九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)23.2一元一次方程的解法

23.2一元二次方程的應(yīng)用制作:魯紅坡ax2+bx+c=0學(xué)習(xí)如逆水行舟不進(jìn)則退一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，(1)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：(3)當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．根的判別式知識(shí)點(diǎn)一：根的判斷式用配方法將其變形為：一、一元二次方程的根的判斷式【例1】不解方程，判斷下列方程實(shí)根的個(gè)數(shù).解

(1)

∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．(2)原方程可化為：例1解方程一、解一元二次方程的方法：1.直接開方法；因式分解法（提取公因式法、十字相乘法（利用根與系數(shù)的關(guān)系）。一、一元二次方程的根的判斷式【例1】不解方程，判斷下列方程實(shí)根的個(gè)數(shù).方法提煉：△與0的大小關(guān)系決定方程實(shí)根的情況；另外，在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式．解

(3)

∴原方程沒有實(shí)數(shù)根．原方程可化為：例1一、一元二次方程的根的判斷式【例2】解一元二次方程．解法一（因式分解）移項(xiàng),得①方程化為一般形式解題步驟②因式分解成A.B=0的形式③A=0或B=0④寫出方程的兩個(gè)根方程左邊因式分解,得例2解法一兩邊同時(shí)除以3,得配方，得開平方,得①二次項(xiàng)系數(shù)化1.②配方,并寫成(x+m)2=k(k≥0)的形式.③開平方,寫出方程的兩個(gè)解.一、一元二次方程的根的判斷式【例2】解一元二次方程．解法二（配方法）解題步驟例2解法二2.配方法：（1）解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)可以轉(zhuǎn)化為適合于直接開平方法的形式(x+m)2=n;(2)記住配方的關(guān)鍵是“添加的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”；(3)在數(shù)學(xué)思想方法方面，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想和掌握配方法。3.用配方法解一元二次方程的步驟

(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1；

(2)移項(xiàng)，使方程左邊只有二次項(xiàng)及一次項(xiàng)；

(3)在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

(4)變形為(x+m2)=n的形式，如果n≥0，得x+m=±,x=-m±.所以x1=-m+,x2=-m--一、一元二次方程的根的判斷式【例2】解一元二次方程．解法三（公式法）解題步驟移項(xiàng),得①將方程化成一般式,并確定出a,b,c的值.②求出b2-4ac的值(特別注意b2-4ac＜0)③代入求根公式.④寫出方程的兩個(gè)根.故例2解法三公式法：強(qiáng)調(diào)公式的條件：二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個(gè)根為：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為韋達(dá)定理．知識(shí)點(diǎn)二：韋達(dá)定理韋達(dá)定理成立的前提是．方程可化為：根與系數(shù)關(guān)系1.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，首先要把已知方程化成一般形式.2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，要特別注意，方程有實(shí)根的條件，即在初中代數(shù)里，當(dāng)且僅當(dāng)

b2-4ac≥0時(shí)，才能應(yīng)用根與系關(guān)系.3.可以通過一元二次方程系數(shù)判斷方程根的情況.二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例3(1)(2)二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例3(3)(4)二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系方法提煉：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：

韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體代換思想．例3方法提煉二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例4解法一二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例4解法二-3-2-10123-1-2-3123xy

課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.一元二次方程的求解方法：①直接開平方法；②因式分解法；③公式法；④配方法等，通常先考慮直接開平方法和因式分解法。課堂小結(jié)2.應(yīng)用韋達(dá)定理時(shí),務(wù)必要注意韋達(dá)定理成立的條件是;根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有方程.

求根公式：某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，若二月份的產(chǎn)鋼量上升,增長(zhǎng)了20％,則【情景引入】（1）二月份增加的產(chǎn)鋼量為多少噸？（2）該鋼鐵廠二月份的產(chǎn)鋼量為多少噸？（3）若該鋼鐵廠三月份的產(chǎn)鋼量增長(zhǎng)了

20％，則三月份產(chǎn)鋼為多少噸？某廠一月份產(chǎn)鋼50噸，二、三月份的增長(zhǎng)率都是10％，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？【小試牛刀】某廠一月份產(chǎn)鋼a噸，二、三月份的增長(zhǎng)率都是x，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？增長(zhǎng)率問題：(1)

最終產(chǎn)量=原產(chǎn)量+增產(chǎn)量(2)增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長(zhǎng)率(3)最終產(chǎn)量

=原產(chǎn)量＋原產(chǎn)量×增長(zhǎng)率

=原產(chǎn)量×(1＋增長(zhǎng)率)．歸納某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，若二月份的產(chǎn)鋼量下降,減少了20％,則【情景引入】（1）二月份減少的產(chǎn)鋼量為多少噸？（2）該鋼鐵廠二月份的產(chǎn)鋼量為多少噸？（3）若該鋼鐵廠三月份的產(chǎn)鋼量減少了

20％，則三月份產(chǎn)鋼為多少噸？某廠一月份產(chǎn)鋼50噸，二、三月份的下降率都是10％，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？【小試牛刀】某廠一月份產(chǎn)鋼a噸，二、三月份的下降率都是x，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？歸納下降率問題：(1)

最終產(chǎn)量=原產(chǎn)量-減產(chǎn)量(2)減產(chǎn)量=原產(chǎn)量×下降率(3)最終產(chǎn)量

=原產(chǎn)量-原產(chǎn)量×下降率

=原產(chǎn)量×(1-下降率)．

解：設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x．根據(jù)題意得

5000(1+x)2=7200

某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個(gè)月平均每月增長(zhǎng)的百分率是多少？

(1+x)2=1.44解得x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）取x=0.2=20％．

答：平均每月增長(zhǎng)的百分率是20％．1.學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬(wàn)冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬(wàn)冊(cè).求這兩年的年平均增長(zhǎng)率.2.某市進(jìn)行環(huán)境綠化，計(jì)劃兩年內(nèi)把綠化面積增加44%，問平均每年增長(zhǎng)的百分率是多少？【課堂練習(xí)】3.某種藥劑原售價(jià)為4元,經(jīng)過兩次降價(jià),現(xiàn)在每瓶售價(jià)為2.56元,問平均每次降價(jià)百分之幾?

【探究升級(jí)】某商場(chǎng)今年2月份的營(yíng)業(yè)額為400萬(wàn)元,3月份的營(yíng)業(yè)額比2月份增加10％,5月份營(yíng)業(yè)額達(dá)到633.6萬(wàn)元,求3月份到5月份營(yíng)業(yè)額的平均月增長(zhǎng)率?(2004年廣東省中考數(shù)學(xué)試題)2、情景引入：（1）、2008年我市將作為足球分賽區(qū)參加奧運(yùn)會(huì)，為此，我市領(lǐng)導(dǎo)決定，將2006年已有的綠化面積300公頃，經(jīng)過兩年綠化，到2008年底增加到363公頃，如果每年的增長(zhǎng)率均為x，這2007年綠化面積為

公頃；2008年綠化面積為

公頃?？闪蟹匠?/p>

:

大家一起來(lái)加油！加油！300（1+x）300（1+x）2300(1+x)2=363（2）、秦新大世界有一種線衣從原來(lái)的每件40元，經(jīng)兩次調(diào)價(jià)后，調(diào)至每件32.4元，若兩次調(diào)價(jià)的降價(jià)率均為x，則第一次調(diào)價(jià)后降至

元，第二次調(diào)價(jià)后降至

元?？闪蟹匠虨椋?/p>

。40（1-x）40（1-x）240（1-x）2=32.4增長(zhǎng)率問題：設(shè)基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)率為x，則一次增長(zhǎng)后的值為，二次增長(zhǎng)后的值為降低率問題：若基數(shù)為a，降低率為x，則一次降低后的值為，二次降低后的值為．智慧結(jié)晶a(1+x)a(1＋x)2a(1－x)a(1－x)2最后產(chǎn)值、基數(shù)、平均增長(zhǎng)率或降低率、增長(zhǎng)或降低次數(shù)

的基本關(guān)系：

M=a(1±x)n

n為增長(zhǎng)或降低次數(shù)

M為最后產(chǎn)量，a為基數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率

或降低率

例1：政府為了解決老百姓看病貴的問題，決定下調(diào)一些藥品的價(jià)格，某種藥品原售價(jià)為125元/盒，連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為80元/盒，假設(shè)每次降價(jià)的百分率相同，求這種藥品每次降價(jià)的百分率數(shù)學(xué)與日常生活解：設(shè)這種藥品的每次降價(jià)的百分率為x根據(jù)題意得：

125(1-x)2=80

解這個(gè)方程，得：

x1=0.2，x2=1.8∵x=1.8不合題意，舍去?！鄕=0.2=20%答：這種藥品每次降價(jià)率為20%。例2、2004年，自治區(qū)黨委、人民政府決定在烏魯木齊、庫(kù)爾勒等八個(gè)城市開辦區(qū)內(nèi)初中班，重點(diǎn)招收農(nóng)牧民子女及其他家庭貧困的學(xué)生．某市2004年9月招收區(qū)內(nèi)初中班學(xué)生50名，并計(jì)劃在2006年9月招生結(jié)束后，使區(qū)內(nèi)初中班三年招生總?cè)藬?shù)達(dá)到450名．若該市區(qū)內(nèi)初中班招生人數(shù)平均每年比上年的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率．

解：設(shè)平均增長(zhǎng)率為Ｘ

2004年：502005年：50(1+X)2006年：50(1+X)2

列方程得： 50+50(1+X)+50(1+X)2＝450得X１＝1.37X２＝-4.37

∵X２不符合題意

∴X＝137%答：平均增長(zhǎng)率為137%。一元二次方程的解法舉例(選用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?1.解一元二次方程的方法有：①因式分解法②直接開平方法③公式法④配方法⑴5x2-3x=0⑵3x2-2=0⑶x2-4x=6⑷2x2-4x-16=0⑸x2+7x-7=0

2.引例：給下列方程選擇較簡(jiǎn)便的方法（運(yùn)用因式分解法）（運(yùn)用直接開平方法）（運(yùn)用配方法）（運(yùn)用配方法）（運(yùn)用公式法）（方程一邊是0，另一邊整式容易因式分解）（()2=CC≥0

）(化方程為一般式）（二次項(xiàng)系數(shù)為1，而一次項(xiàng)系為偶數(shù)）（二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，先在方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)再配方）例1.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋孩伲▁-2)2=9②t2-4t=5③(m+1)2-4(2m-5)2=0

解：x-2==3∴x=23∴x1=5,x2=-1解：t2-4t+4=5+4（t-2)2=9∴t-2==3∴t=23∴t1=5,t2=-1鞏固練習(xí)：

1、填空：

①x2-3x+1=0②3x2-1=0③-3t2+t=0④x2-4x=2⑤（x-3）2=2(3-x)⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0⑧2x2+4x-1=0⑨(x-2)2-16=0

適合運(yùn)用直接開平方法適合運(yùn)用因式分解法適合運(yùn)用公式法適合運(yùn)用配方法

②3x2-1=0

⑥5(m+2)2=8③-3t2+t=0⑤（x-3）2=2(3-x)

⑨(x-2)2-16=0①x2-3x+1=0

⑦3y2-y-1=0

⑧2x2+4x-1=0④x2-4x=2

規(guī)律：①一般地，當(dāng)一元二次方程一次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)（ax2+c=0），應(yīng)選用直接開平方法；若常數(shù)項(xiàng)為0（

ax2+bx=0），應(yīng)選用因式分解法；若一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都不為0(ax2+bx+c=0），先化為一般式，看一邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，不然選用公式法；不過當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是1，且一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，用配方法也較簡(jiǎn)單。⑨

(x-2)2-16=0⑧2x2+4x-1=0②公式法雖然是萬(wàn)能的，對(duì)任何一元二次方程都適用，但不一定是最簡(jiǎn)單的，因此在解方程時(shí)我們首先考慮能否應(yīng)用“直接開平方法”、“因式分解法”等簡(jiǎn)單方法，若不行，再考慮公式法（適當(dāng)也可考慮配方法）例2.解方程

①(x+1)(x-1)=2x②(x-2)2-2(x-2)=-1