6-3 第2課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的方差 課件 高中數(shù)學(xué)新北師大版選擇性必修第一冊(cè) （2023~2024學(xué)年）

6.3第2課時(shí)新授課離散型隨機(jī)變量的方差

均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”，但有時(shí)兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相同，其取值卻存在較大的差異，如何來(lái)研究這種差異呢？1.通過(guò)實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量方差和標(biāo)準(zhǔn)差的含義，了解隨機(jī)變量的方差與樣本方差的區(qū)別與聯(lián)系.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差.知識(shí)點(diǎn)一：離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

設(shè)有A,B兩種不同類(lèi)型的燈泡，通過(guò)抽樣，獲得它們的“壽命”分別為X,Y(單位：h).已知X,Y的分布列如下表：X95010001050PY70010001300P哪種類(lèi)型的燈泡質(zhì)量更好？直觀上看，A類(lèi)型的燈泡壽命X與其均值的偏離程度要小一些.根據(jù)X,Y的分布列計(jì)算可得EX=EY=1000h,A類(lèi)型的燈泡壽命介于950h~1050h,B類(lèi)型的燈泡壽命介于700h~1300h,則描述了xi(i=1,2,...,n)相對(duì)于均值EX的偏離程度，而

為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度.稱(chēng)為DX為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn概念生成若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表: 隨機(jī)變量的方差DX和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均水平.方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越??；方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越大，則隨機(jī)變量的取值越分散.注意點(diǎn)：思考：根據(jù)以前所學(xué)知識(shí)，樣本數(shù)據(jù)的離散程度是如何表示的？該如何定量刻畫(huà)隨機(jī)變量取值的離散程度？隨機(jī)變量的離散程度樣本數(shù)據(jù)的離散程度(樣本方差)所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”?可能取值與均值的“偏差平方的平均值”(隨機(jī)變量的方差)通過(guò)計(jì)算方差，標(biāo)準(zhǔn)差比較上面例子中哪種類(lèi)型的燈泡質(zhì)量更好.X95010001050PY70010001300P因?yàn)镈X<DY(等價(jià)地，)，所以A類(lèi)型的燈泡質(zhì)量要更好.例1隨機(jī)拋擲一枚均勻的骰子,求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差(結(jié)果精確到0.01).解：擲出點(diǎn)數(shù)X的分布列如表：X123456P;;求離散型隨機(jī)變量X的方差的基本步驟：

歸納總結(jié)(1)理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值；(2)求X取各個(gè)值的概率，寫(xiě)出分布列；(3)根據(jù)分布列，由均值的定義求出EX；(4)根據(jù)方差的定義求出DX.

A、B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，產(chǎn)出次品的概率如下表所示：?jiǎn)柲囊慌_(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好？次品數(shù)ξ10123概率P0.70.20.060.04次品數(shù)ξ20123概率P0.80.060.040.10練一練

Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它們的期望相同，再比較它們的方差.

Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,

Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1<Dξ2

故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.解：例2甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，設(shè)ξ，η分別表示甲、乙兩人所加工出的次品件數(shù)，且ξ和η的分布列分別如表1和表2：ξ012P表1表2η012P試比較這兩名工人誰(shuí)的技術(shù)水平更高.解：因?yàn)榧碋ξ=Eη，說(shuō)明甲、乙兩名工人所加工出的平均次品件數(shù)相同，可以認(rèn)為他們的技術(shù)水平相當(dāng).又因?yàn)樗訢ξ>