總，再利用單調(diào)性

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當x￡y,-時，5%+大￡

乙乙。JL乙

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù).f(x)=4$川5%+。)+4cos的值域等價于函數(shù)

I，J)

；1的值域，而〃)當時171

g(x)=4sinx+4cosgxg(x+=g(x),xe[O,;r],g(x)=40sin|二工+一再求值域.

223

【詳解】

、

因為/fl7萬17〃(\7141.71

[x+1^J=4sin-x-\-----+4cos—XH-------4cos—%+—+4sin—x+—w/(x),故①錯誤;

(2122121212J2127

,7T3萬,1717417兀171171

當"eTT時'一九+——￡三,所以f(x)=4sin+—4cos一尤+——=472sin—X+—

2312—24I」I，3/23212

ITTTT1\lTTT3乃

-X+—G-所以/(X)在上單調(diào)遞增，故②正確;

4L4J^*14,>

函數(shù)/(x)=4sin[[x+g)+4cos+的值域等價于函數(shù)g(x)=4sin；x+4cos；尤的值域，易知

g(x+%)=g(x),故當xe[0,萬]時，g(x)=40sin+e[4,4垃],故③正確.

I，3)

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(e,+oo)

【解析】

/(x)=X-機IInx|恰好有3個不同的零點=機一畫=°(x#1)恰有三個根，然后轉化成求函數(shù)值域即可.

【詳解】

解：/(尤)=X—機|InXI恰好有3個不同的零點O〃2一隔=°(x*1)恰有三個根，

X

-------,XG(0,1)

令g(上向腹。g(止扃Inx

X八

---,XG(1,+8

Jnx

Xe(0,1),g，(x)=:>o,

g(x)在xe(O,l)遞增;

俎1,8),小)=發(fā)>。,

xe(l,e),g,x)=1^—<0,g(x)遞減,

xe(e,8),g'(x)=1>0,g(x)遞增，

Inx

8(力,皿=8，)=6

.?.加>e時，f(x)在xe(O,l)有一個零點，在xe(l,+8)有2個零點；

故答案為：〃?e(e,+8).

【點睛】

已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點也是難點，這類題一般用分離參數(shù)的方法，中檔題.

14.8

【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.

【詳解】

x+2y=(x+2y)(2+J_=2+^+—+2>4+2=8,

y)yx\y

當且僅當一x二」4v時等號成立.

y%

故x+2y的最小值為8,

故答案為：8.

【點睛】

本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎題.

15..

2

【解析】

TT

由A,B,C成等差數(shù)列得出8=60。，利用正弦定理得。進而得A=一代入三角形的面積公式即可得出.

2

【詳解】

VA,B,C成等差數(shù)歹（J,.??A+C=2B,

又A+5+C=180°,.?.35=180°,5=60°.

ch17TTT

故由正弦定理〕一=二一:.sinC=--c<b:.C=-,故A=—

sinCsinB262

所以SAABC=—hc=9

22

故答案為：B

2

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的面積公式，考查正弦定理的應用，屬于基礎題.

16.-2

【解析】

可行域|x|+2|y區(qū)2是如圖的菱形ABCD,

代入計算,

知ZA=0_2=-2為最小.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（I）乃；（II）最小值--和最大值一.

24

【解析】

試題分析：（1）由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將/（力的解析式化為一個復合角的三角函數(shù)式,

再利用正弦型函數(shù)y=Asm（（ox+（p）+B的最小正周期計算公式7=而，即可求得函數(shù)/（%）的最小正周期；⑵

1如】7T如如

由（1）得函數(shù)/（x）=—sin2x--,分析它在閉區(qū)間.上的單調(diào)性，可知函數(shù)/（X）在區(qū)間一下一決上是

2L3j4

減函數(shù)，在區(qū)間一看,￡上是增函數(shù)，由此即可求得函數(shù)/'（X）在閉區(qū)間一g,（.上的最大值和最小值.也可以利用

整體思想求函數(shù)/（X）在閉區(qū)間一（,（上的最大值和最小值.

由已知，有/(x)=cos%'Jsmx旦。久+迫

224

“X）的最小正周期丁=曰=n.

TT7T7T7T1

（2）???/（X）在區(qū)間一下一冠上是減函數(shù)，在區(qū)間—上是增函數(shù),

1244

7T7T

.?.函數(shù)“X）在閉區(qū)間一,一上的最大值為二，最小值為-

4442

考點：1.兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式；2.三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性.

18.（1）詳見解析；（2）冬

【解析】

（D連接AC,由菱形的性質(zhì)以及中位線，得BD上FE,由平面Q4O_L平面ABC。，且正;，交線A。，得PEL

平面ABC。，故而BDLPE,最后由線面垂直的判定得結論.

（2）以E為原點建平面直角坐標系，求出平面平尸AD與平面PBQ的法向量展=（0,1,0）

,n=（V3,-l,-l）,最后求得二面角B—PD—A的余弦值為正.

【詳解】

解：(1)連結AC

,:PA=PD,且E是AD的中點，

:.PELAD

???平面平面ABCD,

平面PA。0平面ABCD=AD,

:.PE_L平面A3G9.

；BQu平面ABCD,

:.BD1PE

又ABCD為菱形，且瓦產(chǎn)為棱的中點,

:.EF//AC,BD±AC

???BD±EF.

又,：BDA.PE,PEcEF=E,PE,EFu平面PEF

二BD工平面PEF.

(2)由題意有，

?四邊形ABC。為菱形，且NBA。=60°,

：.EB±AD

分別以E4,EB,EP所在直線為x軸，)'軸，z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系￡,尸，設AD=1,則

耳—；,0,0),80,?,0,P

設平面的法向量為〃=(x,y,z).

\n-DB=O,|x+島=0

由1一八，得，廣，

n-DP=Q[x+Gz=0

令x=6,得:=(6,一1,一1)

取平面APD的法向量為)=(0,1,0)

?/—―\])5

..cos弋乳,n)-~~T^=-~-

?.?二面角B-PD-A為銳二面角，

二二面角B-PD-A的余弦值為更

5

【點睛】

處理線面垂直問題時，需要學生對線面垂直的判定定理特別熟悉，運用幾何語言表示出來方才過關，一定要在已知平

面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直，才可以證得線面垂直，其次考查了學生運用空間向量處理空間中的二面角

問題，培養(yǎng)了學生的計算能力和空間想象力.

7T

19.(1)4=一(2)(4,6]

3

【解析】

(D利用二倍角公式及三角形內(nèi)角和定理，將8cos2cos2A=3化簡為4cos2A+4cosA—3=0,求出

2

cosA的值，結合Ac(0,"),求出A的值；

(2)寫出三角形的面積公式，由其最大值為百求出8G,4.由余弦定理，結合。=2,4",求出匕+c的范圍，注

意力+c>a=2.進而求出周長的范圍.

【詳解】

解：⑴8cos?小土-2cos2A=3

2

4(1+cos(B+Q)-2cos2A=3

整理得4cos2A+4cosA-3=0

13

解得cosA=—或cosA=——（舍去）

22

又人￡（0,乃）

3

(2)由題意知&ABC=；8c、sinA=-^Z?cW出

be,,4,

又〃+c2-a2=2bccosA,a=2,

/.Z?2+c2=4+〃c,

二.(0+c>=4+3Z?c?16

又Z?+c>2

.?.2<〃+c<4

「.4<a+Z?+a,6

「.△ABC周長的取值范圍是(4,6]

【點睛】

本題考查了二倍角余弦公式，三角形面積公式，余弦定理的應用，求三角形的周長的范圍問題.屬于中檔題.

20.(1)證明見解析(2)叵

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【解析】

(D取AB中點。，連結P。,。。，證明PO_L平面ABC得到答案.

(2)如圖所示，建立空間直角坐標系。一乎，浣=芯=(0,1,0)為平面Q鉆的一個法向量，平面P4C的一個法向

量為3=(夜，夜,1),計算夾角得到答案.

【詳解】

(D取AB中點。，連結PO,OC,?.?PA=P8,;.PO，AB,AB=&C=2,

?;PB=AP=6：.PO=72,CO=1,../。。。為直角，；.。。，。。，

PO_L平面ABC,。0<=平面加8,，面。43_1_面48。.

(2)如圖所示，建立空間直角坐標系。一孫z,則A(l,0,0),尸(0,0,夜),C(0,l,0),

可取決=反=(0,1,0)為平面PAB的一個法向量.

設平面P4C的一個法向量為3=(/,m,〃).

則而工=0,/工=0,其中向=(1,0,—血),/=(一1』,0),

l-V2n=0,〃=也/

<"一2'，不妨取/=0，則5=(0,0,1).

-1+m=0.

m=I.

_V10

/----、m-n0XA/2+1XV2+0X1

cos(m.n)=-^=-^r-222222

ImilnI7o+l+o-7^+V2+l5

■：C-PA-B為銳二面角，，二面角C—PA-B的余弦