2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編 51立體幾何與空間向量第三講（學(xué)生版+解析版）

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題51立體幾何與空間向量第三講

1.[2017年江蘇預(yù)賽】在正三棱柱4BC-4/傳1中,D,E分別是側(cè)棱上的點(diǎn),EC=BC=2BD,則截面

力DE與底面ABC所成的二面角的大小是.

2.(2017年新疆預(yù)賽】如圖,在矩形4BCD中,4B=3,AD=4,E為上一點(diǎn)=1.現(xiàn)將△BCE沿CE折起,

使得點(diǎn)B在平面4ECD上的投影落在上.則四棱錐B-AECD的體積為.

3.【2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有對(duì).

4.【2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝人形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的

最小值為.

5.【2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】已知異面直線a與b所成的角為50。/為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a,b所成的角都

是52。的直線有且僅有條.

6.【2016年福建預(yù)賽】如圖，在正方體ABCZXA山CQi中，二面角8-AC-。的大小為.

7.【2016年山東預(yù)賽】在四面體4BCD中，面4BC與面BCD成60。的二面角，頂點(diǎn)4在面BCD上的射影”是4BCD

的垂心，G是44BC的重心.若AH=4,4B=AC,則GH=.

8.【2016年安徽預(yù)賽】在單位正方體ABCD-AIBIC◎中，O為正方形ABCD的中心，點(diǎn)M、N分別在棱

AiDi、CCi上，4M=[,CN=|.則四面體OMNBi的體積V=.

9.【2016年天津預(yù)賽】已知正三棱錐的側(cè)面是面積為1的直角三角形則該正三棱錐的體積為.

10.【2016年山西預(yù)賽】已知正三棱柱ABC-AiBiG的高為2,底面邊長(zhǎng)為1,上底面正△4道傳1的中心為

P,過(guò)下底邊BC作平面BCDLAP,與棱交于點(diǎn)D.則截面4BCD的面積為.

11.【2016年全國(guó)】設(shè)P為一圓錐的頂點(diǎn)，A、B、C為其底面圓周上的三點(diǎn)，滿足/ABC=90。，M為AP的

中點(diǎn).若AB=1,AC=2,AP=V2,則二面角M-BC-A的大小為.

12.【2016年吉林預(yù)賽】一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則此幾何體的體積為.

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

13.【2016年吉林預(yù)賽】一個(gè)幾何體的三視圖如圖.則此幾何體的體積為

1

2

土

正（主）視圖例（左）視圖俯視圖

14.【2016年浙江預(yù)賽】已知兩個(gè)底面重合的正四面體40BC、正四邊形COBC,M、N分別為ZL4DC、ABDC

的重心。記府=a,OB=b,沆=以若點(diǎn)。滿足麗=%<1+貝）+2以而=2而，則實(shí)數(shù)％=,

y=,z=?

15.【2016年上海預(yù)賽】在空間中，四條不共線的向量萬(wàn)1OB.OC,而兩兩間的夾角均為a.則a的大小

為.

16.【2016年四川預(yù)賽】已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為4,乙4sB=30。，在側(cè)棱SB、SC、SD分別取

點(diǎn)E、F、G則空間四邊形AEFG周長(zhǎng)的最小值為.

17.【2016年遼寧預(yù)賽】與正四面體四個(gè)頂點(diǎn)距離之比為1:1:1:a的平面共有個(gè)

18.【2016年江蘇預(yù)賽】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2巡，以其中心O為球心作球，球面與正四面體四個(gè)面相交所

成曲線的總長(zhǎng)度為4兀.則球。的半徑為.

19.【2016年湖南預(yù)賽】在三棱錐S-ABC中，SA=4,SB>7,SC>9,AB=5,BC<6,AC<8.則三

棱錐的體積的最大值為.

20.【2016年湖北預(yù)賽】設(shè)四面體的一條棱長(zhǎng)為6,其余棱長(zhǎng)均為5.則此四面體的外接球半徑為.

21.12016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】設(shè)尸為一圓錐的頂點(diǎn)，A、B、C是其底面圓周上的三點(diǎn)，滿足N

ABC=90°,M為AP的中點(diǎn)若AB=1,AC=2,AP=y[2,則二面角M-BC-A的大小為.

22.[2015年天津預(yù)賽】在正四棱錐P-4BCD中，四個(gè)側(cè)面均為等邊三角形，設(shè)該四棱錐的側(cè)面與底面所

成的二面角的大小為。，貝I,tan0=.

23.（2015年北京預(yù)賽】已知ZL4BC、ZL4DE均為等腰三角形，心力=90°,AB=2AD=4.如圖，將A40E繞點(diǎn)

4逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度a,BD的延長(zhǎng)線與直線CE交于點(diǎn)P,如圖.

則ZL4DE繞點(diǎn)4逆時(shí)針?lè)较驈?。旋轉(zhuǎn)到180。的過(guò)程中，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為.

24.12015年陜西預(yù)賽】在三棱錐S-48c中，已知4B=AC,SB=SC.則直線SA與8c所成角的大小為.

25.【2015年山西預(yù)賽】一個(gè)長(zhǎng)方體的體積為8立方厘米，全表面積為32平方厘米.若其長(zhǎng)、寬、高成等比

數(shù)列，則此長(zhǎng)方體全部棱長(zhǎng)之和為.

26.【2015年山東預(yù)賽】如圖，。是半徑為1的球的球心，點(diǎn)A、B、C在球面上。4、OB、OC兩兩垂直,E、

F分別為圓弧AB,AC的中點(diǎn).則點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離為.

27.【2015年遼寧預(yù)賽】在立方體中，點(diǎn)M、N分別在線段48、B當(dāng)上（不包括線段的端點(diǎn)）,

且AM=BiN.則與GN所成角的取值范圍是.

28.【2015年江西預(yù)賽】如圖,正四面體4BCD的各棱長(zhǎng)均為2,4、B.Q分別為棱D4DB、CC的中點(diǎn)，

以。為圓心、1為半徑，分別在面D4B、面OBC內(nèi)作弧481,816,并將兩弧各分成五等份，分點(diǎn)順次為力1、

Pi、22、P3、匕、當(dāng)以及當(dāng)、Qi、Qz、＜?3、＜?4、G.一只甲蟲欲從點(diǎn)已出發(fā)，沿四面體表面爬行至點(diǎn)＜?4，則

其爬行的最短距離為。

29.（2015年江蘇預(yù)賽】正四凌錐P-ABCD外接于一個(gè)半徑為1的球面，若球心到四凌錐各個(gè)面的距離相

等，則此四凌錐的底面面積為.

30.【2015年吉林預(yù)賽】已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，SD1平面4BCD,且SD=AB.則

四棱錐S-48CD的外接球的表面積為.

31.【2015年吉林預(yù)賽】如圖所示，在四棱錐E-A8CD中，底面ABCD為正方形，4E1平面COE.已知4E=

DE=3,F為線段DE上的一點(diǎn)，二面角E-BC-尸與二面角F-BC-。的大小相等.則DF的長(zhǎng)為.

B

D

32.【2015年湖北預(yù)賽】已知正三棱錐P-ABC的底面的邊長(zhǎng)為6,側(cè)棱長(zhǎng)為VH,則該三棱錐的內(nèi)切球的半

徑為.

33.[2015年河南預(yù)賽】設(shè)P是棱長(zhǎng)為魚的正四面體ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到四個(gè)面的距離分別為d卜

ch、d3、.則屏+啰+送+或則的最小值為.

34.[2015年甘肅預(yù)賽】如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-力BCD中,40〃BC/4BC=9(T,PAL平面

ABCD,PA=3,AD=2,AB=2g,BC=6.則二面角P-BD-4的大小為.

35.【2015年福建預(yù)賽】如圖，在四面體48CC中，DA=DB=DC=2,DA1DB,DA1DC,且04與平面

力8C所成角的余弦值為率則該四面體外接球半徑R=.

I)

A

B

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題51立體幾何與空間向量第三講

1.[2017年江蘇預(yù)賽】在正三棱柱4BC-4出6中,分別是側(cè)棱上的點(diǎn),EC=BC=2BD,則截面

4DE與底面ABC所成的二面角的大小是.

【答案】45°

【解析】提示：設(shè)BC=2,則△4BC的面積為VI

因?yàn)镋C=BC=2BD,所以EC=2,8。=1,

從而4E=2近,AD=DE=底

所以△ADE的面積為傷.

因此cos。=焉=串即6=45°.

2.[2017年新疆預(yù)賽】如圖,在矩形4BCD中,48=3,AD=4*為48上一點(diǎn),4七=1.現(xiàn)將△8CE沿CE折起,

使得點(diǎn)B在平面4ECD上的投影落在4。上.則四棱錐B-4ECD的體積為.

【答案】竽

【解析】提示：如圖，過(guò)B作BF1AD,連結(jié)EF、CF.

由題意,F即為點(diǎn)B在平面4ECD上的投影，故BF，平面4ECD,從而BF1EF,BF1CF.

設(shè)BF=x,AF=y,則有EF=3+1,CF=J(4-y)2+32,

由B/2+EF2=BE2,BF2+CF2=SC?知：

x2+(y2+1)=227=V

(f%2+(4+32=42U

y2

則四棱錐B-AECD的體積為

〃1c11/Y,r、AV34\[3

V=3"S四邊形AECD,FF=3X?X(1+3)X4XT=V

3.【2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有對(duì).

【答案】36

【解析】提示:六個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成（弓-3）個(gè)三棱錐,每個(gè)三棱錐有3對(duì)異面直線，共3（心-3）=36

對(duì)異面直線.

4.【2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝人形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的

最小值為.

【答案】（4+學(xué)）

【解析】提示：四個(gè)小球，球心構(gòu)成棱長(zhǎng)為2的正四面體，其高為乎.

每個(gè)小球球心到與之相切的面的距離為1,到與三個(gè)面相切的頂點(diǎn)距離為3,

所以局為（4+

5.[2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】已知異面直線a與b所成的角為50。,P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a,b所成的角都

是52。的直線有且僅有條.

【答案】2

【解析】條提示:過(guò)P點(diǎn)作兩條宜線優(yōu)田分別使得a'〃a，b7/b；以P點(diǎn)為頂點(diǎn)分別作出'廿使得優(yōu)與夾角為

52。,b'與b”夾角為52。.a"繞優(yōu)旋轉(zhuǎn)一周力''繞b'旋轉(zhuǎn)一周得到的兩個(gè)錐面有兩條交線即為滿足條件的兩條直

線.

6.【2016年福建預(yù)賽】如圖，在正方體ABCD-AIBIGG中，二面角8-AC-。的大小為.

【答案】120°

【解析】

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1.

如圖4,作點(diǎn)￡,聯(lián)結(jié)。E.

圖4

由正方體的性質(zhì)知△4OC<ZVhBC.則OELAC，NBED為二面角B-AiC-D的平面角，且BE=DE=',

BD=a.

故cosZBED=-：=二面角B-AyC-D的大小為120°.

7.【2016年山東預(yù)賽】在四面體ABCD中，面ABC與面BCD成60。的二面角，頂點(diǎn)4在面BCD上的射影“是/BCD

的垂心，G是ZL4BC的重心.若AH=4,4B=4C,貝ijGH=

【答案】等

【解析】

如圖，設(shè)面AHD與BC交于點(diǎn)F.

因?yàn)锳B=AC,所以，點(diǎn)G在AF上，且GF=60。

則AF==$,FH=-AF=：,GF=冬.

sin60°V32W3逐

在△GFH中，由余弦定理得GH=等.

8.【2016年安徽預(yù)賽】在單位正方體ABCD-AiBiCQi中，。為正方形ABCD的中心，點(diǎn)M、N分別在棱

AD、CCi上，=1,CN=：.則四面體OMNBi的體積V=.

【答案】/

【解析】

以A為原點(diǎn)，AB,而、麗■分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，貝IJ

。職，0），M（0,消,

/V（1,1,|）,F（1,O,1）.

故V=]|西X而.畫X&浦.（-2）|

_11

-72,

9.【2016年天津預(yù)賽】已知正三棱錐的側(cè)面是面積為1的直角三角形則該正三棱錐的體積為.

【答案】Y

【解析】

記正三棱錐為P-48C,其中，△4BC為底面，因?yàn)檎忮F的側(cè)面是面積為1的等腰直角三角形,所以，P4=

PB=PC=&，且PC與側(cè)面PAB垂直.

從而,該正三棱錐的體積為

V=扛“48.PC=當(dāng)

10.【2016年山西預(yù)賽】已知正三棱柱4BC-4B1G的高為2,底面邊長(zhǎng)為1,上底面正△平當(dāng)打的中心為

P,過(guò)下底邊BC作平面BCD_LAP,與棱44i交于點(diǎn)D.則截面ABCD的面積為.

【答案】半

O

【解析】

如圖1,設(shè)平面441P與棱BC、/C1分別交于點(diǎn)E、E]

圖1圖2

如圖2,在矩形AEE1&中，易知，

=2,AE=4%=^，AP=y.

記乙41Ap=Z.AED=B.

則tan。--———.

AA16

故cos。=隹=DE==—

y]13cosff4

^ShBCD=\DE-BC=^-.

11.【2016年全國(guó)】設(shè)P為一圓錐的頂點(diǎn)，A、B、C為其底面圓周上的三點(diǎn)，滿足/ABC=90。，M為AP的

中點(diǎn).若AB=1,AC=2,AP=V2,則二面角M-BC-A的大小為.

【答案】arctan|

【解析】

由乙4BC=90。，知AC為底面圓的直徑.如圖所示，設(shè)底面中心為O.

p

于是，POJ■平面ABC.

故40=^AC=1今PO=y/AP2-AO2=1.

設(shè)H為M在底面上的射影.則H為AO的中點(diǎn).在底面中作HK1BC于點(diǎn)K.

由三垂線定理知.

從而，NMKH為二面角M-BC-A的平面角.

由MH=AH結(jié)合HK〃4B得:怔=—=-=>///<=-=>tan/MKH=-=

2ABAC44HK3

故二面角M-BC-A的大小為arctan|.

12.【2016年吉林預(yù)賽】一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則此幾何體的體積為,

側(cè)（左）視圖

T

2

±

俯視圖

【答案】36

【解析】

13

Y=丫長(zhǎng)方亦視長(zhǎng)方靖F2X6X2=36.

13.【2016年吉林預(yù)賽】一個(gè)幾何體的三視圖如圖.則此幾何體的體積為

6—T

正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖

【答案】36

【解析】

13

v=V長(zhǎng)方體+2V長(zhǎng)方體=]X2x6x2=36.

14.【2016年浙江預(yù)賽】已知兩個(gè)底面重合的正四面體ZOBC、正四邊形。。BC,M、N分別為ZMDC、ABDC

的重心。記初=a,OB=b,OC=c?若點(diǎn)P滿足而=xa+yb+zc,MP=2PN,則實(shí)數(shù)x=,

y=,z=o

【答案】x=-|y=gZ=|

【解析】

設(shè)點(diǎn)4在面OBC上的投影為H.則而=|x|(OB+OC)=|(b+c)

=AH-OH-OA=1(b+c-3a)=AD—2AH=|(b+c-3a).

又前=|X[(而+而)=1(-9a+2b+5c),故麗=OA+AM=^2b+5c).

類似地，B/V=|xi(BC+BD)=i(C0-08+AD-AB)=1(-3a+4b+5c),ON^OB+BN=

-(—3a+5b+5c).

tilMP=2PN=30P=OM+20N=xa+yb+zc=(—2a+4b+5c)=x=—|,y=g,z=].

15.【2016年上海預(yù)賽】在空間中，四條不共線的向量瓦入0B,元、赤兩兩間的夾角均為a.貝加的大小

為.

【答案】arccos(-1)

【解析】

不妨設(shè)|而|=\0B\=|沆|=|0D|=1及彷=aOA+bOB+cOC.①

兩邊同與。。點(diǎn)積得1=acosa+bcosa+ccosa=(Q+b+c)cosa=>Q+b+c=②

若在式①兩邊同與。4點(diǎn)積得cosa=Q+bcosa+ccosa=>a=(1—6—c)cosa.

類似地，b=(1—c—a)cosa,c=(1—a—b)cosa.

三式相加并運(yùn)用式①得一L=(3———)cosa=>cosa=--(cosa=1舍去)

cosa\cosa/3

=>a=arccos(一：).

16.【2016年四川預(yù)賽】已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為4,USB=30°,在側(cè)棱SB、SC、SD分別取

點(diǎn)E、F、G則空間四邊形AEFG周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】4V3

【解析】

將四棱錐側(cè)面沿SA展開(kāi)，如圖

當(dāng)A、E、F、G四點(diǎn)共線時(shí)，原空間四邊形AEFG周長(zhǎng)取最小值2s4sin60。=471

17.【2016年遼寧預(yù)賽】與正四面體四個(gè)頂點(diǎn)距離之比為1:1:1:夜的平面共有個(gè)

【答案】32

【解析】

設(shè)正四面體的頂點(diǎn)為A、B、C、D.則到這四點(diǎn)距離之比為1:1:1:e的平面共有兩類.

(1)點(diǎn)A、B、C在平面a同側(cè)，有兩個(gè)；

(2)點(diǎn)A、B、C在平面a異側(cè)，有六個(gè)；

轉(zhuǎn)換點(diǎn)A、B、C、D,共得8x4=32個(gè)滿足條件的平面.

18.【2016年江蘇預(yù)賽】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2乃，以其中心O為球心作球，球面與正四面體四個(gè)面相交所

成曲線的總長(zhǎng)度為4九則球。的半徑為.

【答案】］或案

【解析】

設(shè)球O的半徑為R.若正四面體一個(gè)面截球如圖，則小圓周長(zhǎng)為兀，小圓半徑為：

又球心到四面體的面的距離為I,故/?=心+(3='

若正四面體一個(gè)面截球如圖，記D為AC的中點(diǎn).

依題意，知弧4B的長(zhǎng)為全

設(shè)小圓。。［的半徑為r.貝叱4。道=親

又乙BO/=空,OD=V2,ZAO1D=-^80^-Z.AO^=

3X236r

故8sos①

令W)=cos(U_1則/(r)=_^sin《一￡)+,>0.

因此，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，且最多有一個(gè)零點(diǎn).

而/(2)=0,于是，方程①有唯一解2.從而，R=Vr7TI=V5.

綜上，球。的半徑為日或遍.

19.【2016年湖南預(yù)賽】在三棱錐S-4BC中，S4=4,SB>7,SC>9,AB=5,BC<6,AC<8,則三

棱錐的體積的最大值為.

【答案】8V6.

【解析】

設(shè)=a.

據(jù)余弦定理得

故sina=V1-cos2a<竽，

SbSAB=?ABsina<4訪

注意到，棱錐的高不超過(guò)其側(cè)棱長(zhǎng).

■三棱&SAB-：SASAB-BC<8A/6.

事實(shí)上，取SB=7,BC=6,且CB_L面S4B時(shí)，可滿足已知條件，此時(shí),

V三棱錐C-SAB=8&，

20.【2016年湖北預(yù)賽】設(shè)四面體的一條棱長(zhǎng)為6,其余棱長(zhǎng)均為5.則此四面體的外接球半徑為.

【解析】

在四面體PABC中，設(shè)BC=6.PA=PB=PC=AB=AC=5.

設(shè)BC的中點(diǎn)為D,AABC的外心為E.則BD=CD=3,AE=BE=CE=—,DE

88

因?yàn)镻A=PB=PC=5,所以，PE_L平面ABC,PE=>JPA2-AE2=—.

8

顯然，四面體的外接球的球心O在線段PE上，設(shè)外接球的半徑為r.則

OA2=OE2+AE2

=>r2=(PE-r)2+AE2

PE2+AE220>/39

=>r=----------=--------.

2PE39

21.【2016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】設(shè)P為一圓錐的頂點(diǎn)，A、B、C是其底面圓周上的三點(diǎn)，滿足/

ABC=90°,M為AP的中點(diǎn)若48=1,AC=2,AP=y[2,則二面角聞一8€:-4的大小為.

【答案】arctan|

【解析】由NABC=90。知，AC為底面圓的直徑.

設(shè)底面中心為O,則PO_L平面A8C.易知4。=：4C=1,進(jìn)而P。=一必=i

設(shè)“為M在底面上的射影，則”為AO的中點(diǎn).在底面中作“KJ_3c于點(diǎn)K,則由三垂線定理知MKJ_

BC,從而ZMK”為二面角M-BC-A的平面角.

因MH=A/7=：,結(jié)合HK與AB平行知，翳=黎=不

即HK=這樣tanziMKH=器=|.

故二面角M—BC—A的大小為arctanj.

22.(2015年天津預(yù)賽】在正四棱錐P-4BCD中，四個(gè)側(cè)面均為等邊三角形，設(shè)該四棱錐的側(cè)面與底面所

成的二面角的大小為。，則，tanO=.

【答案】V2

【解析】

不妨設(shè)P4=LM為48的中點(diǎn)，。為正方形48CD的重心.聯(lián)結(jié)PM、MO.0P.

因?yàn)镻M14B,0M1AB,所以ZPM。即為側(cè)面P4B與底面4BCC所成的二面角.

由0M=%,PM=—,^\0P=VPM2-OM2=

222

故tan。=tanZ.PMO=—=&.

OM

23.[2015年北京預(yù)賽】已知44BC、zL4DE均為等腰三角形，乙4=90°,AB=2AD=4.如圖，將44DE繞點(diǎn)

4逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度a,BD的延長(zhǎng)線與直線CE交于點(diǎn)P,如圖.

則Z1ADE繞點(diǎn)4逆時(shí)針?lè)较驈?。旋轉(zhuǎn)到180。的過(guò)程中，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為.

【答案】號(hào)

【解析】

設(shè)立BAD=a易知，AACE三AABD=Z.ECA=乙DBA=乙PCB+乙CBP=900=乙BPC=90°.

因此，點(diǎn)P在以BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，即P在ZL4BC的外接圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖5.

當(dāng)a=0。時(shí)，點(diǎn)P與4重合.

由于點(diǎn)。在以4為圓心、2為半徑的圓上一運(yùn)動(dòng)，BC最遠(yuǎn)的位置是04的切線.

由于48=240,易知，a=60°,記此時(shí)點(diǎn)P的位置為P（）.則/方84=30。.

取邊BC的中點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)。兒、OA.

故4％。4=60。，即即=60。.

由。Po=OA=^BC=2VL在44CE繞點(diǎn)4逆時(shí)針?lè)较蛴?。旋轉(zhuǎn)到180。的過(guò)程中，點(diǎn)P在瓦7=60。的弧上往返

一次，即其運(yùn)動(dòng)的路線是以。為圓心、。4長(zhǎng)為半徑的麗+期.

從而，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為

I=AP0+P0A=2APQ

60X20c4y/2ll

=-----x2=----.

1803

24.【2015年陜西預(yù)賽】在三棱錐S-4BC中，已知AB=4C,SB=SC.則直線SA與BC所成角的大小為.

【答案w

【解析】

如圖所示，取邊8c的中點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)4"、SM.

因?yàn)?B=AC,SB=SC,所以，AM1BC,SM1BC.

于是，BCL平面S4M,即BC_LS4

故直線S4與BC所成的角為泉

25.【2015年山西預(yù)賽】一個(gè)長(zhǎng)方體的體積為8立方厘米，全表面積為32平方厘米.若其長(zhǎng)、寬、高成等比

數(shù)列，則此長(zhǎng)方體全部棱長(zhǎng)之和為.

【答案】32厘米

【解析】

設(shè)公比為q,長(zhǎng)、寬、高分別為qa、a、今

則=8na=2.

又2(qa-a+a?^+qa-^=32,

=>a+-+l=4.

q

故12條棱長(zhǎng)之和為4(qa+：+a)=8(q+；+1)=32.

26.【2015年山東預(yù)賽】如圖，。是半徑為1的球的球心，點(diǎn)A、B、C在球面上。4、OB、OC兩兩垂直,E、

F分別為圓弧AB,AC的中點(diǎn).則點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離為.

【答案】g

【解析】

由已知得面OAB1面O4C,

如圖,在平面04B內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作EM1。4垂足為M,聯(lián)結(jié)MF.

易知,MF1OA.

則ME1MF,且NMOE=乙MOF=

4

從而,ME=MF=弓，EF=1.

因此,△OEF為正三角形/EOF=p

故點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離為*

27.【2015年遼寧預(yù)賽】在立方體4BCC-44CiDi中，點(diǎn)M、N分別在線段4B、B當(dāng)上（不包括線段的端點(diǎn)）,

且4M=BiM則為M與GN所成角的取值范圍是,

【解析】

在DC、4遇上取點(diǎn)尸、Q,使DP=4iQ=4M=BiM

設(shè)4M=x,AB=a(0<%<a)廁〃/5[P,。/〃。心

于是與GN所成角為NPDiQ.

22

由PDi=QDt=Vx+a,

PQ=y/x2+a2+(a—x)2=V2x2—2ax+2a2,

俎nnn—PDl+QD^-PQ2_x2+a2+x2+a2-(2x2-2ax+2a2)1

面。。S"〃1Q=2PD]QD]-=2(x2-ha2)

由0<x<a=±+±>2+以>2

axaa

=>0<COSNPDiQ<I，

rr77

W<"DiQ<*

28.【2015年江西預(yù)賽】如圖，正四面體ABC。的各棱長(zhǎng)均為2,4、B】、Q分別為棱LM、DB、。。的中點(diǎn)，

以。為圓心、1為半徑，分別在面ZMB、面DBC內(nèi)作弧41名,當(dāng)。1，并將兩弧各分成五等份，分點(diǎn)順次為4、

P1、「2、「3、24、B1以及當(dāng)、Q1、(?2、<?3、<?4、一只甲蟲欲從點(diǎn)P1出發(fā)，沿四面體表面爬行至點(diǎn)(?4,則

其爬行的最短距離為。

【答案】2sin420

【解析】

作兩種展開(kāi)，然后比較.

注意到弧41當(dāng)被點(diǎn)A、P2,P3、P4分成五段等弧，每段弧對(duì)應(yīng)的中心角各為12。；

弧B1Q被Qi、Q2,Q3、Q4分成五段等弧，每段弧對(duì)應(yīng)的中心角也各為12°.

若將ADBC繞線段DB旋轉(zhuǎn)，使之與AZMB共面，

這兩段弧均與圓心為。、半徑為I的圓周重合，

則弧Pi&對(duì)應(yīng)的圓心角為8x12。=96。，此時(shí)，點(diǎn)Pi、(24之間的直線距離為2sin48。.

若將4ZM8繞線段D4旋轉(zhuǎn)，/DBC繞線段DC旋轉(zhuǎn)，使之均與ZDAC共面，

在所得圖形中，弧Pi與對(duì)應(yīng)的圓心角為7x12。=84。，

此時(shí)，點(diǎn)P[、(24之間的直線距離為2sin42。.

綜上，所求最短距離為2sin42。.

29.[2015年江蘇預(yù)賽】正四凌錐P-ABCD外接于一個(gè)半徑為1的球面，若球心到四凌錐各個(gè)面的距離相

等，則此四凌錐的底面面積為.

【答案】4V2-4

【解析】

設(shè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a.則球心到底面的距離為Jl-|a2,

由4已=『=>a2=4V2-4,

21+J12

即四棱錐的底面面積為4魚-4.

30.【2015年吉林預(yù)賽】已知四棱錐S—4BC0的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，SDJL平面ABCD,且SO=48.則

四棱錐S-4BCD的外接球的表面積為.

【答案】12兀

【解析】

由題意，知四棱錐S-48CD的外接球半徑R=V3.

從而，所求表面積為4兀產(chǎn)=12兀

31.【2015年吉林預(yù)賽】如圖所示，在四棱錐E-4BCD中，底面2BCD為正方形，4E1平面CDE.已知4E=

DE=3,尸為線段。E上的一點(diǎn)，二面角E-BC-尸與二面角尸-BC-D的大小相等.則DF的長(zhǎng)為.

【答案】6V5-12

【解析】

如圖所示，過(guò)E作于“，過(guò)，作于M,連結(jié)用E,

同理過(guò)F作FG_LA。于G,過(guò)G作NGJ_BC于N,連結(jié)NF,

AE_L平面C￡>E,COG平面CDE,則4E_LC￡>,CDA,AD,

AEHAD=A,AD,AEG平面DAE,

COJ_平面DAE,EHU平面DAE,貝ijCD工EH,

0)1~14力=/),(7。工。=平面ABCD,E”J_平面ABC。，

故