相似三角形綜合題錦(含答案)

./一、相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,過(guò)點(diǎn)B作射線(xiàn)BB1∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線(xiàn)AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線(xiàn)AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交射線(xiàn)BB1于F,G是EF中點(diǎn),連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

〔1當(dāng)t為何值時(shí),AD=AB,并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；

〔2當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí),求t的值．

2.如圖,在△ABC中,ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)．同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā),沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),它們都停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．

〔1①當(dāng)t=2.5s時(shí),求△CPQ的面積；

②求△CPQ的面積S〔平方米關(guān)于時(shí)間t〔秒的函數(shù)解析式；

〔2在P,Q移動(dòng)的過(guò)程中,當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí),求出t的值．

3.如圖1,在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng),DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E,EM⊥BD,垂足為M,EN⊥CD,垂足為N．

〔1當(dāng)AD＝CD時(shí),求證：DE∥AC；

〔2探究：AD為何值時(shí),△BME與△CNE相似？

4.如圖所示,在△ABC中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí),Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x．

〔1當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC？

〔2△APQ與△CQB能否相似？若能,求出AP的長(zhǎng)；若不能說(shuō)明理由．5.如圖,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點(diǎn)P沿AB邊從A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā),用t〔s表示移動(dòng)的時(shí)間〔0＜t＜6?！?當(dāng)t為何值時(shí),△QAP為等腰直角三角形？

〔2當(dāng)t為何值時(shí),以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？二、構(gòu)造相似輔助線(xiàn)——雙垂直模型6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為<2,1>,正比例函數(shù)y=kx的圖象與線(xiàn)段OA的夾角是45°,求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式．

7.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作△ABD,使△ABD為等腰直角三角形,求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)．

8.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn),點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn),沿著直線(xiàn)MN折疊,使得點(diǎn)C恰好落在邊AB上的P點(diǎn)．求證：MC：NC=AP：PB．

9.如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形ABCO的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔1,3,將矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置,且AD交y軸于點(diǎn)E．那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為〔

A.B.

C.D.10..已知,如圖,直線(xiàn)y=﹣2x＋2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)．以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD,使得矩形的兩邊之比為1﹕2。

求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

三、構(gòu)造相似輔助線(xiàn)——A、X字型11.如圖：△ABC中,D是AB上一點(diǎn),AD=AC,BC邊上的中線(xiàn)AE交CD于F。

求證：

12.四邊形ABCD中,AC為AB、AD的比例中項(xiàng),且AC平分∠DAB。

求證：

13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E為AD邊上的任意一點(diǎn),EF∥AB,且EF交BC于點(diǎn)F,某同學(xué)在研究這一問(wèn)題時(shí),發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：

<1>當(dāng)時(shí),EF=；<2>當(dāng)時(shí),EF=；

<3>當(dāng)時(shí),EF=．當(dāng)時(shí),參照上述研究結(jié)論,請(qǐng)你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論,并給出證明．

14.已知：如圖,在△ABC中,M是AC的中點(diǎn),E、F是BC上的兩點(diǎn),且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

15.證明：〔1重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線(xiàn)長(zhǎng)的．〔注：重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)

〔2角平分線(xiàn)定理：三角形一個(gè)角的平分線(xiàn)分對(duì)邊所成的兩條線(xiàn)段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例．四、相似類(lèi)定值問(wèn)題16.如圖,在等邊△ABC中,M、N分別是邊AB,AC的中點(diǎn),D為MN上任意一點(diǎn),BD、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．

求證：．

17.已知：如圖,梯形ABCD中,AB//DC,對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于O,過(guò)O作EF//AB分別交AD、BC于E、F。

求證：．

18.如圖,在△ABC中,已知CD為邊AB上的高,正方形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在△ABC上。

求證：．19.已知,在△ABC中作接菱形CDEF,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a．求證：．五、相似之共線(xiàn)線(xiàn)段的比例問(wèn)題20.〔1如圖1,點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上,一直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P分別交BA,BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q,S,交于點(diǎn)．求證：

〔2如圖2,圖3,當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)或的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),是否仍然成立？若成立,試給出證明；若不成立,試說(shuō)明理由〔要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說(shuō)明；

21.已知：如圖,△ABC中,AB＝AC,AD是中線(xiàn),P是AD上一點(diǎn),過(guò)C作CF∥AB,延長(zhǎng)BP交AC于E,交CF于F．求證：BP2＝PE·PF．22.如圖,已知ΔABC中,AD,BF分別為BC,AC邊上的高,過(guò)D作AB的垂線(xiàn)交AB于E,交BF于G,交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于H。求證：DE2=EG?EH23.已知如圖,P為平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn),過(guò)P的直線(xiàn)與AD、BC、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)、AB的延長(zhǎng)線(xiàn)分別相交于點(diǎn)E、F、G、H.

求證：

24.已知,如圖,銳角△ABC中,AD⊥BC于D,H為垂心〔三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn)；在AD上有一點(diǎn)P,且∠BPC為直角．求證：PD2＝AD·DH。六、相似之等積式類(lèi)型綜合25.已知如圖,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交CA于F。

求證：

26如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,點(diǎn)M在CD上,DH⊥BM且與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E.

求證：〔1△AED∽△CBM；〔2

27.如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線(xiàn)與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.

〔1求證：.

〔2若G是BC的中點(diǎn),連接GD,GD與EF垂直嗎？并說(shuō)明理由.

28.如圖,四邊形ABCD、DEFG都是正方形,連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M,CG與AD相交于點(diǎn)N．求證：．

29.如圖,BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高,過(guò)D作DG⊥BC于G,分別交CE及BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F、H。求證：〔1DG2＝BG·CG；〔2BG·CG＝GF·GH七、相似基本模型應(yīng)用30.△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上．

〔1如圖1,設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,求證：△BEM∽△CNE；

〔2如圖2,將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),使得DE與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,于是,除〔1中的一對(duì)相似三角形外,能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論．

31.如圖,四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形,點(diǎn)R為DE的中點(diǎn),BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．

〔1請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形〔相似比為1除外；

〔2求BP：PQ：QR．

32.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。求證：

答案：1.答案：解：〔1∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4

∴AB=5

又∵AD=AB,AD=5t

∴t=1,此時(shí)CE=3,

∴DE=3+3-5=1

〔2

如圖當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè),即：0≦t≦時(shí),DE=3t+3-5t=3-2t．

若△DEG與△ACB相似,有兩種情況：

①△DEG∽△ACB,此時(shí),

即：,求得：t=；

②△DEG∽△BCA,此時(shí),

即：,求得：t=；

如圖,當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E右側(cè),即：t>時(shí),DE=5t-<3t+3>=2t-3．

若△DEG與△ACB相似,有兩種情況：

③△DEG∽△ACB,此時(shí),

即：,求得：t=；

④△DEG∽△BCA,此時(shí),

即：,求得：t=．

綜上,t的值為或或或．3.答案：解：〔1證明：∵AD=CD

∴∠A=∠ACD

∵DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E

∴∠CDE=∠BDE

∵∠CDB為△CDB的一個(gè)外角

∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD

∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE

∴∠ACD=∠CDE

∴DE∥AC

〔2①∠NCE=∠MBE

∵EM⊥BD,EN⊥CD,

∴△BME∽△CNE,如圖

∵∠NCE=∠MBE

∴BD=CD

又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°

∴∠ACD=∠A

∴AD=CD

∴AD=BD=AB

∵在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8

∴AB=10

∴AD=5

②∠NCE=∠MEB

∵EM⊥BD,EN⊥CD,

∴△BME∽△ENC,如圖

∵∠NCE=∠MEB

∴EM∥CD

∴CD⊥AB

∵在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8

∴AB=10

∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB

∴△ACD∽△ABC

∴

∴

綜上：AD=5或時(shí),△BME與△CNE相似．4.答案：解〔1由題意：AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,

當(dāng)PQ∥BC時(shí),,即：

解得：

〔2能,AP=cm或AP=20cm

①△APQ∽△CBQ,則,即

解得：或〔舍

此時(shí)：AP=cm

②△APQ∽△CQB,則,即

解得：〔符合題意

此時(shí)：AP=cm

故AP=cm或20cm時(shí),△APQ與△CQB能相似．5.答案：解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t．

〔1若△QAP為等腰直角三角形,則AQ=AP,即：6-t=2t,t=2〔符合題意

∴t=2時(shí),△QAP為等腰直角三角形．

〔2∠B=∠QAP=90°

①當(dāng)△QAP∽△ABC時(shí),,即：,

解得：〔符合題意；

②當(dāng)△PAQ∽△ABC時(shí),,即：,

解得：〔符合題意．

∴當(dāng)或時(shí),以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．6.答案：解：分兩種情況

第一種情況,圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限

過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OA,交待求直線(xiàn)于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)A作平行于y軸的直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC

則由上可知：＝90°

由雙垂直模型知：△OCA∽△ADB

∴

∵A〔2,1,＝45°

∴OC＝2,AC＝1,AO＝AB

∴AD＝OC＝2,BD＝AC＝1

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為〔2,3

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,3

∴此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為：y＝3x

第二種情況,圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限

過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OA,交待求直線(xiàn)于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)A作平行于x軸的直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC

則由上可知：＝90°

由雙垂直模型知：△OCA∽△ADB

∴

∵A〔2,1,＝45°

∴OC＝1,AC＝2,AO＝AB

∴AD＝OC＝1,BD＝AC＝2

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為〔3,1

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為〔3,﹣1

∴此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為：y＝x7.答案：解：情形一：

情形二：

情形三：8.答案：證明：方法一：

連接PC,過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D,則PD//BC

根據(jù)折疊可知MN⊥CP

∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°

∴∠2=∠CNM

∵∠CDP=∠NCM=90°

∴△PDC∽MCN

∴MC：CN=PD：DC

∵PD=DA

∴MC：CN=DA：DC

∵PD//BC

∴DA：DC=PA：PB

∴MC：CN=PA：PB

方法二：如圖,

過(guò)M作MD⊥AB于D,過(guò)N作NE⊥AB于E

由雙垂直模型,可以推知△PMD∽NPE,則,

根據(jù)等比性質(zhì)可知,而MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN,

∴MC：CN=PA：PB9.答案：A解題思路：如圖

過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,則∠M=∠DNA=90°,

由于折疊,可以得到△ABC≌△ADC,

又由B〔1,3

∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°

∴∠1+∠2=90°

∵∠DNA=90°

∴∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3

∴△DMC∽△AND,

∴

設(shè)CM=x,則DN=3x,AN=1＋x,DM＝

∴3x＋＝3

∴x＝

∴,則。

答案為A10.答案：解：

過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線(xiàn)交y軸于G,過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線(xiàn)交x軸于F,交GC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E。

∵直線(xiàn)y=﹣2x＋2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)

∴A〔1,0,B〔0,2

∴OA=1,OB=2,AB=

∵AB：BC=1:2

∴BC=AD=

∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°

∴∠CBG=∠BAO

又∵∠CGB=∠BOA=90°

∴△OAB∽△GBC

∴

∴GB=2,GC=4

∴GO=4

∴C〔4,4

同理可得△ADF∽△BAO,得

∴DF=2,AF=4

∴OF=5

∴D〔5,211.答案：證明：〔方法一如圖

延長(zhǎng)AE到M使得EM=AE,連接CM

∵BE=CE,∠AEB=∠MEC

∴△BEA≌△CEM

∴CM=AB,∠1=∠B

∴AB∥CM

∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF

∴△MCF∽△ADF

∴

∵CM=AB,AD=AC

∴

〔方法二

過(guò)D作DG∥BC交AE于G

則△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF

∴,

∵AD=AC,BE=CE

∴12.答案：證明：

過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,則∠2=∠3

∵AC平分∠DAB

∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴AD=DF

∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3

∴△BEA∽△DEF

∴

∵AD=DF

∴

∵AC為AB、AD的比例中項(xiàng)

∴

即

又∵∠1=∠2

∴△ACD∽△ABC

∴

∴

∴13.答案：解：

證明：

過(guò)點(diǎn)E作PQ∥BC分別交BA延長(zhǎng)線(xiàn)和DC于點(diǎn)P和點(diǎn)Q

∵AB∥CD,PQ∥BC

∴四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形

∴PB＝EF＝CQ,

又∵AB＝b,CD＝a

∴AP＝PB-AB＝EF-b,DQ＝DC-QC＝a-EF

∴

∴14.答案：解：

連接MF

∵M(jìn)是AC的中點(diǎn),EF＝FC

∴MF∥AE且MF＝AE

∴△BEN∽△BFM

∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF

∵BE＝EF

∴BN：BM＝NE：MF＝1:2

∴BN：NM＝1:1

設(shè)NE＝x,則MF＝2x,AE＝4x

∴AN＝3x

∵M(jìn)F∥AE

∴△NAQ∽△MFQ

∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2

∵BN：NM＝1:1,NQ：QM＝3:2

∴BN：NQ：QM＝5:3:215.答案：證明：〔1

如圖1,AD、BE為△ABC的中線(xiàn),且AD、BE交于點(diǎn)O

過(guò)點(diǎn)C作CF∥BE,交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F

∵CF∥BE且E為AC中點(diǎn)

∴∠AEO＝∠ACF,∠OBD＝∠FCD,AC＝2AE

∵∠EAO＝∠CAF

∴△AEO∽△ACF

∴

∵D為BC的中點(diǎn),∠ODB＝∠FDC

∴△BOD≌△CFD

∴BO＝CF

∴

∴

同理,可證另外兩條中線(xiàn)

∴三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線(xiàn)長(zhǎng)的

〔2

如圖2,AD為△ABC的角平分線(xiàn)

過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn)CE交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E

則∠BAD=∠E

∵AD為△ABC的角平分線(xiàn)

∴∠BAD=∠CAD

∴∠E=∠CAD

∴AC＝CE

∵CE∥AB

∴△BAD∽△CED

∴

∴16.答案：證明：

如圖,作DP∥AB,DQ∥AC

則四邊形MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且△DPQ是等邊三角形

∴BP+CQ＝MN,DP＝DQ＝PQ

∵M(jìn)、N分別是邊AB,AC的中點(diǎn)

∴MN＝BC＝PQ

∵DP∥AB,DQ∥AC

∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC

∴,

∴

∵DP＝DQ＝PQ＝BC＝AB

∴AB〔＝

∴17.答案：證明：∵EF//AB,AB//DC

∴EF//DC

∴△AOE∽△ACD,△DOE∽△DBA

∴,

∴

∴18.答案：證明：∵EF∥CD,EH∥AB

∴,

∵,

∴△AFE∽△ADC,△CEH∽△CAB

∴,

∵EF＝EH

∴

∴19.答案：證明：∵EF∥AC,DE∥BC

∴,

∵,

∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC

∴,

∴

∵EF＝DE＝a

∴20.答案：〔1證明：在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,

∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS

∴△DRP∽△BSP

∴

同理由AB∥CD可證△PTD∽△PQB

∴

∴

∴

〔2證明：成立,理由如下：

在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,

∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS

∴△DRP∽△BSP

∴

同理由AB∥CD可證△PTD∽△PQB

∴

∴

∴21.答案：證明:

∵AB＝AC,AD是中線(xiàn),

∴AD⊥BC,BP=CP

∴∠1=∠2

又∵∠ABC=∠ACB

∴∠3=∠4

∵CF∥AB

∴∠3=∠F,∠4=∠F

又∵∠EPC=∠CPF

∴△EPC∽△CPF

∴

∴BP2＝PE·PF

即證所求22.答案：證明：∵DE⊥AB

∴＝90°

∵＝90°

∴

∵

∴△ADE∽△DBE

∴

∴DE2=

∵BF⊥AC

∴＝90°

∵＝90°且

∴

∵

∴△BEG∽△HEA

∴

∴＝

∴DE2=EG•EH23.答案：證明：

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AB∥CD,AD∥BC

∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6

∴△PAH∽△PCG

∴

又∵∠3=∠4

∴△APE∽△CPF

∴

∴24.答案：證明：如圖,連接BH交AC于點(diǎn)E,

∵H為垂心

∴BE⊥AC

∴∠EBC+∠BCA=90°

∵AD⊥BC于D

∴∠DAC+∠BCA=90°

∴∠EBC=∠DAC

又∠BDH=∠ADC=90°

∴△BDH∽△ADC

∴,即

∵∠BPC為直角,AD⊥BC

∴PD2＝BD·DC

∴PD2＝AD·DH25.答案：證明：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點(diǎn)

∴CE=EB=DE

∴∠B=∠BDE=∠FDA

∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°

∴∠B=∠ACD

∴∠FDA=∠ACD

∵∠F=∠F

∴△FDA∽△FCD

∴

∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD

∴△ACD∽△CBD

∴

∴

即26.答案：證明：〔1∵∠ACB＝∠ADC＝90°

∴∠A＋∠ACD＝90°

∠BCM＋∠ACD＝90°

∴∠A＝∠BCM

同理可得：∠MDH＝∠MBD

∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD

∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH

∴∠ADE＝∠CMB

∴△AED∽△CBM

〔2由上問(wèn)可知：,即

故只需證明即可

∵∠A＝∠A,∠ACD＝∠ABC

∴△ACD∽△ABC

∴,即

∴27.答案：〔1將結(jié)論寫(xiě)成比例的形式,,可以考慮證明△FDB∽△FCD〔已經(jīng)有一個(gè)公共角∠F

Rt△ACD中,E是AC的中點(diǎn)

∴DE=AE

∴∠A=∠ADE

∵∠ADE=∠FDB

∴∠A=∠FDB

而∠A