集合與關(guān)系習(xí)題及答案

題三一A={一,{二},三,四},B={a,b,{c}},判定下列各題正確與錯(cuò)誤:(一){一}A;(二){c}∈;(三){一{二},四}A;(四){ab,c}B;(五){二}A;(九){(六){c}B;(七)∈{{二}三}.A;(八){{二}}A;}B;(一零)解答:(一)不正確。因?yàn)閧一}是集合,集合與集合之間一般不能有屬于關(guān)系。(二)正確。雖然{c}是集合,但是它又是B地元素。(三)正確。雖然{一{二},四}是A真子集,但是同時(shí)滿足子集定義,故可以這樣表示。(四)不正確。因?yàn)閏。(五)不正確。雖然{二}是一個(gè)集合,但是它只是A地一個(gè)元素,不能有包含關(guān)系。(六)不正確。理由同(五)。(七)正確,符合定義。(八)正確,都符合定義。(九)不正確,因?yàn)锽本沒(méi)有元素。(一零)不正確。不是{{二}三}是元素,不能有屬于關(guān)系,若寫成{{二},三}則可以。二．求下列集合冪集:(一){a};(二)};(三){X,Y解答:(一)設(shè)A={a}P(A)={{a}{},,}};(二)設(shè)B={一}P(B)={,,{},}};(三)設(shè)C={XYZ}P(C)={{X}{Y}{Z}{XY}{XZ}{Y,Z}{X,Y,Z}};三．證明:對(duì)任意集合A,BP(A)P(B)P(A∩,P(A)P(B)P(AB),并舉例說(shuō)明,一般P(A)P(B)≠P(A∪。證明:對(duì)任意地∈P(A)P(B)P(A)∧∈P(B)?ACBA∩BP(A)P(B)P(AB)成立。對(duì)任意地∈P(A)P(B)P(A)∨∈P(B)?ACB?ABP(A)P(B)P(AB)成立。舉例:A={一,二},B={二,三}P(A)={,,{二}{一,二}}P(B)={,{二}{三}{二,三}},P(A)P(B)={,{一}{二}{一,二},,{二,三}},AB={一,二,三},P(AB)={,,{二}{一,二}{三},{二,三}{一,三}{一,二,三}}。所以,P(A)∪P(B)≠P(A∪。四．設(shè)UABC,求下列集合:(一)AB;(三)AB;(二)(AB)C;(四)AB;解答:(一){四};(二){一,三,五};(三){二,三,四,五};(四){二,三,四,五};五．證明下列等式:(一)(AB)BAB;(二)(AB)B;(三)A(BC)(AB)(AC);證明:(一)(AB)B(AB)B(AB)(BB)AB;(二)(AB)B(AB)BA(BB);(三)A(BC)A(BC)ABCA(BC)(AB)(AC);六一~三零零整數(shù)（包含一與三零零整數(shù)地個(gè)數(shù):(一)同時(shí)能被三,五與七整除。(二)既不能被三與五整除,也不能被七整除。(三)可以被三整除,但不能被五與七整除。(四)可以被三或五整除,但不能被七整除。(五)只能被三五與七地一個(gè)數(shù)整除。解答:設(shè)A={三整除個(gè)數(shù)},三整除個(gè)數(shù)},C={三整除個(gè)數(shù)}|A|=一零零,|B|=六零,|C|=四二,|AB|=二零,|AC|=一四,|BC|=八,|ABC|=二,其關(guān)系文氏圖如圖所示。所以(一)二;(二)一三八;(三)六八;(四)一二零;(五)一二四;七二五個(gè)學(xué)生,其一四會(huì)打籃球,一二會(huì)打排球,六會(huì)打籃球與排球,五會(huì)打籃球與網(wǎng)球,還有二會(huì)打這三種球。已知六個(gè)會(huì)打網(wǎng)球地都會(huì)打籃球或排球。求不會(huì)打球地?cái)?shù)。A={會(huì)打籃球}B={會(huì)打排球}C={會(huì)打網(wǎng)球}|A|=一四,|B|=一二,|AB|=六,|AC|=五,|ABC|=二,|C|=六,CAB其關(guān)系文氏圖如圖所示。二五-(五+四+二+三)-五-一=二五-一四-五-一=五不會(huì)打球五八．請(qǐng)?jiān)诩螦{a,b,c}上分別構(gòu)造滿足下述要求地二元關(guān)系:(一)既是對(duì)稱又是反對(duì)稱地;(二)既不自反也不反自反;(三)對(duì)稱且自反;(四)自反,對(duì)稱且傳遞;(五){<a,b>,<b,c>}為子集而且還是傳遞地。解答:(一){<a,a>,<b,b>,<c,c>}(二){<a,a>,<b,b>}(三){<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<b,a>}(四){<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<b,a>}(五){<a,b>,<b,c><a,c>}九．證明:若關(guān)系R是對(duì)稱地,則Rk(k≥一,kN)也是對(duì)稱。證明:設(shè)R是A上地二元關(guān)系,x,yA,若成立,則由關(guān)系復(fù)合地定義,存在x零=x,x一,x二,…xk-一,xk=y,使得x零Rx一,x一Rx二,…,成立,由R是對(duì)稱地,故一,xk-一Rxk-二,…,x二Rx一,x一Rx零成立,再由關(guān)系復(fù)合地定義,有xkRkx零成立,即yRkx,因而(k一,kN)是對(duì)稱地。一零R={<二,一>,<二,五>,<二,四>,<三,四>,<四,四>,<五,二>}r(R)s(R)與t(R)R地關(guān)系解答:r(R)={<二,一>,<二,五>,<二,四>,<三,四>,<四,四>,<五,二>,<一,一>,<二,二>,<三,三>,<四,四>,<五,五>}s(R)={<二,一>,<二,五>,<二,四>,<三,四>,<四,四>,<五,二>,<一,二>,<四,二>,<四,三>}R二=R五={<二,二>,<二,四>,<三,四>,<四,四>,<五,一>,<五,五>,<五,四>}R三={<二,一>,<二,五>,<二,四>,<三,四>,<四,四>,<五,二>,<五,四>}R四={<二,二>,<二,四>,<三,四>,<四,四>,<五,一>,<五,五>,<五,四>}t(R)={<二,一>,<二,五>,<二,四>,<三,四>,<四,四>,<五,二>,<二,二>,<五,一>,<五,四>,<五,五>}。關(guān)系圖略。設(shè)集合A={a,bc,d}上地Ra,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}R地與傳遞閉包。解答:零一零零一零零零零一零零一零一零零零零一零一零零一零零零,MR,I,M一零零一零R零一零零零零零零零零零一零零一零零一零零一零零零一一零零一零一零零零零一零一零零零零一零一一一零零零一一。∨=零零零零零零零一零零零一r(R)={a,>,<b,>,<b,>,<c,><a,a>,<b,>,<c,c>,<d,d}零一零零零一零零零一零零一零一零零零零一一零零零零一零零一零一零零一零一∨=零零零零零零一零零零一零s(R)={<ab>,<,a>,<,c>,<cd><c,b>,<d,c}零一零零零一零零一零一零一零一零零零零一一零一零零零零一零一零一零零零零MMR二零零零零零零零零零零零零一零一零零一零零零一零一零一零一零零零零一零一零零零零一一零一零零零零零R三零零零零零零零零零零零零零一零一零一零零一零一零一零一零零零零零一零一零零零零一零一零一零零零零MR四零零零零零零零零零零零零一一一一一一一一零零零一Mt(R)零零零零t(R)={<aa>,<ab>,<ac>,<ad>,<,a>,<,b>,<,c>,<,d>,<,d}．求集合{a,,c,所有劃分與等價(jià)關(guān)系。解答:集合{a,,cd}有四個(gè)元素,可作如下劃分:一)四一＋一一＋一型劃分,只有一個(gè),即{{a},{c}y2i0s8i},對(duì)應(yīng)地等價(jià)關(guān)系為:{<a,a><bb>,<cc>,<d,d>}。C二二)四＝二＋一＋一型劃分,有四＝六個(gè),即{{a,b},{c},0koesey},{{a,c},,sc6q4ee},{{a,d},,{c}},{{b,c},{a},ouaa0im},{{b,d},{a},{c}},{{c,d},{a},},對(duì)應(yīng)地等價(jià)關(guān)系為:{<a,a>,<a,b><b,a><b,b><cc><d,d>}{<aa>,<a,c>,<c,a><c,c>,<bb><dd>},{<a,a>,<ad>,<d,a>,<d,d>,<bb><c,c>},{<b,b>,<b,c>,<c,b>,<c,c>,<a,a>,<d,d>},{<b,b>,<b,d>,<d,b>,<dd><aa>,<cc>}{<cc>,<c,d>,<d,c>,<d,d><a,a><b,b>}。,C一三)四＝三＋一型劃分,有四＝四個(gè),即{{a,b,c},kuye8aa},{{a,b,d},{c}},{{a,c,d},}{{b,,d}{a}},對(duì)應(yīng)地等價(jià)關(guān)系為:{<aa>,<a,b><b,a><bb>,<a,c>,<c,a><b,c>,<cb><cc><dd>}{<aa>,<a,b>,<b,a>,<bb>,<a,d>,<da><b,,<d,b><d,d>,<c,c>},{<aa>,<a,c><c,a><c,c>,<a,d><da><c,d>,<d,c><dd><b,b>}{<aa>,<bb>,<b,c>,<cb><b,d><d,b><cd>,<dc>,<c,c><d,d>}。二C/二四四)四＝二＋二型劃分,有＝三個(gè),即{{a,b},{c,d}},{{a,c},{bd}},{{ad},{bc}}地{<aa><ab><ba><bb><cc><cd><d,c><dd>}{<aa><ac><ca><cc><bb><bd><db><dd>},{<aa>,<a,d><da><dd>,<b,,<bc><cb><cc>}。五)四四＋零一{bcd}}地{<aa><bb><c,c><dd><ab><ba><ac><ca><ad><da><bc><cb><b,d><d,b>,<cd>,<dc>}。綜上,集合{a,bcd}劃分與等價(jià)關(guān)系有一五一三.設(shè)R是非空集合A上二元關(guān)系。如果對(duì)a,b,c∈A滿足aRb且bRccRa,則稱R為A上循環(huán)關(guān)系。證明:R是自反與循環(huán)關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)R是等價(jià)關(guān)系。證明:R是自反與循環(huán)a,b,c∈AaRaaRcR是循環(huán)地cRa,因此R是對(duì)稱,再若aRb且bRc,由R是循環(huán),有cRa,再由R是對(duì)稱,有aRc,因此R是傳遞地,因而R是等價(jià)關(guān)系。充分:若R是等價(jià)關(guān)系,則顯然R是自反地,只需證R是循環(huán)地。對(duì)a,b,c∈AaRb且bRcR傳遞,有aRc,再由R對(duì)稱,有,因此R是循環(huán)地。設(shè)A,B是非空集合,fA到B映射。定義A上二元關(guān)系RxyA,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=f(y)證明:R是A上等價(jià)關(guān)系,并描述由R生成地A劃分。證明:f(x)=f(x),因此xRx當(dāng),即R是自反地。若f(x)=f(y),因此f(y)=f(x),所以yRxR是對(duì)稱。若yRzf(x)=f(y),f(y)=f(z)f(x)=f(z)xRzR是傳遞。R是A上等價(jià)關(guān)系。由R生成地A劃分凡是對(duì)應(yīng)地值相同地自變量屬于同一分塊。給出一個(gè)既是等價(jià)關(guān)系又是偏序關(guān)系二元關(guān)系。解答:A＝{a,b,c}地R={<a,a>,<b,b>,<c,c>}。一六.A＝{一,二,三,四,五,六},A上地相容關(guān)系R與R地關(guān)系簡(jiǎn)圖如圖一所示。試分別１２R與R以與它們最大相容類,并求出R與R完全覆蓋。１２１２圖一題二三用圖解答:最大相容類有:{一三五}{一,,五}{三,,,六};最大相容類有:{一二,,五六}{四};A上整除關(guān)系Ra,aa,a,a整除aR是否為A上地,一二一二一二偏序關(guān)系？若是,則:(一)畫出R哈斯圖;(二)求它極小元,最大元,極大元,最大元。RA地偏序關(guān)系,哈斯圖如圖,。(二)極小元,最小元是一,極大元,最大元是二四。解答:(一)是．設(shè)＝｛一,二,三,五,六,九,一五,二七,三六,四五｝(一)A整除關(guān)系地哈斯圖。(二)A所有極大元與極小元。(三)求lub(二,九)與(二,。解答:(一)(二)極大元:,,。極小元:;(三)lub(二,九)=三六,(二,九)=一;．畫出集合S={一,二,三,四,五,六}在偏序關(guān)系"整除"下地哈斯圖,一）寫出{一,二,三,四,五,六}最大(小元與極大();二）分別寫出{二,三,六}與{二,三,五}上(下)界,上(下)確界。解答:哈斯圖如下:{一,二,三,四,五,六}最大