專題07 全等三角形經(jīng)典壓軸題型專訓(xùn)（解析版）

專題07全等三角形經(jīng)典壓軸題型專訓(xùn)【精選40道全等三角形經(jīng)典壓軸題型專訓(xùn)】1．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知是的平分線，，若，則的面積（

）

A． B． C． D．不能確定【答案】A【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，根據(jù)題意，易證，因?yàn)楹屯叩鹊?，所以面積相等，根據(jù)等量代換便可得出．【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，

，∵，∴，∵是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴,∴，∵和同底等高，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線和全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形的角平分線和全等三角形的判定．2．（2023春·河南開(kāi)封·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分，于，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④，其中正確的是（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出結(jié)論：；②證明，得平分；③由四邊形的內(nèi)角和為得，再由平角的定義可得結(jié)論是正確的；④由得，再由，得出結(jié)論是正確的．【詳解】解：①，平分，，；所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；②，，，，，平分，所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；③，，，，所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；④，，，，所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；本題正確的結(jié)論有4個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，同時(shí)運(yùn)用角平分線的性質(zhì)得出兩條垂線段相等；本題難度不大，關(guān)鍵是根據(jù)證明兩直角三角形全等，根據(jù)等量代換得出線段的和，并結(jié)合四邊形的內(nèi)角和與平角的定義得出角的關(guān)系．3．（2023春·福建福州·七年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，BD平分，于點(diǎn)D，，，則面積的最大值為（

）

A． B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】延長(zhǎng)，兩者交于點(diǎn)G，過(guò)G點(diǎn)作，交于（或的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)H，證明，即有，進(jìn)而有，根據(jù)，有△AGC的面積為，當(dāng)G點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，即時(shí)，可得，此時(shí)達(dá)到最大，則的最大面積為：；根據(jù)，可得，則的最大面積可求．【詳解】延長(zhǎng)，兩者交于點(diǎn)G，過(guò)G點(diǎn)作，交于（或的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)H，如圖，

∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵在中，，∴的面積，∵，∴，∵在中，，∴即，是直角三角形，斜邊為，∴，∵，∴，當(dāng)G點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，即時(shí)，可得，此時(shí)達(dá)到最大，∴則的最大值為3，∴的最大面積為：，∵，∴D點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴的最大面積為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積公式等知識(shí)，構(gòu)造輔助線，并判斷出當(dāng)G點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)達(dá)到最大，是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明同學(xué)在用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線，具體過(guò)程是這樣的：已知：．求作：的平分線．作法：第一步：如圖，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．第二步：分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫孤，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)．第三步：畫射線．射線就是所要求作的的平分線．下列關(guān)于小明同學(xué)作法的理由，敘述正確的是（

）

A．由可得，進(jìn)而可證B．由可得，進(jìn)而可證C．由可得，進(jìn)而可證D．由“等邊對(duì)等角”可得【答案】B【分析】根據(jù)題意，第一步得到；第二步得到；第三步得到，從而由三角形全等的判定定理得到由可得，進(jìn)而可證，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，第一步得到；第二步得到；第三步得到；由可得，進(jìn)而可證，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握角平分線尺規(guī)作圖及三角形全等的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？既＃┤鐖D，等腰三角形中，，，平分，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，從而，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，則，從而得到，又，可求出．【詳解】

解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，平分，∴，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)三角形的面積得到邊之間的關(guān)系．6．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若已知周長(zhǎng)為，，，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】證明得出，證明得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，在上截取，連接平分，平分，，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，周長(zhǎng)為，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角分線的定義，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，任意畫一個(gè)的，再分別作的兩角的角平分線和，、相交于點(diǎn)P，連接，有以下結(jié)論：①；②平分；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出即可判定①；如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作于F，于G，于H，利用角平分線的性質(zhì)得到即可判斷②；證明，得到，，即可判斷④；再證明，得到，同理可證，推出即可判斷⑤；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明③．【詳解】解：∵在中，，∴，∵的兩條角平分線和交于，∴，，，故①正確；，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作于F，于G，于H，∴，∴，∴是的角平分線，故②正確；∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，故④正確；在和中，，∴，∴，同理可證，∵，∴，∴，故⑤正確；根據(jù)現(xiàn)有條件，無(wú)法證明，故③錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及判定，三角形內(nèi)角和定理等等，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分線BP、CP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，則下列結(jié)論：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明Rt△PAM≌Rt△PAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PN＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴AP平分∠EAC，故①正確；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正確；③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC，∴∴∠BAC＝2∠BPC，③正確；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正確，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市廣益中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，的外角平分線與內(nèi)角平分線的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為中點(diǎn)．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得，可求，故①正確，由余角的性質(zhì)可證，故②正確，由“”可證，，可得，，，可得，，故③不正確、④正確；即可求解．【詳解】解：平分，平分，，，，，即，又，，故①正確；，，，，，故②正確；過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，即，故③錯(cuò)誤；，，在和中，，，，，在和中，，，，，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在AC上，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G，使BG＝2FC，連接EG交AB于點(diǎn)H，EP平分∠GEC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，則下列結(jié)論：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)P分別作GE，AB，AC的垂線，垂足分別為I，M，N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知，PM=PN=PI，易證PH平分∠BGE，即∠PHM=∠PHI．設(shè)∠PEH=a，∠PAB=，由外角的性質(zhì)可得∠APE=a-，∠AHE=2a-2，所以∠APE=∠AHE；故①正確；由外角的性質(zhì)可得∠PHE=90°-a+，由三角形內(nèi)角和可得，∠HPE=180°-a-（90°-a+）=90°-，所以∠PHE∠HPE，即PEHE；故②不正確；在射線AC上截取CK=EC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)L，使得CL=FC，連接BK，LK，易證△EFC≌△KLC，所以EF=LK，∠L=∠EFC=90°，易證FG=BL，所以△GEF≌△BKL（SAS），所以∠EGF=∠KBC，GE=BK，由由外角的性質(zhì)可知，∠BAC=∠BKC，所以AB=BK=GE，故③正確；因?yàn)镾△PAB=·AB·PM，S△PGE=GE·PI，且AB=CE，PM=PI，所以S△PAB=S△PGE，故④正確．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P分別作GE，AB，AC的垂線，垂足分別為I，M，N，∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，∴PM＝PN，∠PAB＝∠PAC，∵PE平分∠GEC，PN⊥AC，PI⊥EH，∴PI＝PN，∠PEH＝∠PEN，∴PM＝PN＝PI，∴∠PMH＝∠PIH，∵PH＝PH，∴∠PHM＝∠PHI，∴Rt△PMH≌Rt△PIH（HL），∴∠PHM＝∠PHI，設(shè)∠PEH＝α，∠PAB＝β，∴∠PEN＝α，∠BAN＝β，對(duì)于△APE，∠PEC＝∠PAE+∠APE，∴∠APE＝α﹣β，對(duì)于△AEH，∠HEC＝∠BAC+∠AHE，∴∠AHE＝2α﹣2β，∴∠APE＝∠AHE；故①正確；∵∠AHE+∠MHE，∠PHM＝∠PHI，∴∠PHE＝90°﹣α+β，∴∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，∴∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正確；在射線AC上截取CK＝EC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)L，使得CL＝FC，連接BK，LK，∵∠ECF＝∠LCK，∴△EFC≌△KLC（ASS），∴EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，∵BG＝2FC，F(xiàn)C＝CL，∴BG＝FL，∴FG＝BL，∴△GEF≌△BKL（SAS），∴∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，∵∠ACB＝∠EGC+∠BAC，∠ACB＝∠KBC+∠BKC，∴∠BAC＝∠BKC，∴AB＝BK，∴GE＝AB，故③正確；∵S△PAB＝?AB?PM，S△PGE＝GE?PI，又∵AB＝GE，PM＝PI，∴S△PAB＝S△PGE．故④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)定理，作出輔助線，構(gòu)造全等是解題關(guān)鍵．11．（2023秋·山東淄博·八年級(jí)淄博市張店區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE相交下點(diǎn)F，連接并延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G，∠AEB的平分線交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AH．則下列結(jié)論：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正確的有（

）個(gè)．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】①利用三角形內(nèi)角和定理即可說(shuō)明其正確；②利用垂直平分線的性質(zhì)即可說(shuō)明其正確；③利用SAS判定全等即可；④利用③中的結(jié)論結(jié)合等量代換和等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論；⑤利用③中的結(jié)論結(jié)合等量代換和等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】如圖所示，設(shè)EH與AD交于點(diǎn)M，∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，故①正確；∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，∴∠BFD＝45°，∴∠AFE＝∠BFD＝45°，∵BE⊥AC，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴△AEF為等腰直角三角形，∵EM是∠AEF的平分線，∴EM⊥AF，AM＝MF，即EH為AF的垂直平分線，∴AH＝HF，∴②正確；∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝CD，同理，BD＝DF，在△ABD和△CFD中，，∴△ABD≌△CFD（SAS）,∴③正確；∵△ABD≌△CFD，∴CF＝AB，∵CH＝CF+HF，由②知：HF＝AH，∴CH＝AB+AH，∴④正確；∵BD＝DF，CD＝AD，又∵DF＝AD﹣AF，∴BD＝CD﹣AF，∴⑤正確，綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為5個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，做題時(shí)要分清角的關(guān)系與邊的關(guān)系．12．（2023春·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知AB=AC，D為∠BAC的平分線上一點(diǎn)，連接BD、CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的平分線上兩點(diǎn)，連接BD、CD、BE、CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的平分線上三點(diǎn)，連接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次規(guī)律，第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是（

）A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）【答案】C【分析】根據(jù)條件可得圖1中△ABD≌△ACD有1對(duì)三角形全等；圖2中可證出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3對(duì)三角形全等；圖3中有6對(duì)三角形全等，根據(jù)數(shù)據(jù)可分析出第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)．【詳解】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD與△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴圖1中有1對(duì)三角形全等；同理圖2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴圖2中有3對(duì)三角形全等；同理：圖3中有6對(duì)三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定以及規(guī)律的歸納，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件證出圖形中有幾對(duì)三角形全等，然后尋找規(guī)律．13．（2023春·河北保定·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，．

（1）若，則的長(zhǎng)為；（2）連接，若，則的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分析求解；（2）結(jié)合三角形中線的性質(zhì)求得的面積，從而利用全等三角形的性質(zhì)分析求解．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，即，∴，（2）又（1）可得，∴，∵，∴

故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，理解全等三角形的性質(zhì)及三角形中線的概念是解題關(guān)鍵．14．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，，，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)速度為，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（s）（當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束），當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有與全等，此時(shí).

【答案】或【分析】分兩種情況解決：①若，則；②若,則，建立方程求得答案即可．【詳解】解：分兩種情況：①若，則，可得，解得：，②若,則，，解得．故答案為或．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想的滲透．15．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，平分，則下列結(jié)論中，正確的是．（填序號(hào)）．①；②；③；④．【答案】①②④【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)可證，可得，；根據(jù)可得，再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)即可判斷②④；根據(jù)，，即可判斷①，根據(jù)，，即可判斷③．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：，平分，，在和中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，在和中，，，，，，故②符合題意；，故④符合題意；，故①符合題意，，，故③不符合題意，綜上所述，正確的有①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，和的平分線，相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②若，，則；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③④【分析】過(guò)O作，，交、于點(diǎn)G、H，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得到，即可判斷①②，在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，可得，結(jié)合即可判斷③，在上截取，當(dāng)時(shí)，由③可得，即可得到，即可判斷④，即可得到答案；【詳解】解：過(guò)O作，，交、于點(diǎn)G、H，∵和的平分線，相交于點(diǎn)，，，，∴，∴平分角，故①正確；∵，，∴，故②錯(cuò)誤；在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，在上截取，∵和的平分線，相交于點(diǎn)，平分角，∴，，，在與，，，∴，∴，∴，在與，，∴，∴，∴，故④正確，故答案為：①③④；【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵作輔助線．17．（2023春·福建福州·七年級(jí)福建省福州第十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在和中，，，，．連接，交于點(diǎn)，連接．則在下列結(jié)論中：①，②，③若平分，則，④．正確的結(jié)論有（填序號(hào)）

【答案】①②③【分析】由題意易證，即得出，，故②正確；結(jié)合，即可求出，故①正確；由角平分線的定義可知，從而可證，進(jìn)而可證．即可利用“”證明故③正確；過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，易證，即得出，說(shuō)明平分，即．假設(shè)成立，得出，從而可求出，進(jìn)而可證平分．因?yàn)椴淮_定平分，不一定成立，故④錯(cuò)誤．【詳解】解：∵，∴，即．在和中，，∴，∴，，故②正確；∵，∴，故①正確；∵若平分，∴．∵，∴，∴，即．∵，∴．又∵，∴，故③正確；如圖，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，在和中，，∴，

∴，∴平分，即．假設(shè)成立，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即平分．∵不確定平分，∴不一定成立，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的定義與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．18．（2023春·福建福州·七年級(jí)福州華倫中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，角平分線、交于點(diǎn)O，于點(diǎn)．下列結(jié)論；①；②；③；④，其中正確結(jié)論是．

【答案】①③④【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)定理可得，然后結(jié)合三角形面積公式即可判斷結(jié)論①；首先求得，假設(shè)，則，可求得，再根據(jù)，即可判斷結(jié)論②；在上截取，連接，分別證明和，由全等三角形的性質(zhì)可得，即可判斷結(jié)論③；由全等三角形的定義和性質(zhì)易得，，可知，即可判斷結(jié)論④．【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平分，，，∴，∴，故結(jié)論①正確；∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，又∵，∴，故結(jié)論②錯(cuò)誤；在上截取，連接，

在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，故結(jié)論③正確；∵，，∴，，∴，∴，故結(jié)論④正確．綜上所述，結(jié)論正確的為①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并熟練運(yùn)用是解題關(guān)鍵．19．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，在的右側(cè)作等邊，連接、、，則以下結(jié)論：①；②；③；④的周長(zhǎng)最小值為9；⑤當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，．其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）．

【答案】①②③④【分析】①根據(jù)等邊三角形三線合一可以判斷；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中結(jié)論；③根據(jù)②中可得到結(jié)論；④當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，的邊長(zhǎng)最短為3，此時(shí)的周長(zhǎng)為9；⑤先證明點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，連接，的周長(zhǎng)最小，即最小，而，即最小，當(dāng)和重合時(shí)，取最小值，而此時(shí)，據(jù)此可判斷．【詳解】解：①根據(jù)等邊三角形三線合一可以得：，故①正確；②∵垂直平分，∴，而，得到；故②正確；③根據(jù)②中的結(jié)論可得③正確；④的周長(zhǎng)最短，即的長(zhǎng)度最小，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)的周長(zhǎng)為9，故④正確；⑤連接并延長(zhǎng)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，連接，

∵即∴在和中，∴≌∴∴點(diǎn)在射線上移動(dòng)；∵、關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，∴為等邊三角形，又∵為中點(diǎn)∴∴周長(zhǎng)最小，則最?。弧咧本€為的垂直平分線，∴，在中，所以當(dāng)與重合時(shí)最小，即為的長(zhǎng)，此時(shí)，故⑤錯(cuò)誤；故正確結(jié)論序號(hào)為①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明在射線上運(yùn)動(dòng)．20．（2023秋·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如右圖，在和中，，，．過(guò)A作于點(diǎn)G，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)F，連接．（1）若，，則；（2）若，，則四邊形的面積為．【答案】1433【分析】先根據(jù)“”證明≌，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出答案．作，再根據(jù)（1）得出≌，進(jìn)而證明≌，然后證明≌，即可得出，代入數(shù)值計(jì)算得出答案．【詳解】∵，∴，即．∵，，∴≌，∴．∵，∴．故答案為：14；作，交于點(diǎn)H，由（1）得≌，∴，，∴≌，≌，∴．∵，，∴．故答案為：33．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，將不規(guī)則四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，、為邊上兩點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)，連接，，，，．則．【答案】22【分析】如圖，在右側(cè)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)D作,交于G，交于L，過(guò)L分別作、、的高，分別相交于H、I、J；由根據(jù)平行線和角的數(shù)量關(guān)系得到,，從而得到，將轉(zhuǎn)到，利用角的關(guān)系和角平分線的性質(zhì)可再證明，然后利用線段的關(guān)系計(jì)算從而得出結(jié)果．【詳解】如圖，在右側(cè)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)D作,交于G，交于L，過(guò)L分別作、、的高，分別相交于H、I、J；,，是的平分線；又在與中，；又角平分線、交于L，，，在與中，，在與中，，，．故答案為22．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與三角形有關(guān)的角的計(jì)算、角平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)，重點(diǎn)是利用三角形全等，對(duì)線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而進(jìn)行求解，難點(diǎn)是通過(guò)輔助線構(gòu)造全等三角形．22．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，的平分線與外角的平分線相交于點(diǎn)M，作的延長(zhǎng)線得到射線，作射線，有下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③射線是的角平分線；④．所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】由角平分線的定義可知．再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，即可確定，故①正確；過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，由角平分線的性質(zhì)定理可得出．即易證，得出，即說(shuō)明射線是的角平分線，故③正確；利用反證法，假設(shè)，易證，即得出．由，可知，即說(shuō)明不成立，故②錯(cuò)誤；由，即得出．再根據(jù)角平分線的定義即得出，最后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論，可判斷④正確．【詳解】解：∵為的平分線，∴．∵，∴，∴，故①正確；如圖，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，∵為的平分線，為的平分線，∴．又∵，∴，∴，即射線是的角平分線，故③正確；假設(shè)，∴．∵為的平分線，是的角平分線，∴，，∴，即，∴，即．∵，∴，∴假設(shè)不成立，故②錯(cuò)誤；∵，∴．∵，∴，∴，∴④正確．綜上可知所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和的應(yīng)用等知識(shí)．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．23．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平分，，于點(diǎn)，，，那么的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】過(guò)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由條件可證，得到．再由條件，由，由全等的性質(zhì)可得，問(wèn)題可得解．【詳解】證明：如圖，過(guò)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵cm，cm，∴，∴cm，∴cm．故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握常用的判定方法為：是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．24．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形中，對(duì)角線平分，，，并且，則的度數(shù)為．【答案】/21度【分析】過(guò)點(diǎn)D分別作的三條垂線，利用角平分線的性質(zhì)，然后再證明，推出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，推出，從而得到的度數(shù)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，對(duì)角線平分，，，，，，，，，，，，=，，，即，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合推理是解題的關(guān)鍵．25．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐問(wèn)題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角．”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點(diǎn)C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請(qǐng)寫出平分的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線是的平分線，請(qǐng)說(shuō)明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問(wèn)路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）作圖見(jiàn)解析；【分析】（1）先證明，可得，從而可得答案；（2）先證明，可得，可得是的角平分線；（3）先作的角平分線，再在角平分線上截取即可．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；故答案為：（2）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；（3）如圖，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；

．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義與角平分線的性質(zhì)，作已知角的角平分線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關(guān)鍵．26．（2023春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次主題為“神奇的等腰直角三角板”的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，卓越小組做出了如下研究：(1)小組中動(dòng)手操作能力最強(qiáng)的小華同學(xué)用10塊高度都為的小長(zhǎng)方體黑白積木，壘了兩堵與地面垂直的木墻（點(diǎn)在同一平面內(nèi)），兩堵木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（），點(diǎn)在上，點(diǎn)與點(diǎn)分別與木墻的頂端重合，小華說(shuō)無(wú)需測(cè)量便可直接求出兩堵木墻之間的距離，請(qǐng)你幫小華寫出求解過(guò)程．

(2)小組中探索能力最強(qiáng)的小聰同學(xué)先畫了一個(gè)四邊形，其中，，，，接著小聰以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，畫出的等腰直角三角板，連接，探索中發(fā)現(xiàn)無(wú)論以及的長(zhǎng)度怎么變化，的面積始終不變，請(qǐng)直接寫出的面積．

【答案】(1)，求解過(guò)程見(jiàn)解析(2)的面積為【分析】（1）由題中圖形，結(jié)合“一線三垂直”模型，證明，從而由兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)得到，，則；（2）過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示，由（1）的解答過(guò)程，證得，得到，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示，由平行線間的距離相等，得到，，進(jìn)而利用三角形面積公式求出的面積為即可得到答案．【詳解】（1）解：10塊高度都為的小長(zhǎng)方體黑白積木，壘了兩堵與地面垂直的木墻，如圖所示：

，，，，，，，，在和中，，，，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：

∵，∴，，，，，，在和中，，，，，，，在四邊形中，，由平行線間的距離相等得到，，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：

，，，即為底邊上的高，,無(wú)論以及的長(zhǎng)度怎么變化，的面積始終不變，的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的綜合應(yīng)用，熟練掌握“一線三垂直”模型中全等的判定與性質(zhì)、掌握平行線的判定與性質(zhì)、平行線間的平行線段相等等知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．27．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，與相交于點(diǎn)C，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P回到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)求證：．(2)寫出線段的長(zhǎng)（用含t的式子表示）．(3)連接，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求t的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(3)或【分析】（1）證明，可得，可得；（2）分兩種情況計(jì)算即可；（3）先證，得，再分兩種情況，建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴，∴．（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，則，

又∵，∴，∴，∵，，∴∴或，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等中的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，全等三角形的判定與性質(zhì)，理解題意，熟練的建立方程求解是解本題的關(guān)鍵．28．（2023春·陜西渭南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題背景：如圖，在四邊形中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是，，請(qǐng)說(shuō)明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化，四周修有步行小徑，且，，在小徑，上各修一涼亭，，在涼亭與之間有一池塘，不能直接到達(dá)．經(jīng)測(cè)量得到，米，米，試求兩涼亭之間的距離．

【答案】結(jié)論應(yīng)是，理由見(jiàn)解析；米【分析】問(wèn)題背景：根據(jù)可得根據(jù)得，進(jìn)而求得結(jié)果；延長(zhǎng)至，使，連接，可證得進(jìn)而證得，進(jìn)一步求得，即可得出最后結(jié)果．【詳解】解：?jiǎn)栴}背景：結(jié)論應(yīng)是，理由如下：，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，故答案為：；實(shí)際應(yīng)用：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，

，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，，米，米，米．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形并兩次證全等是解題的關(guān)鍵．29．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）中，平分線與相交于點(diǎn)，，垂足為．(1)如圖1，若，則______°；

(2)如圖2，若是銳角三角形．過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

(3)若是鈍角三角形，其中．過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，直接寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)45(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）首先證明得到，得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，即可證明；（2）延長(zhǎng)、交于，利用平行線的性質(zhì)得，再利用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由（2）同理解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：，．，．．．平分，．．（2）如圖，，理由如下：延長(zhǎng)、交于，

，，平分，，是的外角，，；（3）．如圖，

，，是的外角，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．（2023春·浙江寧波·七年級(jí)?？计谀┙瞧椒志€性質(zhì)定理描述了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離的關(guān)系，小儲(chǔ)發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，有一些新的發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)完成下列探索過(guò)程：

【知識(shí)回顧】（1）如圖1，是的平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，作于點(diǎn)，試證：【深入探究】（2）如圖2，在中，為的角平分線交于于點(diǎn)，其中，求．【應(yīng)用遷移】（3）如圖3，中，的角平分線與的中線交于點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_________．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）10【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得，由三角形的面積公式可得，結(jié)合即可求解；（3）過(guò)E作于G，連接，由P為中點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)是邊上的中線，設(shè)，根據(jù)三角形的面積的計(jì)算得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

平分，，，，同理可證，∴．，，設(shè)，則，，；（3）解：過(guò)E作于G，連接，

∵P為中點(diǎn)，∴，設(shè)，∵是邊上的中線，∴設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的角平分線，，∴，∴，∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積的計(jì)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．31．（2023春·重慶南岸·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，P是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），連接，將沿翻折得，記．

(1)如圖1，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，用含的式子表示；(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，①如圖2，若平分交于點(diǎn)，猜想之間存在的等量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；②若，請(qǐng)直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆敬鸢浮?1)(2)①；理由見(jiàn)解析；②或【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出，根據(jù)折疊得出，根據(jù)求出結(jié)果即可；（1）①在上截取，連接，證明，得出，證明為等腰直角三角形，得出，證明，得出，求出即可；②分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，根據(jù)折疊可知，，∴．（2）解：①；理由如下：在上截取，連接，如圖所示：

∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，根據(jù)折疊可知，，，，∵平分，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，如圖所示：

∵平分，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，根據(jù)折疊可知，，，∴；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，如圖所示：

∵，，∴，根據(jù)折疊可知，，，∴；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出相應(yīng)的輔助線，構(gòu)造全等三角形，注意分類討論．32．（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，為邊上的高，是的角平分線，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接，．

(1)求證：平分；(2)連接交于點(diǎn)G，若，求證：；(3)在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)7.5【分析】（1）根據(jù)是的角平分線和得，再結(jié)合為邊上的高得出即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，證明，得出，再根據(jù)，解出即可證明；（3）根據(jù)及為邊上的高證明，得出，再根據(jù)，解得，結(jié)合即可求出；【詳解】（1）證明：是的角平分線，.，..為邊上的高，..

平分.（2）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，平分，且，，.，，平分，，在和中，，，，，，

（3），，，，為邊上的高，，，.在和中，.，，，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的證明以及性質(zhì)運(yùn)用，角平分線的判定以及基本性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的幾種判定方法以及角平分線的判定是解答該題的關(guān)鍵．33．（2023·寧夏銀川·銀川市第三中學(xué)校考二模）問(wèn)題提出（1）如圖①，已知，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)C，畫射線，連接，則圖①中與全等的是___________；

問(wèn)題探究（2）如圖②，在中，平分，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，連接，，若，求證：；問(wèn)題解決（3）如圖③，工人劉師傅有塊三角形鐵板，，他需要利用鐵板的邊角裁出一個(gè)四邊形，并要求，．劉師傅先在紙稿上畫出了三角形鐵板的草圖，再用尺規(guī)作出的平分線交于點(diǎn)D，作的平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，得到四邊形．請(qǐng)問(wèn)，若按上述作法，裁得的四邊形是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）裁得的四邊形符合要求，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用證明即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證明，推出，結(jié)合已知推出，再證明，據(jù)此即可求解；（3）作出如圖的輔助線，利用角平分線的定義結(jié)合四邊形的內(nèi)角和定理推出，證明，據(jù)此即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1），理由如下：由作法知，，，又，∴，故圖①中與全等的是，故答案為：；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，，∴，∴，∴；（3）符合要求，證明：如圖，過(guò)點(diǎn)F分別作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)K，

∵分別是的平分線，∴，∵，∴在四邊形中，∵，，在中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴裁得的四邊形符合要求．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造全等三角形的解題的關(guān)鍵．34．（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在和中，，，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A，C，D在同一條直線上時(shí)，求證：，；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、D不在同一條直線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立，為什么；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，的大小固定嗎？若是，求出的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)是，【分析】（1）證明，得到，由對(duì)頂角相等得到，所以，即可解答；（2）證明，得到，又由，得到，即可解答；（3），如圖3，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為、，由，得到，，證明得到，得到平分，由，得到，所以，根據(jù)對(duì)頂角相等得到．【詳解】（1）解：證明：如圖1，在和中，，，，，，，；（2）成立，證明：如圖2，，，，在和中，，，，，，，．（3），如圖3，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為、，，，，，，，，，平分，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明，得到三角形的面積相等，對(duì)應(yīng)邊相等．35．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)深圳市高級(jí)中學(xué)校考期末）已知：中，，，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AC右側(cè)作，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作于H，連接DE，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求證：；(3)當(dāng)點(diǎn)D在射線CB上時(shí)，連接BE交直線AC于M，若，則的值為_(kāi)_____．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）由，得，根據(jù)余角的性質(zhì)可證，根據(jù)證明即可；（2）作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先證明，得，再證明可證結(jié)論成立；（3）分當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)兩種情況求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．（2）如圖，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∵．（3）當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，∵，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，，∴，∴的值為；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，作于點(diǎn)G，同理可證：，，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，，∴，綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度較大，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．36．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，，求的長(zhǎng)度.（2）如圖2，，探索的數(shù)量關(guān)系，并證明.（3）如圖3，在中，，則______.【答案】（1）6；（2），證明見(jiàn)解析；（3）5【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，最后由即可解答；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；（3）在內(nèi)部作交于F，于是得到，求得，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=EF=CF=2，最后根據(jù)即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴；（2），證明如下：∵，∴，∴∠，∴，∴，∴，∴；（3）如圖：在△ABC內(nèi)部作交于F，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．37．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，射線分別和直線，交于A、B，射線分別和直線，交于C、D，點(diǎn)P在A、B間運(yùn)動(dòng)（P與A、B兩點(diǎn)不重合）(1)如圖①，如果，，．若，，，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖②，若于點(diǎn)A，，，，當(dāng)為多少時(shí)，，請(qǐng)判斷此時(shí)與的數(shù)量與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出的角平分線，其中P為角平分線與的交點(diǎn)，若此時(shí)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，請(qǐng)你在備用圖中再畫出合適的輔助線以能展現(xiàn)你的做題思路，并直接寫出線段的數(shù)量關(guān)系，不用再說(shuō)明理由．【答案】(1)；；(2)，，理由見(jiàn)解析；(3)作圖見(jiàn)解析；．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，如圖①，利用平行線性質(zhì)即可得到答案；（2）由得到，，，再利用三角形內(nèi)角和定理得到，即可證明；（3）以點(diǎn)D為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，交，于F、H，分別以H、F為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，相交于Q、T兩點(diǎn)，連接，即為的角平分線，設(shè)交于P，交于G，如圖③，可證，得到，再結(jié)合是的角平分線及平行線性質(zhì)，即可得到，進(jìn)而得到，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，如圖①，，，，，，，，，，，同理可得：，，故答案為：；；（2）解：，，理由如下：如圖②，若，則，，，，，，，，，；（3）解：，理由如下：以點(diǎn)D為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，交，于F、H，分別以H、F為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，相交于Q、T兩點(diǎn)，連接，即為的角平分線，令交于P，交于G，如圖③，在和中，，，，是的角平分線，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，作角平分線等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中考?？碱}型．38．（2023·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，是的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形，并將添加的全等條件標(biāo)注在圖上．請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：①如圖2，在中，是直角，，、分別是和的平分線，、相交于點(diǎn)F，求的度數(shù)；②在①的條件下，請(qǐng)判斷與之間的數(shù)量關(guān)