初中數(shù)學(xué)公式定理大全（按知識(shí)點(diǎn)）

精品層礎(chǔ)教育教學(xué)資料，僅供參考，需要可下載使用！

1.有理數(shù)的分類

(1)按數(shù)的“整分性”分類(2)按數(shù)的“正負(fù)性”分類

......

1卜整數(shù)止整數(shù)

正有理婁妹

整數(shù)零［正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)〔負(fù)整數(shù)有理數(shù)零

［負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)負(fù)有理婁f負(fù)分?jǐn)?shù)

V負(fù)分?jǐn)?shù)、

2絕.對(duì)值

a(a>0)

絕對(duì)值的代數(shù)定義同=0(a=0)

-a(a<0)

3.圖形的認(rèn)識(shí)

直線、射線、線段之間的區(qū)別

直線射線線段

//1/1

圖形

ABABAB

表示

直線AB或直線1射線AB或射線1線段AB或線段/

方法

端點(diǎn)

0個(gè)1個(gè)2個(gè)

個(gè)數(shù)

金榜題名1前程似錦

延伸

向兩邊無限延伸向一邊無限延伸不能延伸

方向

有關(guān)兩點(diǎn)之間，線段最

兩點(diǎn)確定一條直線無

性質(zhì)短

4.整式乘法

（1）同底數(shù)幕的乘法：qm=["+"（m、n都是正整數(shù)）

（2）基的乘方：（/）”=武血、n都是正整數(shù)）

（3）積的乘方：（n是正整數(shù)）

（4）底數(shù)的推廣：

（"為偶數(shù)）

①(一。)"=<

（"為奇數(shù)）

m-6）"（〃為偶數(shù)）

②(6-。)"=<

-m-6）"（〃為奇數(shù)）

平方差公式:(a+b)(a—b)=a2—b2

（5）乘法公式:

完全平方公式:(a±i>)=a2±2ab+b2

（6）平方差公式常見的變化形式:

①位置變化：(-Z?+a)(6+a)=(a+0)(a-b)=a2-b~

②符號(hào)變化：(-a+/?)(-[-5)=(—a)2-A?=a~-b~

③系數(shù)變化：(2x+3y)(2x—3y)=(2x>-Gy-=4——9j?

④指數(shù)變化:(川+〃2)(加2—〃2)=(朋2)2_(〃2)2=加》一〃4

⑤增項(xiàng)變化：(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2-...

⑥增因式變化：

(—a—b)(—a+b)(a—b)(a+b)=[(—tz)2—b~](a~—Z>2)=...

⑦連用公式變化：

(a+b)(a-6)(a2+b2)(a4+/)=(a2-b2)(a2+Z>2)(a4+64)=(a4-Z>4)(a4+64)=a8-bs

金榜題名2前程似錦

(7)完全平方公式常見的變化形式：

?<72+Z?2=(a+b)2-2ab

@a2+b~=(a-b)2+2ab

③(q+b)2=(<7-b)2+4ab

@(a-b)2=(a+b)2-4ab

⑤(a+b)2+(a-Z))2=2(/+/)

⑥(a+b)2-(a-b)2=4ab

@(a+b+c)2=a~+b2+c2+2ab+2bc+2ac

5.數(shù)據(jù)分析

平均數(shù)與方差公式

名稱公式

1.、

平均數(shù)X=—(X|++…+x〃)

n

X[W]+xw+...+X”嗎

加權(quán)平均數(shù)22

Wj+w2+...+%

1———

方差_[(X|+(X,+…+(為元x)一]

n

6.分式的運(yùn)算

(1)分式的基本性質(zhì)：①"二巴(6w0,cw0)

b-cb

"ca.八、

②------------=一(6W0,cw0)

b+cb

…一。a-aaaz,

③——=—,——=——二一一(6w0)

-bbb-bb

金榜題名3前程似錦

⑵分式的乘法：3?￡=絲SwO,dwO)

bdbd

(3)分式的除法：—4--=—-—=—(/)0,C0)

bdbcbe

(4)分式的加減法：

①同分母;±￡="￡伯*0)

bbh

,②異分母;±￡=也土生=WE3#0,d‘o)

bdbdbdbd

(5)分式的乘方：(、)"=三?(bwO,〃是正整數(shù))

⑹同底數(shù)暴的除法：加/者B是正整數(shù))

(7)零指數(shù)幕：a=1(a^O)

1

⑻負(fù)整指數(shù)幕：。一”=-7mw(),〃為正整數(shù))

(9)解分式方程的一般步驟：

①去分母：在方程左右兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程.

②解方程：解整式方程.

③驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，若結(jié)果為零，則這個(gè)根是方程

的增根，必須舍去.

金榜題名4前程似錦

7.全等三角形

證明三角形全等的常見思路：

［找夾角fMS

⑴已知兩邊：.找直角fHL

找第三邊->SSS

’一邊為角的對(duì)邊一找另一角一44S

(2)已知一邊一角：,［找夾角的另一邊f(xié)S4s

'--邊為角的鄰邊<找夾邊的另一角fASA

找邊的對(duì)角-44S

(3)已知兩角：!找夾邊—"S'

找其中一角的對(duì)邊-44S

8.等式與不等式的區(qū)別

等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)

對(duì)稱性：若4=6,則力=Q反對(duì)稱性：若a>b,則

傳遞性：若a=b,b=c,則。=c傳遞性：若a>b,b>c,則Q>C

性質(zhì)1：若Q=b,則Q±6=6±C性質(zhì)1：若Q>6,則。±c>6±c

性質(zhì)2：若。=6,則ac=6c；

性質(zhì)2：若a>b,c>0,則QC>6C,@>—

cc

若a—b,cwO,則一一一

cC

性質(zhì)3：若a>b,c<0.則

cc

9.一元一次方程與一元一次不等式的區(qū)別

一元一次方程一元一次不等式

①去分母①去分母

②去括號(hào)②去括號(hào)

③移項(xiàng)③移項(xiàng)

解法步驟④合并同類項(xiàng)④合并同類項(xiàng)

⑤系數(shù)化為1⑤系數(shù)化為1

在上面的步驟①和⑤中，如果乘的因數(shù)或除數(shù)是負(fù)

數(shù)，則不等號(hào)的方向要改變

解一元一次方程只有一個(gè)解一元一次不等式一般有無數(shù)多個(gè)解

金榜題名5前程似錦

10.一元一次不等式組解集的基本類型

F等式組

在同一數(shù)軸上的表示解集口訣

（超

x<a同小

/〃//x<a

x<b——>取小

07b

x>a

<同大

]1////hx>b

x>b取大

0ab

x>a

?

x<b__|______///―>a<x<b大小、小大中間找

07I

大大、小小無處找

x<a

《（無解）

x>b_______—>空集

07I

11.二次根式

（1）二次根式的性質(zhì)

Q(a>0)

?[y[a）2=a（a>0）②y[a^=|<?|=<0(t?=0)

-a(a<0)

在與（布）2的區(qū)別與聯(lián)系

公式意義字母a的取值范圍運(yùn)算結(jié)果聯(lián)系

a可為任意實(shí)薪

《a?a問當(dāng)。20時(shí)，

=（Vn）2

4a?4aa>0a

(2)二次根式的乘法：4a-4b=y[ab(a>0,Z?>0)

金榜題名6前程似錦

⑶二次根式的除法：*RaNU,b>Q))

(4)商的算術(shù)平方根:>0,6>0)

12.解直角三角形

(1)常用的性質(zhì)

①直角三角形中有一個(gè)是直角.

②直角三角形中兩個(gè)銳角互余.

③直角三角形中，30r角所對(duì)的邊等于斜邊的一半.

④直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

222

⑤直角三角形勾股定理：a+b=c(。、〃為直角邊，c為斜邊)

⑥角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的的距離相等

⑦角平分線的性質(zhì)的逆定理：角內(nèi)部到這個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平

分線上

(2)判定直角三角形的方法：

①證明三角形中有一個(gè)角為直角.

②證明三角形中兩個(gè)銳角互余.

③證明三角形三邊滿足勾股定理(a2+b2=c2y

13.四邊形

〃邊形內(nèi)角和公式：(〃-2)」80°

(1)多邊形常用公式:

求正〃邊形各內(nèi)角度數(shù)：(〃一2)“80°

(2)正方形、矩形、菱形和平行四邊形的關(guān)系:

(3)四邊形的性質(zhì)和判定

金榜題名7前程似錦

圖形定義顏判定

以邊：對(duì)邊平行且相等兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

兩組對(duì)邊分別平行的四

角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

邊形叫做平行四邊形

對(duì)角線：對(duì)角線互相平分一組對(duì)邊平行且相等的四邊形平行四邊形.

對(duì)林性：中心對(duì)稱圖形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

平行四邊形

邊：對(duì)邊平行且相等

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

有一個(gè)角是直角的平行角：四個(gè)角都是直角

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

四邊形叫做矩形.對(duì)角城：對(duì)角線互相平分且相等

對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，

X也是柏對(duì)稱圖形

矩形s

邊：對(duì)邊平行，四條邊都相等s

角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

有一組翎邊相等的平行

對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直平分，四條邊相等的四邊形是菱形.

四邊形叫做菱形

每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.8

對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，

Z

菱形也是軸對(duì)稱圖形

照

邊：對(duì)邊平行,四條邊都相等您

有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊第

有一組?邊相等且有一角：四個(gè)角都是直角

形是正方形.

個(gè)角是亶角的平行四邊對(duì)角線；對(duì)角線互相垂直平分且相等，

有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.

形叫做正方形.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

有一組鄰邊相等的矩形是正方形.

岡對(duì)稱性1既是中心對(duì)稱圖形，

也是軸對(duì)稱圖形

防形

邊：兩腰相等

兩腰相等的梯形叫做等

角：間一底上的兩底角相等兩展相等的梯形是等腰梯形.

腰梯形

三對(duì)角線：對(duì)角線相等在同一底上的兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形.

對(duì)稱性：軸對(duì)林圖形

等腰梯形

14.一次函數(shù)

(1)一次函數(shù)的性質(zhì)

k、力的符號(hào)函數(shù)圖象圖象的位置性質(zhì)

圖象過

b>0L第一、二、三

象限

y隨x增大而

k>0

增大

圖象過

b<0y4.第一、三、四

象限

圖象過

b>0第一、二、四

象限

y隨x增大而

k<0

減小

V圖象過

b<0第二、三、四

\象限

(2)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟

①設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式

②把已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)帶入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)

的方程或方程組；

③解方程或方程組，求出待定系數(shù)；

④將求得的待定系數(shù)得知帶入解析式.

金榜題名9前程似錦

15.反比例函數(shù)

公式y(tǒng)=—(k0)

X

k的符號(hào)k>0k<0

1

lL

圖像

①X的取值范圍是XW0,y①X的取值范圍是xw°,y

的取值范圍是的取值范圍是歹0°.

②函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別

②函數(shù)兩個(gè)分支分別在第在第二、第四象限內(nèi)，在每

性質(zhì)一、第三象限內(nèi)，在每個(gè)象限個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而

內(nèi)，y隨矛的增大而減小增大

反比例函數(shù)的圖像既是軸對(duì)稱圖形，又是中心的對(duì)稱圖形.

它有兩條對(duì)稱軸，分別是直線歹二x和y二一X,對(duì)稱中

心是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）

過雙曲線上任意一點(diǎn)引X軸

或y軸的垂線，垂線與坐標(biāo)

原點(diǎn)所圍成的圖形面積為：

k的幾何CV

s出

意義/T.

°AOEF-2Ex

^OEFC一八

金榜題名io前程似錦

16.一元二次方程

(1)解一元二次方程的方法

'理論依據(jù)：若。?》=(),則a=0或6=0

①因式分解法解法：化為(Qx+Z))(cx+d)=0的形式

解得：ax+6=0或cx+d=0

②直接開平方法|若"2=扉。之0)，則*=土而

-a)2=b(b>0),則x-a=±4b,即x-a+4b

③配方法［理論依據(jù)：完全平方公式a?±2。6+從=(a±bf

［解法：化為(x+”?)2=〃(〃N0好)形式

化為ax?+bx+c=0(aW0)的形式

④公式法一17r

求根公式：x="'b——02_4qc>0)

(2)一元二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系

X]+X2=—

韋達(dá)定理

C

再飛二一

重要變形:

22

①X；+X2=(X]+X2)-2項(xiàng)為2；

金榜題名11前程似錦

②_L+_L=5+)2,；

X]x2xxx2

(§)X2?X1_占+.2_(/+-2)-2再々.

X]x2XxX2XxX2

④(為一)2=(X1+x2)2-43馬

2

⑤(再+k\x2+%)=x,x2+k{xx+x2)+k；

⑥|再一/1=J(再-/J=J(再+%2)2-4再了2

17.圖形的相似

(1)線段的比

若@=￡,則ac/=bc

bd

若q=￡,則q=2或3=￡

①比例線段的性質(zhì)

bdcdba

井Q_ciJW-=-

bdac

若巴^a±b=c±d

bdb

②黃金分割比：避二1七0.618

2

18.相似三角形

(1)相似三角形的幾種圖形

金榜題名12前程似錦

(2)證明三角形相似的常見思路

①已知一角對(duì)應(yīng)相等，可再找：

J另一角對(duì)應(yīng)相等

［夾已知角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例

②已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可再找：

'這兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等

［第三邊的比值與前面兩對(duì)邊的比值相等

③若兩個(gè)三角形式等腰三角形，可再找：

'頂角對(duì)應(yīng)相等

＜一底角對(duì)應(yīng)相等

一腰與底邊對(duì)應(yīng)成比例

④若兩個(gè)三角形是直角三角形，可再找：

［一銳角對(duì)應(yīng)相等

j夾直角的兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例

(3)相似三角形的性質(zhì)

金榜題名13前程似錦

'對(duì)應(yīng)線段：對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比上

相似三角形的性質(zhì)周長(zhǎng)：周長(zhǎng)的比等于相似比

面積：面積的比等于相似比的平方

［對(duì)應(yīng)線段：對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比

相似多變形的性質(zhì)周長(zhǎng)：周長(zhǎng)的比等于相似比

［面積：面積的比等于相似比的平方

19.銳角三角函數(shù)

(1)特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)a30°45°60°

j_V2V3

正弦sina

2~TV

V3V2j_

余弦cosOf

~T~T2

73

正切

tana~Ti

.h

⑵坡度：i=-(力為坡面的鉛垂高度，，為水平寬度)

(3)三角函數(shù)的關(guān)系

①同角三角函數(shù)之間的關(guān)系為銳角)

金榜題名14前程似錦

平方關(guān)系:sin?a+cos?a=1

必『工sinOL

商數(shù)關(guān)系:tana=-----

cosa

②互為余角的三角函數(shù)關(guān)系

fsina=cos(90°-?)

[cosa=sin(900-a)

20.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)y+6x+c(aw0)的圖像與性質(zhì)

關(guān)系式一般式頂點(diǎn)式

解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(QW0)y=a(x-爐+k{aw0)

圖像形狀拋物線

開口方向當(dāng)。>0時(shí)，開口向上；當(dāng)4<0時(shí)，開口向下

'b4ac-b2

頂點(diǎn)坐標(biāo)(6,左)

、2a4a,

b

對(duì)稱軸x=-----x-h

ul2a

[人.

圖像0|/

a>0a<0

增a>

對(duì)稱軸左側(cè)，即或XV。，y隨x增大而減小；

減02a

金榜題名is前程似錦

性

對(duì)稱軸右側(cè)，即或X>。，y隨X的增大而增大

2a

對(duì)稱軸左側(cè)，即x<_2或xv〃，y隨才增大而增大；

a<2。

0對(duì)稱軸右側(cè)，即x>-2或7隨X的增大而減小

2a

當(dāng)x=—2時(shí)，

a>2a

當(dāng)％=力時(shí)，y最小值=左

04ac-b2

力小值一而

最

值當(dāng)％=—2時(shí)，

a<2a

當(dāng)工二力時(shí)，y最大值=左

0_4ac-b2

%大值-4a

(2)二次函數(shù)圖像特征與a、b、c、"Yac之間的關(guān)系

字母字母的符號(hào)圖像的特征

a>0開口向上

a

a<0開口向下

b=0對(duì)稱軸為y軸

ba、力同號(hào)對(duì)稱軸再y軸左側(cè)

a、，異號(hào)對(duì)稱軸再y軸右側(cè)

c=0圖象過原點(diǎn)

cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負(fù)半軸相交

t^~4ac=0與X軸有唯一交點(diǎn)(即頂點(diǎn))

6-4acIf-4ac>0與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

tf-4ac<0與x軸無交點(diǎn)

(3)二次函數(shù)的圖像平移規(guī)律

金榜題名16前程似錦

移動(dòng)方向平移前解析式平移后解析式簡(jiǎn)記

向左平移

y=47（x-/2）?+ky=a{x-h+m^+k左加

R個(gè)單位

向右平移

（（右減

加個(gè)單位y=ax-h^+ky=ax-h-m^+k

向上平移

y=a（x-h^+ky=+k+m上加

m個(gè)單位

向下平移

y=a[x-h^+ky=Q（X-/7）2+左一〃7下減

0個(gè)單位

21.圓

L與圓有關(guān)的常用定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所